王鑫海 王超宇 張寧 陳偉

(中國船舶重工集團(tuán)公司第七二四研究所 南京 211153)

1 引言

在雷達(dá)預(yù)警探測(cè)過程中，雷達(dá)波形起著非常重要的作用。對(duì)于脈沖壓縮雷達(dá)，在相同功率和脈沖寬度的條件下，使用具有低副瓣水平的雷達(dá)波形，在測(cè)量目標(biāo)與雷達(dá)距離時(shí)可獲得更高的信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)增益[1]。通過分析雷達(dá)反射信號(hào)，可以提取與感興趣目標(biāo)相關(guān)的高價(jià)值信息。眾所周知，雷達(dá)的性能一般由發(fā)射波形和接收處理方法兩個(gè)重要因素決定[2]。本文主要研究了恒模波形設(shè)計(jì)方法。

為了獲得最高發(fā)射功率，提高雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的探測(cè)性能，現(xiàn)代雷達(dá)的功率放大器通常工作在飽和狀態(tài)。這就要求雷達(dá)波形的包絡(luò)盡可能恒定。否則會(huì)導(dǎo)致發(fā)射波形失真，進(jìn)而在接收端會(huì)導(dǎo)致匹配濾波器輸出增益下降[3]。值得注意的是，為了能夠提高脈沖壓縮雷達(dá)的目標(biāo)檢測(cè)性能，理想的雷達(dá)波形應(yīng)該具有逼近沖激形狀的自相關(guān)函數(shù)[4]，這有助于雷達(dá)對(duì)小目標(biāo)的探測(cè)?；诶走_(dá)、通信等系統(tǒng)對(duì)具有良好自相關(guān)性能波形的需求，早期研究學(xué)者通過解析構(gòu)造、智能尋優(yōu)等手段獲得滿足實(shí)際應(yīng)用的波形序列，從二進(jìn)制序列[5–11]逐漸延伸至多相碼或恒模序列[12–17]。一些具有較好自相關(guān)特性的波形可以通過閉式表達(dá)式得到，如Frank序列[12]和Golomb序列[13]；一些基于智能尋優(yōu)的波形序列優(yōu)化方法有窮盡法[8]、遺傳算法[9]、啟發(fā)算法[11]和隨機(jī)優(yōu)化算法[13,14]等。這些算法計(jì)算量巨大，對(duì)長(zhǎng)度大于等于103量級(jí)的序列優(yōu)化是不實(shí)際的。使用傳統(tǒng)的隨機(jī)信號(hào)處理理論，自相關(guān)函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的功率譜密度(Power Spectral Density,PSD)構(gòu)成了傅里葉變換對(duì)。在理想的條件下時(shí)域旁瓣為零的自相關(guān)函數(shù)意味著其對(duì)應(yīng)的信號(hào)在頻域中具有平坦的頻譜，基于該結(jié)論，文獻(xiàn)[18]和文獻(xiàn)[19]分別提出了循環(huán)算法(Cyclic Algorithm-New,CAN)和周期性循環(huán)算法(Periodic CAN,PeCAN)兩種迭代優(yōu)化技術(shù)，可優(yōu)化得到長(zhǎng)度大于等于106量級(jí)且具有低自相關(guān)積分旁瓣的恒模非周期性和周期性序列。針對(duì)非凸優(yōu)化問題，文獻(xiàn)[20]和文獻(xiàn)[21]分別利用基于MM (Majorisation-Minimisation)框架和隨機(jī)優(yōu)化技術(shù)實(shí)現(xiàn)了低自相關(guān)積分旁瓣電平(Integrated Sidelobe Level,ISL)波形優(yōu)化?；诜蔷€性約束優(yōu)化框架，文獻(xiàn)[22]提出了拉格朗日優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Lagrange Programming Neural Network,LPNN)算法，獲得了ISL性能水平低于–250 dB的波形序列。以上方案的共同缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜度高，尤其是LPNN的計(jì)算量異常龐大，不適合實(shí)際工程應(yīng)用。為了提高優(yōu)化效率，文獻(xiàn)[23]利用交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)框架[24]對(duì)恒模波形進(jìn)行高效的優(yōu)化求解。該方法將復(fù)數(shù)域變量轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)變量，導(dǎo)致了優(yōu)化變量維數(shù)加倍。為了處理恒模序列的優(yōu)化問題，文獻(xiàn)[25]利用共軛梯度法[26]對(duì)序列的相位進(jìn)行優(yōu)化求解，避免了直接處理恒模約束時(shí)出現(xiàn)的復(fù)雜計(jì)算過程。文獻(xiàn)[27]提出了基于快速傅里葉變換的共軛梯度法對(duì)低ISL波形進(jìn)行尋優(yōu)，獲得了最低ISL水平達(dá)–318 dB的周期性波形。文獻(xiàn)[28]提出基于MM算法和投影梯度下降法(Projected Gradient Descent algorithm,PGD)的波形優(yōu)化算法，獲得了具有理想模糊函數(shù)的恒模波形序列。

為了獲得具有類沖激自相關(guān)函數(shù)的恒模波形，本文提出了相位域坐標(biāo)下降法(Phase-only Coordinate-Descent Method,PCDM)，將恒模約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為相位域無約束優(yōu)化問題，規(guī)避非凸約束條件，簡(jiǎn)化了優(yōu)化問題求解步驟。PCDM算法采用迭代更新的方式對(duì)變量進(jìn)行優(yōu)化求解，直至收斂。為了避免高維度變量梯度求解帶來的較大復(fù)雜度，在每次迭代過程中，PCDM利用閉式解對(duì)波形序列進(jìn)行更新，實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化變量的高效求解，且波形序列性能優(yōu)于已有算法。

論文組織安排如下：第2節(jié)對(duì)低ISL的恒模波形優(yōu)化問題進(jìn)行詳細(xì)描述；第3節(jié)提出了PCDM算法，推導(dǎo)了具體實(shí)現(xiàn)過程，并分析了計(jì)算復(fù)雜度；第4節(jié)通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提出方法的有效性；第5節(jié)總結(jié)性歸納了本文所提算法的相關(guān)結(jié)論和未來可能的研究方向。

本文采用粗體小寫字母表示矢量，用粗體大寫字母表示矩陣；轉(zhuǎn)置，共軛和共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算符分別用符號(hào)(·)T,(·)*和(·)H等表示；diag{A}定義為提取矩陣A對(duì)角線上元素，使之排列為一列矢量。矢量a的lp范數(shù)定義為‖a‖2；字母j作為虛數(shù)單位；對(duì)于復(fù)變量a，其實(shí)部和虛部分別表示為?(a)和?(a)；0M×N,1M×N和IN分別表示M×N的零矢量，M×N的全1矢量和N×N的單位矩陣。對(duì)于復(fù)數(shù)a,|a|和arg(a)分別表示a的模和相位參數(shù)。此外，縮寫“s.t.”表示約束條件。

2 波形序列優(yōu)化問題

本節(jié)針對(duì)具有低自相關(guān)旁瓣恒模波形優(yōu)化問題的建模過程進(jìn)行詳細(xì)介紹。假設(shè)s=[s0,s1,...,sN?1]T表示均勻采樣長(zhǎng)度為N的雷達(dá)波形序列。在不失一般性條件下，將序列的幅值固定為1，即[15]

如果s是周期信號(hào)，則它的自相關(guān)函數(shù)定義為

其中，mod為取模算子。類似地，非周期信號(hào)sa的自相關(guān)函數(shù)定義為

則關(guān)于復(fù)數(shù)恒模波形序列的最小化ISL優(yōu)化問題可表示為

本文首先以周期波形為例對(duì)低ISL周期波形優(yōu)化問題進(jìn)行建模，相關(guān)結(jié)論可用于非周期波形的設(shè)計(jì)。以最小化ISL為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問題表示

其中，目標(biāo)函數(shù)即為波形序列自相關(guān)函數(shù)所有副瓣電平的平方和。

基于零自相關(guān)旁瓣波形序列具有平坦的功率譜這一結(jié)論，最小化ISL優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)可以進(jìn)行頻域表示。根據(jù)Parseval定理，波形的ISL時(shí)域形式可以等價(jià)地在頻域中表示[18,19]，具體數(shù)學(xué)表示形式為

其中，u(k)是s(n)的離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)，即

為了規(guī)避求解4次多項(xiàng)式最小化的問題，可將基于功率譜密度表示的目標(biāo)函數(shù)等價(jià)為表示頻譜幅度的形式，具體數(shù)學(xué)表達(dá)形式為[18]

令離散傅里葉基矢量為

因此，u(k)矢量形式可表示為u(k)=。進(jìn)一步地，若n點(diǎn)DFT基矩陣可為

然后，式(11)更為緊湊的表達(dá)式為[23]

其中，P和κ可分別構(gòu)造為

由于恒模約束條件為非凸集，故式(12)為非凸優(yōu)化問題。

借鑒以上推導(dǎo)方法，非周期波形序列優(yōu)化問題可表示為

3 相位域坐標(biāo)下降法(Phase-only Coordinate-Descent Method,PCDM)

以周期波形優(yōu)化問題(12)為例，通過觀察式(12)可將其目標(biāo)函數(shù)展開，則式(12)可轉(zhuǎn)換為

其中，Ξ=PHP。同理，優(yōu)化問題(15)可轉(zhuǎn)換為與式(17)結(jié)構(gòu)相似的等價(jià)問題。

式(17)中的恒模約束為非凸約束，無法借助CVX[29],Sedumi[30]等凸優(yōu)化工具直接求解。為了將式(17)轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，避免恒模約束所帶來的復(fù)雜計(jì)算過程，本節(jié)提出了相位域坐標(biāo)下降法求解恒模波形。PCDM算法將優(yōu)化變量κ轉(zhuǎn)換為其對(duì)應(yīng)相位組成的相位變量，因此，可將恒模約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為相位域的無約束優(yōu)化問題。本節(jié)借助坐標(biāo)下降法思想分析了κ中各元素相位行為與目標(biāo)函數(shù)的解析關(guān)系，從而以最小化目標(biāo)函數(shù)為準(zhǔn)則確定當(dāng)前元素的相位表達(dá)式，即用其他元素表示當(dāng)前元素的最優(yōu)值。為了找到κ(i)與目標(biāo)函數(shù)κHΞκ的關(guān)系，以周期波形優(yōu)化問題(17)為例，從目標(biāo)函數(shù)中提取第i個(gè)元素κ(i)作為自變量，經(jīng)整理κHΞκ可展開為

由式(18)可見，κ(i)模值已知，則第1項(xiàng)與κ(i)優(yōu)化無關(guān)，第3項(xiàng)為常數(shù)，因此只有第2項(xiàng)決定了κ(i)與目標(biāo)函數(shù)值的關(guān)系。此時(shí)針對(duì)κ(i)構(gòu)造子優(yōu)化問題為

此時(shí)對(duì)κ(i)更新時(shí)，其余(2N–1)個(gè)元素是固定的，可對(duì)其進(jìn)行單獨(dú)求解，則子問題(19)中κ(i)最優(yōu)解的表達(dá)式為

其中

對(duì)于維度為2N的優(yōu)化變量κ，優(yōu)化問題(16)的一次迭代可以分解為2N個(gè)關(guān)于一維優(yōu)化變量的子優(yōu)化問題。一次迭代過程可對(duì)κ中所有元素更新，通過循環(huán)迭代的方式對(duì)κ的相位向量進(jìn)行多次迭代尋優(yōu)，直至滿足終止條件，最終得到κ的優(yōu)化結(jié)果κ?，從而得到最終的優(yōu)化波形s?=κ?(0:N ?1)。綜上所述，PCDM算法對(duì)順序優(yōu)化κ(0),κ(1),···,κ(2N?1)的過程可逐一實(shí)現(xiàn)，直到滿足收斂條件，相應(yīng)的計(jì)算復(fù)雜度為完整的PCDM算法過程見表1(以求解式(17)為例)。

表1 PCDM算法Tab.1 PCDM algorithm

4 數(shù)值仿真

本節(jié)將PCDM算法與現(xiàn)有的基于ADMM低ISL波形設(shè)計(jì)算法[23]進(jìn)行了比較。通過MATLAB仿真手段對(duì)兩種算法優(yōu)化后的波形自相關(guān)積分旁瓣電平進(jìn)行比較，驗(yàn)證PCDM算法的有效性，并通過運(yùn)行時(shí)間(由于計(jì)算機(jī)配置不同，運(yùn)算時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果可能與其他文獻(xiàn)結(jié)果存在差異，本文意在通過統(tǒng)計(jì)不同算法在同一平臺(tái)的運(yùn)行時(shí)間，比較不同算法的運(yùn)算效率)的對(duì)比，說明PCDM算法在降低計(jì)算復(fù)雜度上的優(yōu)勢(shì)。仿真參數(shù)設(shè)置：周期與非周期波形序列長(zhǎng)度均為1 2 8；計(jì)算機(jī)配置為I n t e l(R)Core(TM) i5-7500 CPU @ 3.40 GHz，內(nèi)存4 GB；對(duì)ADMM的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果由本文方法復(fù)現(xiàn)所得，雖與文獻(xiàn)[23]中數(shù)據(jù)略有差異，但基本保持一致。

由于解決非凸優(yōu)化問題時(shí)優(yōu)化與初始輸入有關(guān)，故本文分別對(duì)ADMM算法與PCDM算法做了600次隨機(jī)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)對(duì)兩種算法輸入相同初始變量，設(shè)置相同的收斂參數(shù)，如表2所示，最終得到的周期波形序列的自相關(guān)函數(shù)如圖1所示，同時(shí)對(duì)ISL水平低于–250 dB的波形數(shù)量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并計(jì)算了其在所有產(chǎn)生波形數(shù)量中的占比。從隨機(jī)試驗(yàn)最終結(jié)果可知：ADMM算法的最優(yōu)波形與PCDM算法得到的最優(yōu)波形的ISL分別可達(dá)–285.2 dB和–320.2 dB；對(duì)于ISL小于–250 dB的序列占比，ADMM算法所得到的波形序列數(shù)量在總試驗(yàn)次數(shù)中所占比例可達(dá)73.83%，PCDM算法的波形序列數(shù)量在總試驗(yàn)次數(shù)中占比可達(dá)到82.20%；ADMM算法和PCDM算法所有序列的平均自相關(guān)函數(shù)如圖2所示，ADMM算法優(yōu)化序列的平均自相關(guān)積分旁瓣經(jīng)統(tǒng)計(jì)約為–253.2 dB，PCDM算法所得到所有波形的自相關(guān)函數(shù)ISL平均值經(jīng)統(tǒng)計(jì)為–256.9 dB。因此，基于大量試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，PCDM算法均優(yōu)于ADMM算法，且所獲得最低波形ISL水平優(yōu)于參考文獻(xiàn)[27]。

圖1 ADMM算法與PCDM算法得到周期波形所對(duì)應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)Fig.1 Comparison of the autocorrelations of the periodic waveforms obtained by different methods:ADMM and PCDM

圖2 ADMM算法與PCDM算法得到周期波形所對(duì)應(yīng)的平均自相關(guān)函數(shù)Fig.2 Comparison of the average autocorrelations of the periodic waveforms obtained by ADMM and PCDM

表2 周期波形優(yōu)化兩種算法所用參數(shù)Tab.2 Parameters used in two algorithms in periodic waveform optimization

為了驗(yàn)證PCDM算法收斂性能，圖3給出了在相同初始值和迭代終止條件下，ADMM算法與PCDM算法在迭代優(yōu)化周期波形過程中目標(biāo)函數(shù)值的變化情況，在波形序列長(zhǎng)度為128和1024兩種情況下，PCDM收斂速度均比ADMM算法的收斂快，且具有更低的收斂值。

圖3 ADMM算法與PCDM算法優(yōu)化周期波形過程的收斂性能Fig.3 The convergence performance of optimizing the period waveform using the different methods:ADMM and PCDM

為了進(jìn)一步評(píng)估算法運(yùn)算效率，兩種算法的計(jì)算時(shí)間如表3所示。結(jié)果表明，PCDM算法相比ADMM算法耗費(fèi)時(shí)間少4.7206 s(波形序列長(zhǎng)度為128時(shí))和157.1160 s(序列長(zhǎng)度為1024時(shí))，PCDM算法的運(yùn)算速度更快。

表3 對(duì)于周期波形優(yōu)化ADMM算法與PCDM算法運(yùn)算耗時(shí)比較Tab.3 Comparison of the computational time of ADMM and PCDM(Period)

對(duì)于非周期信號(hào)優(yōu)化設(shè)計(jì)，ADMM算法與PCDM算法所得最優(yōu)序列的自相關(guān)函數(shù)如圖4所示。在相同初始值和迭代終止條件下，600次隨機(jī)試驗(yàn)中，ADMM所得波形序列的最低ISL為–24.3 dB，PCDM所得波形序列的最低ISL為–26.89 dB。因此，PCDM算法結(jié)果優(yōu)于ADMM算法。由于受波形序列恒模特性的影響，兩種算法所得到的波形自相關(guān)函數(shù)最遠(yuǎn)離主瓣的位置始終保持在–42.1442 dB。圖5給出了ADMM算法與PCDM算法所對(duì)應(yīng)的600次試驗(yàn)下的平均自相關(guān)函數(shù)，ADMM算法所得的波形序列自相關(guān)副瓣起伏較大，最接近和最遠(yuǎn)離主瓣區(qū)域的電平較低，較遠(yuǎn)離主瓣區(qū)域的副瓣電平較高，而PCDM算法得到的最優(yōu)波形對(duì)應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)副瓣相對(duì)比較平穩(wěn)，更有利于雷達(dá)的目標(biāo)檢測(cè)等應(yīng)用。

圖4 ADMM算法與PCDM算法得到非周期波形所對(duì)應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)Fig.4 Comparison of the autocorrelations of the aperiod waveforms obtained by different methods:ADMM and PCDM

圖5 ADMM算法與PCDM算法得到非周期波形所對(duì)應(yīng)的平均自相關(guān)函數(shù)Fig.5 Comparison of the average autocorrelations of the aperiod waveforms obtained by ADMM and PCDM

圖6給出了相同初始值和迭代終止條件下，ADMM算法與PCDM算法優(yōu)化非周期函數(shù)的收斂曲線。從放大圖可以看出，PCDM算法與ADMM算法的目標(biāo)函數(shù)最終收斂值幾乎相同，然而PCDM下降速率明顯較快。

圖6 ADMM算法與PCDM算法優(yōu)化非周期波形過程的收斂性能Fig.6 The convergence performance of optimizing the aperiod waveform using the different methods:ADMM and PCDM

在優(yōu)化非周期波形時(shí)，兩種算法的運(yùn)行時(shí)間統(tǒng)計(jì)如表4所示。結(jié)果表明，PCDM算法相比ADMM算法耗費(fèi)時(shí)間少46.9838 s(序列長(zhǎng)度為128時(shí))和560.3848 s(序列長(zhǎng)度為1024時(shí))，PCDM算法運(yùn)算速度更快。

表4 對(duì)非周期波形ADMM算法與PCDM算法運(yùn)算耗時(shí)比較Tab.4 Comparison of the computational time of ADMM and PCDM (Aperiod)

通過以上比較可知，本文所提的PCDM算法相比于ADMM算法可以以更大概率獲得低ISL波形，并且計(jì)算效率更高。一方面，ADMM算法求解時(shí)所考慮的可行集包含了波形幅度與相位兩個(gè)維度，而PCDM算法僅以波形的相位域矢量集為可行域，尋優(yōu)范圍大大縮小，故使用PCDM算法更容易獲得低ISL波形序列，且收斂速度更快；另一方面，坐標(biāo)下降法在每一次迭代中采用閉式解更新變量，規(guī)避了求解高維向量梯度，故可進(jìn)一步提升波形優(yōu)化效率。

模糊函數(shù)是分析波形性質(zhì)的基本工具。圖7和圖8分別給出了ADMM與PCDM算法所獲得的周期信號(hào)和非周期信號(hào)的模糊函數(shù)圖。通過比較圖7(a)和圖7(b)及圖8(a)和圖8(b)，可知ADMM與PCDM算法所得的波形在零多普勒切面處均有凹陷，這是由于兩種算法所得波形具有多普勒敏感性。在零多普勒切面處，多普勒頻率對(duì)波形自相關(guān)無影響，波形具有低自相關(guān)積分旁瓣；而在多普勒非零切面，由于多普勒頻率的調(diào)制作用，改變了波形的自相關(guān)特性，抬高了波形的自相關(guān)積分旁瓣水平。圖7(a)和圖8(a)中零多普勒附近模糊函數(shù)幅度小于0.1的最小歸一化多普勒寬度分別為0.26,0.14，圖7(b)和圖8(b)中零多普勒附近模糊函數(shù)幅度小于0.1的最小歸一化多普勒寬度分別為0.38和0.19。相比于ADMM算法所得波形，PCDM算法所得波形對(duì)應(yīng)的模糊函數(shù)小于0.1的最小歸一化多普勒寬度增加了46.15%(周期波形)和35.71%(非周期波形)，這說明對(duì)于周期/非周期波形在零多普勒附近，PCDM算法所得波形對(duì)多普勒調(diào)制的容忍性更優(yōu)。通過比較圖7(a)和圖8(a)、圖7(b)和圖8(b)，周期信號(hào)相比于非周期波形，模糊函數(shù)在零多普勒切面具有更低的自相關(guān)積分旁瓣。這是由于在求解優(yōu)化問題過程中，周期波形序列中的所有元素均在參與自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算，而非周期波形序列中參與自相關(guān)函數(shù)計(jì)算過程中元素?cái)?shù)量隨著偏移量絕對(duì)值的增加而逐漸減少，導(dǎo)致周期波形相對(duì)于非周期波形具有更多的自由度，故可以獲得更低的目標(biāo)函數(shù)值，即更低的自相關(guān)積分旁瓣。

圖7 ADMM與PCDM算法最優(yōu)周期波形的模糊函數(shù)Fig.7 The ambiguity function of the periodic waveform obtained by the different methods:ADMM and PCDM

圖8 ADMM與PCDM算法最優(yōu)非周期波形的模糊函數(shù)Fig.8 The ambiguity function of the aperiodic waveform obtained by the different methods:ADMM and PCDM

5 結(jié)論

針對(duì)恒模約束下低自相關(guān)積分旁瓣波形設(shè)計(jì)問題的非凸性所帶來的計(jì)算復(fù)雜度高的問題，本文提出了相位域低ISL恒模波形的優(yōu)化設(shè)計(jì)算法—PCDM算法。PCDM算法將帶約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為無約束優(yōu)化問題，并通過計(jì)算閉式解達(dá)到快速迭代優(yōu)化波形的目的，即將恒模序列對(duì)應(yīng)的相位矢量作為優(yōu)化變量，將原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為相位域內(nèi)的無約束優(yōu)化問題，減小計(jì)算難度。仿真結(jié)果表明，PCDM算法優(yōu)化波形得到的自相關(guān)性能優(yōu)于現(xiàn)有的基于ADMM算法的最優(yōu)解的自相關(guān)性能。與ADMM算法相比，PCDM算法計(jì)算復(fù)雜度更低。未來研究重點(diǎn)將聚焦在控制波形自相關(guān)形狀方面的波形快速設(shè)計(jì)問題，并針對(duì)新體制雷達(dá)對(duì)波形提出的新需求，開展進(jìn)一步探索。