張江鋒,吳志光

(池州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電與汽車系,安徽 池州,247100)

腿式移動(dòng)機(jī)械手(LMM)是一種將串行機(jī)械手剛性安裝在多腿移動(dòng)平臺(tái)上執(zhí)行特定任務(wù)的組合機(jī)器人系統(tǒng)。LMM可以在不平坦的地形上行走,甚至可以在不改變腿尖接觸地面的情況下調(diào)整姿態(tài)。這使得LMM可以在復(fù)雜環(huán)境執(zhí)行數(shù)據(jù)采集、探測(cè)等工作任務(wù),比如錢進(jìn)等[1]研制的水下多腿滑翔機(jī)器人、王雅雪等[2]設(shè)計(jì)的六腿行走機(jī)器人和吳曉[3]研究的腿球機(jī)器人等等。在LMM機(jī)器人系統(tǒng)中,多腿平臺(tái)提供了機(jī)動(dòng)性,而操作任務(wù)則由機(jī)械手完成。這兩者的集成是非常重要的,在多腿平臺(tái)上,由于機(jī)械手基座的位置會(huì)影響其工作空間、可操作性、穩(wěn)定性等,因此需要仔細(xì)選擇機(jī)械手基座的位置,對(duì)機(jī)械手基座的安裝位置需要重點(diǎn)考慮。

Rehman等[4]、Murphy等[5]和Abe等[6]只考慮工作空間作為決定基座位置的衡量標(biāo)準(zhǔn),將串行機(jī)械手的基座位置選擇在四腿機(jī)器人的中間靠前位置。但是,這種情況下前腿上的載荷高于其他腿上的載荷,并且腿間的接觸力分布非常不均勻,這會(huì)導(dǎo)致穩(wěn)定性受損。Ackerman[7]將機(jī)械手置于平臺(tái)的頂部,位于四腿機(jī)器人的前腿之間。Adachi等[8]更傾向于四腿機(jī)器人頂部的中點(diǎn)。然而,Ackerman和Adachi等沒(méi)有討論選擇這些位置的原因。Gardner和Venlinsky[9]只考慮可操作性參數(shù)進(jìn)行數(shù)值分析,對(duì)機(jī)械手在移動(dòng)機(jī)器人上的最佳位置進(jìn)行研究?？傊?對(duì)于機(jī)械手基座的安裝位置而言,機(jī)械手的工作空間、可操作性以及組合機(jī)器人系統(tǒng)的穩(wěn)定性都是非常重要的研究?jī)?nèi)容,需要綜合考慮這3個(gè)方面的耦合效應(yīng)。目前還沒(méi)有關(guān)于六腿平臺(tái)上機(jī)械手最優(yōu)位置選擇問(wèn)題的研究,因此,本文的研究對(duì)象為六腿式移動(dòng)機(jī)械手。

機(jī)械手與多腿平臺(tái)的結(jié)合提高了機(jī)械手在給定位置的工作空間,比固定基座串聯(lián)機(jī)械手的工作空間大。然而,多腿機(jī)器人串聯(lián)機(jī)械手的工作空間難以進(jìn)行解析求解確定。Bhavanibhatla和Pratihar[10]試圖對(duì)安裝在六腿平臺(tái)上的串行機(jī)械手的工作空間進(jìn)行可視化,但沒(méi)有提供任何封閉形式的方程。本文要面對(duì)的首要挑戰(zhàn)是量化組合機(jī)器人系統(tǒng)(即機(jī)械手和六腿平臺(tái))的工作空間,將其作為機(jī)械手基座在多腿移動(dòng)平臺(tái)上定位的決定參數(shù)之一。

從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度來(lái)看,可操作性是定量估計(jì)機(jī)械手能夠輕松改變其位置和方向的參數(shù)[11]?？刹僮餍缘拇硇远攘恐皇强刹僮餍远攘?。這個(gè)度量可以用機(jī)器人系統(tǒng)的雅可比矩陣來(lái)計(jì)算。本文導(dǎo)出的腿式移動(dòng)機(jī)械手的位姿約束到達(dá)矩陣與文獻(xiàn)[12]中的類似。因此,本文采用了螺旋理論。

為了保持多腿車輛的穩(wěn)定性,機(jī)器人的重心必須始終保持在支撐腿形成的凸多邊形內(nèi),以防止機(jī)器人系統(tǒng)翻倒。Agheli和Nestinger[13]等提出了5個(gè)不同的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)確定機(jī)器人系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這些準(zhǔn)則包括:基于距離的準(zhǔn)則、基于角度的準(zhǔn)則、基于能量的準(zhǔn)則、基于矩的準(zhǔn)則和基于力的準(zhǔn)則。對(duì)于多腿機(jī)器人而言,接觸通常發(fā)生在腿尖和地面之間。本文采用了基于力的準(zhǔn)則,考慮將作用于機(jī)器人和地面接觸點(diǎn)之間的法向反作用力,即腿部受力,作為衡量穩(wěn)定性的參數(shù)。

本研究為了尋找機(jī)械手在六腿機(jī)器人平臺(tái)上的最佳安裝位置,考慮了腿式移動(dòng)機(jī)械手的工作空間、可操作性度量和機(jī)器人腿部力分布這3個(gè)性能參數(shù),對(duì)1個(gè)實(shí)際的六腿式移動(dòng)機(jī)械手進(jìn)行數(shù)值分析。利用機(jī)器人操作系統(tǒng)(ROS)生成的機(jī)器人系統(tǒng)碰撞感知可達(dá)性圖進(jìn)行工作空間分析。采用螺旋理論推導(dǎo)末端執(zhí)行器的扭轉(zhuǎn)速度坐標(biāo)與組合機(jī)器人系統(tǒng)的關(guān)節(jié)構(gòu)型向量之間的關(guān)系[14]。本文中使用的LMM的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型公式類似于文獻(xiàn)[12]中的推導(dǎo)。通過(guò)基于腿力穩(wěn)定裕度的穩(wěn)定性參數(shù)來(lái)評(píng)估腿部受力在腿之間的分布。對(duì)于機(jī)械手在六腿平臺(tái)上不同安裝位置的情況,計(jì)算了上述3個(gè)性能參數(shù)。最后,通過(guò)數(shù)值分析確定了機(jī)械手在六腿平臺(tái)上的最優(yōu)安裝位置。

1 腿式移動(dòng)機(jī)械手描述

本節(jié)描述了所研究的LMM機(jī)器人系統(tǒng)(即機(jī)械手和六腿移動(dòng)平臺(tái))和相關(guān)參考系,機(jī)器人系統(tǒng)如圖1所示。機(jī)器人系統(tǒng)有6條腿,1個(gè)機(jī)械手安裝在平臺(tái)上。六腿平臺(tái)的每條腿和機(jī)械手各有3個(gè)連桿。移動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量為895 g,機(jī)械手的質(zhì)量為443 g。機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)尺寸如下:平臺(tái)面積 =415 mm×161 mm,腿鏈_1的長(zhǎng)度 =83.5 mm,腿鏈_2的長(zhǎng)度 =120 mm,腿鏈_3的長(zhǎng)度 =98 mm,機(jī)械手鏈_1的長(zhǎng)度 =39 mm,機(jī)械手鏈_2的長(zhǎng)度 =380 mm,機(jī)械手鏈_3的長(zhǎng)度 =285 mm,夾持器長(zhǎng)度為72 mm。

圖1 腿式移動(dòng)機(jī)械手

參考系的分布如圖2所示。全局(固定)參考坐標(biāo)系用G表示,體坐標(biāo)系B附在主體平臺(tái)上。坐標(biāo)系Si連著一條腿臀根部,第i條腿與主體相連,相對(duì)于體坐標(biāo)系B保持固定。Fi表示剛性固定在第i條腿腳上的腿坐標(biāo)系,其原點(diǎn)附著在與地面的接觸點(diǎn)上。接觸參考系Ci固定在地面的第j條腿與地面接觸點(diǎn)。機(jī)械手的基座連接坐標(biāo)系和末端執(zhí)行器坐標(biāo)系分別用bo和ε表示。

圖2 坐標(biāo)系分布

為了進(jìn)行數(shù)值分析,做了以下假設(shè):所有的六條腿都要與地面接觸(站立階段);機(jī)械手將只安裝在平臺(tái)的頂部;設(shè)計(jì)的主體是對(duì)稱的,使所有的6條腿均勻地放置在平臺(tái)的兩側(cè)。

2 站立及關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)

本節(jié)介紹了機(jī)械手末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)與組合機(jī)器人系統(tǒng)協(xié)調(diào)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系。假設(shè)多腿平臺(tái)的腿始終與地面接觸,LMM機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系適用于準(zhǔn)靜態(tài)姿態(tài)和到達(dá)階段(reach phase)。這個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的更多細(xì)節(jié)可以參考文獻(xiàn)[12]。機(jī)械手末端執(zhí)行器與組合體(機(jī)械手與多腿平臺(tái))關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為:

JR是位姿約束的Reach雅可比矩陣,可以表示為:

其中,J1,J2,…,Jn是n條腿的雅可比矩陣,Jm是機(jī)械手的雅可比矩陣。是n條腿的關(guān)節(jié)角度向量,是機(jī)械手的關(guān)節(jié)角度向量。xo表示體坐標(biāo)系相對(duì)于全局坐標(biāo)系的位置向量。Θ表示組合機(jī)器人系統(tǒng)(所有腿和機(jī)械手)的關(guān)節(jié)角度向量,可寫成表示第i個(gè)腳處的力螺旋基,其中表示與g(齊次坐標(biāo)變換矩陣)相關(guān)聯(lián)的伴隨矩陣變換,它將扭轉(zhuǎn)坐標(biāo)從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一個(gè)坐標(biāo)系,表達(dá)式為[14]:表示某個(gè)坐標(biāo)系b在坐標(biāo)系a中的旋轉(zhuǎn)矩陣,是某個(gè)坐標(biāo)系b的位置向量在坐標(biāo)系a中的斜對(duì)稱矩陣。表示機(jī)械手末端執(zhí)行器速度在全局參考系(G)下的扭轉(zhuǎn)坐標(biāo)。

重寫式(1),可得,

3 研究方法

本節(jié)詳細(xì)討論了數(shù)值分析所需的所有參數(shù)概念,即工作空間、可操作性度量和基于腿力的穩(wěn)定裕度(FFSM)。

3.1 工作空間

串行機(jī)械手的工作空間是指其末端執(zhí)行器所能覆蓋的空間體積?？紤]腿式平臺(tái)處于定姿狀態(tài),對(duì)六腿機(jī)器人平臺(tái)上不同基座位置的串聯(lián)機(jī)械手進(jìn)行了工作空間分析。自碰撞限制了機(jī)械手的運(yùn)動(dòng),從而限制了機(jī)器人的工作空間。在平臺(tái)上不同的安裝位置,機(jī)械手會(huì)有不同的關(guān)節(jié)角度限制,以避免與自身和平臺(tái)體碰撞,因此會(huì)有不同的工作空間。

工作空間分析有兩個(gè)主要挑戰(zhàn)。首先,在考慮自身和六腿平臺(tái)碰撞的情況下,生成串行機(jī)械手的工作空間。第二個(gè)挑戰(zhàn)是量化工作空間。為了解決這一問(wèn)題,利用Reuleaux庫(kù)生成了考慮自碰撞的機(jī)器人系統(tǒng)可達(dá)性圖。Reuleaux庫(kù)[15]是一個(gè)開(kāi)源庫(kù),可以用于機(jī)器人可達(dá)性分析。Reuleaux可達(dá)性圖生成器使用顏色代碼創(chuàng)建可達(dá)性圖,如圖3所示?？蛇_(dá)性圖是機(jī)器人末端執(zhí)行器所能達(dá)到的所有姿態(tài),由一組不同顏色的球體表示。每個(gè)球體表示機(jī)器人工作空間中的一個(gè)點(diǎn),該點(diǎn)至少有一個(gè)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。顏色代碼:藍(lán)、綠、黃、紅,按照上述順序給出了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解數(shù)量的遞減順序。

生成可達(dá)性圖所需的2個(gè)主要參數(shù)是半徑和分辨率。半徑參數(shù)指定要用于可達(dá)性圖生成的操縱器底座周圍區(qū)域的最大半徑。分辨率參數(shù)表示球體的直徑,或者2個(gè)相鄰球體中心之間的距離。在整個(gè)工作空間分析中,半徑和分辨率參數(shù)保持不變。半徑設(shè)置為1 m,分辨率設(shè)置為0.05 m。

為了生成可達(dá)性圖,Reuleaux庫(kù)將機(jī)器人周圍的空間離散化,并對(duì)可達(dá)姿態(tài)進(jìn)行采樣?？蛇_(dá)性映射中可達(dá)球體的總數(shù)對(duì)于不同的機(jī)械手位置是不同的,因?yàn)樗Q于工作空間的體積。因此,由圖3可知,可達(dá)球體數(shù)量是每個(gè)機(jī)械手位置工作空間體積的量化度量?？蛇_(dá)性度量也是比較工作空間的一個(gè)很好的參數(shù)。在這種情況下,需要對(duì)每個(gè)可達(dá)球體計(jì)算一個(gè)可達(dá)性度量,然后將所有可達(dá)性度量的總和作為工作空間比較的量化度量。在本研究中,考慮了工作空間的體積,因此,可達(dá)性圖中的球體數(shù)量作為工作空間比較的量化度量。

圖3 可達(dá)性地圖的半切割視圖

3.2 可操作性及其度量

3.3 腿端受力分布

本文使用基于腿力的穩(wěn)定裕度(FFSM)評(píng)判穩(wěn)定性,因?yàn)樗鞔_地依賴于從地面接觸支持的正常反作用力。因此,FFSM可以直接采用地面作用在腿尖上的法向反力進(jìn)行計(jì)算[13]:

其中Fi為作用于第i條腿尖端的法向反作用力,n為與地面接觸的腿數(shù)。在給定的時(shí)間點(diǎn),腿尖上的反作用力的值應(yīng)該總是大于或等于0。它不可能是負(fù)的,因?yàn)橥炔荒茏プ〉匕?。?dāng)腿與地面失去接觸時(shí),法向反作用力的值等于0。

FFSM度量的值在0和1之間變化,其中0表示作用于其中一個(gè)腿尖(至少)的法向反力等于0,而1表示力在所有腿中平均分布。當(dāng)力平均地分布在所有的腿上時(shí),系統(tǒng)處于高度穩(wěn)定的狀態(tài),這是所期望的。因此,當(dāng)FFSM值接近于0時(shí),腿力分布的變化非常大。另一方面,FFSM值接近1,說(shuō)明腿力分布的變化較小。

圖4展示了FFSM參數(shù)的變化情況。然而,這里只考慮2個(gè)力:F1和F2(式(3)中i從1到2變化),為了可視化FFSM相對(duì)于法向反作用力(Fi)的變化。兩個(gè)力的變化范圍從0～5 N。由圖4可知,當(dāng)兩個(gè)力相等時(shí),FFSM等于1。另一方面,當(dāng)其中一個(gè)力為0時(shí),FFSM等于0。然而,兩個(gè)力都等于0,在實(shí)際情況中是不可能發(fā)生的,因?yàn)楫?dāng)機(jī)器人在地面上移動(dòng)時(shí),至少有一條腿與地面接觸。

圖4 兩種力情況下FFSM參數(shù)的變化

利用虛擬機(jī)器人仿真得到腿部受力,在Solidworks上進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。在本文的工作中,考慮了六腿機(jī)器人的姿態(tài)和機(jī)械手的固定構(gòu)型與關(guān)節(jié)角θ1=0,θ2=0和θ3=π/2,末端執(zhí)行器上的有效載荷是200 g(見(jiàn)圖5)。將機(jī)械手放置在不同的位置,其配置不發(fā)生變化,通過(guò)仿真得到機(jī)器人腿上的法向反作用力。然后,利用這些力,用式(3)計(jì)算相應(yīng)的FFSM值。

圖5 力分析時(shí)的LMM配置

4 結(jié)果和討論

在進(jìn)行分析時(shí),通過(guò)對(duì)六腿機(jī)器人頂面進(jìn)行對(duì)稱劃分,充分發(fā)揮了六腿機(jī)器人平臺(tái)的對(duì)稱性優(yōu)勢(shì)。這減少了分析中要考慮的機(jī)械手底座位置的數(shù)量。本研究所考慮的六腿平臺(tái)在水平面上的縱軸和橫軸是對(duì)稱的(見(jiàn)圖6)。因此,通過(guò)縱軸和橫軸將六腿平臺(tái)分為4個(gè)對(duì)稱部分。在平臺(tái)上預(yù)先選擇不同的機(jī)械手底座位置,如下所述。

在四分之一的平臺(tái)中,有44個(gè)機(jī)械手底座位置,xm從0～30 mm,間隔10 mm,ym從0～200 mm,間隔20 mm(見(jiàn)圖6)。在每個(gè)位置,將機(jī)械手底座改變到相應(yīng)的點(diǎn)后,計(jì)算工作空間、可操作性度量和腿部力分布3個(gè)參數(shù)。由于這3個(gè)參數(shù)都是機(jī)械手在六腿平臺(tái)上基座位置的函數(shù),因此對(duì)于不同的預(yù)定義位置,3個(gè)參數(shù)的值會(huì)不同。

圖6 六腳平臺(tái)的俯視圖

為了進(jìn)行工作空間分析,按照3.1節(jié)中提到的步驟生成每個(gè)機(jī)械手底座位置的可達(dá)性圖。在(xm=0,ym=0)和(xm=30,ym=200)2個(gè)不同位置獲得的機(jī)械手可達(dá)性圖如圖7所示。利用該方法,將可達(dá)性映射中的球數(shù)作為工作空間的量化度量。

圖7 工作空間表示

b處(所得球數(shù)為5 096)的工作空間大于a處(所得球數(shù)為4 712)的工作空間。各點(diǎn)工作空間的變化如圖8所示?？梢杂^察到,由于考慮自碰撞時(shí)允許更多的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng),與六腿機(jī)器人的中點(diǎn)(xm=0,ym=0)相比,角點(diǎn)的工作空間更大。換句話說(shuō),當(dāng)機(jī)械手的末端執(zhí)行器位于平臺(tái)的中點(diǎn)時(shí),由于自身碰撞,其可達(dá)性受到限制。在不同的機(jī)械手基座位置下,可操作性測(cè)量值會(huì)發(fā)生變化,如圖9所示。由圖9可知,可操作性測(cè)度值在xm和ym方向上均由平臺(tái)中心向邊緣遞增。

圖8 工作空間的變化

圖9 可操縱性參數(shù)變化

最后,計(jì)算了所有44個(gè)機(jī)械手底座位置的腿部力分布。得到的腿力分布變化如圖10所示。在中點(diǎn)(xm=0,ym=0),腿部受力在兩腿間的分布幾乎相等,因此FFSM值趨于1。在正xm和正ym方向上,FFSM值逐漸減小,表明腿部受力在腿間分布的不均勻性在增加。

圖10 FFSM參數(shù)變化

工作空間和可操作性度量的參數(shù)值在正向xm和ym方向上都在增加。另一方面,FFSM值在正向xm和正向ym方向上都呈下降趨勢(shì)。如果選擇(xm=0,ym=0)作為機(jī)械手基座位置,則腳反力在兩腿之間的分布是相等的,但工作空間和可操作性較低。另一方面,在(xm=0,ym=200)或(xm=30,ym=200),工作空間和可操作性會(huì)很高,但腿部受力在兩腿間的分布會(huì)非常不均勻,前腿將不得不承擔(dān)更多的負(fù)載,這樣穩(wěn)定性較差。因此,需要選擇一個(gè)最優(yōu)的機(jī)械手基座位置,使其中3個(gè)參數(shù)都有比較有利的值。

為了便于比較,對(duì)每個(gè)參數(shù)的采樣數(shù)據(jù)采用Pnorm=p/{max(p)-min(p)}的表達(dá)式進(jìn)行歸一化。圖11為六腿平臺(tái)上機(jī)械手底座全部44個(gè)位置3個(gè)參數(shù)的比較。最優(yōu)的位置應(yīng)該使由式(4)給出的3個(gè)參數(shù)之間的差的平方和最小,式(4)中Ns為可達(dá)球數(shù),mm為歸一化尺度下的可操作性度量。

圖11 3個(gè)參數(shù)的比較

圖12展示了式(4)的計(jì)算結(jié)果。從圖12的分析中可以發(fā)現(xiàn),在(xm=30,ym=100)處的機(jī)械手底座位置是最優(yōu)的,其平方和的差異在標(biāo)準(zhǔn)化尺度上是最小的。

圖12 3個(gè)參數(shù)之間的差的平方和

此外,需要注意的是,如果相對(duì)于工作空間和可操作性而言,穩(wěn)定性(FFSM量化)得到了更多的權(quán)重,那么可選擇位于縱軸上的點(diǎn)(xm=0,ym=100)作為最佳位置,位于與前腿和中腿等距的位置。在固定ym=100 mm,xm變化范圍為0～30 mm時(shí),3個(gè)參數(shù)的結(jié)果如圖13所示。由圖13可知,在xm=0 mm處的腿力分布優(yōu)于xm=30 mm處的腿力分布。

圖13 xm從0到30 mm變化時(shí)3個(gè)參數(shù)的比較

5 結(jié)論

本文選取工作空間、可操作性度量和腿力分布作為性能參數(shù),并在平臺(tái)不同安裝位置計(jì)算這些參數(shù),最后給出了計(jì)算結(jié)果,并利用這些參數(shù)的綜合效應(yīng)來(lái)確定最佳安裝位置。

研究結(jié)果表明:(1)在六腿平臺(tái)的頂面上,從中點(diǎn)到縱軸和橫軸的邊緣,其FFSM值逐漸減小,而工作空間和操縱性度量值則逐漸增大;(2)在上述3個(gè)性能參數(shù)同等重要的情況下,對(duì)稱六腿平臺(tái)上機(jī)械手的最佳安裝位置位于前、中腿之間,且遠(yuǎn)離縱軸,最佳位置為(xm,ym)=(30 mm,100 mm);(3)如果為了有更好的穩(wěn)定性,腿部力比工作空間和可操作性占更多權(quán)重,那么最佳的位置將是在前腿和中腿之間,位于縱軸上,最佳安裝位置為(xm,ym)=(0 mm,100 mm)。