摘 要：《三角形的面積》是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊的重要內(nèi)容，上承《平行四邊形的面積》中的等積轉(zhuǎn)化法，下啟《梯形的面積》中的倍積轉(zhuǎn)化法。教材中僅編排了倍積轉(zhuǎn)化法的教學(xué)，學(xué)生如果沒有經(jīng)歷用等積轉(zhuǎn)化法計(jì)算三角形面積的過程，很難建立對轉(zhuǎn)化方法的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識。因此，教學(xué)時(shí)可以嘗試引導(dǎo)學(xué)生用兩種不同的轉(zhuǎn)化方法進(jìn)行探究，感悟轉(zhuǎn)化的本質(zhì)，初步建立對平面圖形面積探究方法的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識。

關(guān)鍵詞：《三角形的面積》；倍積轉(zhuǎn)化；等積轉(zhuǎn)化；結(jié)構(gòu)化認(rèn)識

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊第9—10頁。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解并掌握三角形面積計(jì)算公式，會正確計(jì)算三角形面積，能應(yīng)用三角形面積計(jì)算公式解決簡單的實(shí)際問題。

2.經(jīng)歷將三角形轉(zhuǎn)化成已知圖形求面積的過程，培養(yǎng)空間觀念，發(fā)展推理意識。

3.在探索活動中獲得積極的情感體驗(yàn)，體會轉(zhuǎn)化思想的價(jià)值，感受數(shù)學(xué)文化的魅力，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1.重點(diǎn)：探索并掌握三角形的面積計(jì)算公式，能正確計(jì)算三角形的面積。

2.難點(diǎn)：理解三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程。

【教學(xué)過程】

一、問題引入，激發(fā)探究需求

師：（出示圖1）生活中我們經(jīng)常會看到這樣的三角形交通標(biāo)牌，要計(jì)算制作這樣的標(biāo)牌需要多大的鐵皮，實(shí)際上是求什么？

生：求的是三角形的面積。

師：三角形面積如何計(jì)算呢？這節(jié)課我們就一起來探究。

[思考：引入部分，筆者設(shè)計(jì)了計(jì)算三角形標(biāo)牌面積的問題，立足學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)和生活起點(diǎn)，激發(fā)探究需求，明確學(xué)習(xí)目的。]

二、動手操作，勾連新舊知識

師：我們已經(jīng)學(xué)過了“平行四邊形的面積=底×高”，誰還記得這個(gè)公式是怎么來的嗎？

（指名學(xué)生回答，課件演示平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程。）

師：在探究平行四邊形面積公式過程中，我們是將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形來計(jì)算的，這個(gè)過程對探究三角形的面積公式有什么啟發(fā)？

生：我們也可以將三角形轉(zhuǎn)化成之前學(xué)過的長方形或平行四邊形進(jìn)行探究。

師：同學(xué)們說得非常好！今天，我們就從長方形、平行四邊形入手來研究三角形的面積。

（教師出示任務(wù)：請將你手中的長方形和平行四邊形紙片分成兩個(gè)相同的三角形。學(xué)生根據(jù)要求動手操作。）

師：觀察你分出的其中一個(gè)三角形，它和原來的長方形、平行四邊形之間有什么關(guān)系？

生：三角形的面積是原來的長方形、平行四邊形面積的一半，因?yàn)楸环殖傻膬蓚€(gè)三角形面積一樣。

師：既然被分成的兩個(gè)三角形的面積一樣大，你認(rèn)為三角形的面積應(yīng)該怎樣算？

生：我覺得算三角形的面積，可以先算出長方形、平行四邊形的面積，再除以2。

[思考：通過回顧平行四邊形面積公式推導(dǎo)過程，喚醒學(xué)生將三角形轉(zhuǎn)化成其他圖形來研究面積的意識。再通過把長方形和平行四邊形分成兩個(gè)一樣的三角形的活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過仔細(xì)觀察，比較直觀地看出三角形和長方形、平行四邊形的面積之間的倍數(shù)關(guān)系。]

三、方法對比，感悟倍積轉(zhuǎn)化

師：（出示圖2）如果沒有長方形、平行四邊形作對照，你能計(jì)算出這三個(gè)三角形的面積嗎？

（學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，全班匯報(bào)交流。）

師：為什么這三個(gè)三角形都能用“6×4÷2”計(jì)算面積？

生：因?yàn)樗鼈兊牡锥际?cm，高都是4cm，根據(jù)公式“底×高÷2”計(jì)算就是“6×4÷2”。

師：看來大家都認(rèn)為“底×高÷2”就是三角形的面積計(jì)算公式了，那你能結(jié)合圖形說說為什么嗎？

生：長方形的長、寬分別和三角形的底、高對應(yīng)，平行四邊形的底、高分別和三角形的底、高對應(yīng)。所以可用“底×高”先算出長方形、平行四邊形的面積，再除以2，就可以得到三角形面積。

師：對比平行四邊形面積公式和三角形面積公式的推導(dǎo)過程，你發(fā)現(xiàn)它們有什么相同的地方，有什么不同的地方呢？

生：推導(dǎo)平行四邊形面積公式和三角形面積公式的時(shí)候都用到了轉(zhuǎn)化的方法，把未知圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形來計(jì)算面積。

生：推導(dǎo)平行四邊形面積時(shí)，轉(zhuǎn)化前后的圖形面積相同；推導(dǎo)三角形面積時(shí)，轉(zhuǎn)化后的長方形、平行四邊形面積是三角形面積的兩倍。

師：都是轉(zhuǎn)化，但轉(zhuǎn)化的方式有所不同。平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形后，面積不變，這種轉(zhuǎn)化我們稱之為“等積轉(zhuǎn)化”。三角形轉(zhuǎn)化成長方形、平行四邊形，轉(zhuǎn)化后的圖形面積是三角形面積的兩倍，這種轉(zhuǎn)化我們稱之為“倍積轉(zhuǎn)化”。

[思考：將三角形的底、高與長方形（平行四邊形）的長、寬（底、高）分別對應(yīng)，是學(xué)生普遍存在的難點(diǎn)。因此，筆者在沒有得出公式的情況下讓學(xué)生嘗試計(jì)算三角形面積，用任務(wù)“逼迫”學(xué)生“倒過來”想，引導(dǎo)他們主動產(chǎn)生對于“對應(yīng)”的需求，推導(dǎo)三角形的面積公式。再通過比較兩種推導(dǎo)過程的異同，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種轉(zhuǎn)化方法的本質(zhì)相同，產(chǎn)生初步的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識。]

四、由表及里，回歸等積轉(zhuǎn)化

師：剛剛同學(xué)們用倍積轉(zhuǎn)化的方式推導(dǎo)出了三角形的面積公式，那能不能用等積轉(zhuǎn)化的方法推導(dǎo)出三角形的面積公式呢？

（教師出示任務(wù)：嘗試用等積轉(zhuǎn)化的方式推導(dǎo)三角形面積公式，把你的想法用大家看得懂的方式表示出來。學(xué)生小組討論后完成研究任務(wù)。）

師：（出示圖3）請這個(gè)小組來分享你們的研究過程。

生：我們想到，如果不用倍積轉(zhuǎn)化法，能不能找到一種方法，把三角形直接轉(zhuǎn)化成長方形或者平行四邊形。所以我們把三角形都沿高的一半剪開，把上面的“尖尖”拼到下面，就成等積轉(zhuǎn)化了。

（其他學(xué)生分享過程略。）

師：轉(zhuǎn)化后三角形的面積有沒有發(fā)生變化？三角形的底、高與長方形的長、寬，平行四邊形的底、高有著怎樣的聯(lián)系？

生：轉(zhuǎn)化過后三角形面積不變，①號三角形轉(zhuǎn)化成了長方形，長方形的長是原三角形的底，寬是原三角形高的一半。②號、③號三角形轉(zhuǎn)化成了平行四邊形，平行四邊形的底是原三角形的底，高是原三角形高的一半。

師：看來，運(yùn)用等積轉(zhuǎn)化也能推導(dǎo)出三角形的面積公式。其實(shí)不論是倍積轉(zhuǎn)化還是等積轉(zhuǎn)化，抓住轉(zhuǎn)化前后兩個(gè)圖形底和高的“變”與“不變”，得出兩個(gè)圖形的面積關(guān)系，才是用轉(zhuǎn)化方法求三角形面積的本質(zhì)。

[思考：學(xué)生在自主交流的過程中探索用等積轉(zhuǎn)化的方法推導(dǎo)三角形的面積公式，體會解決問題策略的多樣性，加深對轉(zhuǎn)化方法本質(zhì)的感悟，形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識。]

五、滲透文化，領(lǐng)會方法背后的智慧

師：同學(xué)們只用一個(gè)三角形就推導(dǎo)出了三角形的面積計(jì)算公式，真棒！其實(shí)這種等積轉(zhuǎn)化的方法在我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中已有記載。（課件出示教材“你知道嗎”，學(xué)生朗讀）古人用“半廣以乘正從”表示三角形的面積計(jì)算公式，相信大家能結(jié)合圖片解釋這個(gè)公式，它相當(dāng)于“底×高÷2”，如果用a、h、S分別表示三角形的底、高、面積，三角形的面積計(jì)算公式還可以怎么表示？

生：S=ah÷2。

師：（再次出示圖1）回到課始的問題，現(xiàn)在，老師給出這塊三角形交通標(biāo)識的數(shù)據(jù)：它的底大約是8分米，高大約是7分米，你能算出它的面積嗎？

（學(xué)生獨(dú)立完成，匯報(bào)交流。）

師：（出示圖4）這個(gè)三角形一共給出了三個(gè)數(shù)據(jù)，要選擇哪兩個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算呢？選擇合適的數(shù)據(jù)求出三角形的面積。

（學(xué)生獨(dú)立完成后，全班交流。）

師：今天我們研究了什么內(nèi)容？是怎樣研究的？你還想研究哪些圖形的面積計(jì)算公式？打算怎樣研究？

[思考：數(shù)學(xué)教學(xué)要注重情境素材的育人功能，引入《九章算術(shù)》既能再一次讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化方法的多樣性，加深對等積轉(zhuǎn)化方法的認(rèn)識，也能幫助學(xué)生了解和領(lǐng)悟中華民族獨(dú)特的數(shù)學(xué)智慧，增強(qiáng)文化自信和民族自豪感。練習(xí)的第1題意在幫助學(xué)生鞏固對三角形的面積計(jì)算公式的應(yīng)用，第2題則著重引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行靈活判斷，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。課的最后，引導(dǎo)學(xué)生回顧反思，展望以后的學(xué)習(xí)內(nèi)容和研究方法，再次促進(jìn)知識的結(jié)構(gòu)化。]

（孫進(jìn)，安徽省合肥經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)社會發(fā)展局中心教研室，郵編：230601）