劉慧

若 A（x1，y1）、B（x2，y2），則 AB = （x1 - x2） 2 + （y1 - y2） 2 ， 該公式稱為兩點間的距離公式.兩點間的距離公式是 解析幾何中重要的解題“工具”，在解題中應(yīng)用廣泛.下 面結(jié)合實例來談一談兩點間的距離公式的應(yīng)用技巧.

一、求點的坐標(biāo)

兩點間的距離公式說明了兩個點的坐標(biāo)之間的 關(guān)系.在由一段距離求其中一個端點的坐標(biāo)時，我們可 借助兩點間的距離公式，建立關(guān)于這個端點的坐標(biāo)的 方程，通過解方程求得點的坐標(biāo).

例1

解：

由于已知 |PA| = 3|PB| 以及點 A、B 的坐標(biāo)，所以可 設(shè)出 P（a，b） ，根據(jù)兩點間的距離公式建立關(guān)于 x、y 的 方程，據(jù)此可求得點 P 的坐標(biāo).

二、證明三點共線

證明三點共線問題比較常見.求解此類問題，可利 用兩點間的距離公式分別求得其中任意兩點間的距 離，使得其中兩條較短的線段之和等于較長的線段 長，便可證明三點共線.

例2

證明：

三條線段中的兩條線段之和等于第三條線段的 長，則此三點必共線.解答本題，只需利用兩點間的距 離公式證明 |AB| + |AC| = |BC| 即可.

三、求解與線段長有關(guān)的平面幾何問題

解答與線段長有關(guān)的平面幾何問題，往往要將數(shù) 形結(jié)合起來，通過建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求得 或設(shè)出各個點的坐標(biāo)，即可利用兩點間的距離公式求 出各條線段的長.

例3

證明：

先根據(jù)已知圖形的特點，建立平面直角坐標(biāo)系， 分別寫出或設(shè)出O、A、B、C四點的坐標(biāo)；然后利用兩點 間的公式求出 |AB|、|AC|、|AO|、|OC| ，即可證明結(jié)論.對 于某些與線段長有關(guān)的平面幾何問題，若容易建立平 面直角坐標(biāo)系，并容易寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，則可以考 慮利用兩點間的距離公式來建立等量關(guān)系.在解答此 類問題時，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想，可使問題快速獲 解.

四、求無理函數(shù)的最值

有些無理函數(shù)的根號下的式子是二次函數(shù)式，經(jīng) 過配方后，把它看成兩點間的距離，就可以利用兩點 間的距離公式和平面幾何圖形的性質(zhì)來求最值.

例4

解：

函數(shù)式中的兩個根式可配湊成兩個完全平方式 的和，于是根據(jù)其幾何意義，將其看作兩點間的距離， 構(gòu)造出幾何圖形，利用三角形的兩邊之和大于第三邊 的公理和兩點間的距離公式，即可求得無理函數(shù)式的 最小值.

五、證明無理不等式

對于某些無理不等式，若根號下的式子可以看成 兩點間的距離，則可以從它的幾何意義入手，通過構(gòu) 建平面直角坐標(biāo)系，利用兩點間的距離公式來建立等 量關(guān)系式，把無理不等式證明問題轉(zhuǎn)化為平面幾何最 值問題，利用平面幾何圖形的性質(zhì)加以證明.

例5

證明：

觀察所要證明的不等式，可以發(fā)現(xiàn)該式可看作兩 點間的距離的開方，于是構(gòu)造幾何圖形，利用三角形 三邊之間的關(guān)系來建立不等關(guān)系式，借助兩點間的距 離公式證明結(jié)論.若代數(shù)式中出現(xiàn)兩組完全平方式的 和，則可從其幾何意義入手，將其看作兩點之間的距 離，借助兩點之間的距離和平面幾何圖形的性質(zhì)來求 解，就會達到出奇制勝的效果.

從以上分析可以看出，兩點間的距離公式看似很 簡單，在解題中應(yīng)用卻十分廣泛.運用該公式，可以求 點的坐標(biāo)，證明三點共線，證明與線段長有關(guān)的平面 幾何問題，求無理函數(shù)最值，證明無理不等式，等等.同 時，我們也可以看出，無論解答何種解析幾何問題，都 需將數(shù)形結(jié)合起來，這樣才能有效地提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省淮安市楚州中學(xué)）