徐 寒，韓玉蘭，曹曉峰

（寧夏大學 物理與電子電氣工程學院，寧夏 銀川 750021）

衡量一個算法的好壞往往需要合理的評估方法，因此評估方法是至關重要的。在目標跟蹤領域，一般的評估方法是通過計算目標的真實狀態(tài)和目標估計狀態(tài)之間的誤差來實現(xiàn)的。以點目標為例，通常是使用目標的真實狀態(tài)和估計狀態(tài)的均方根誤差（RMSE），作為狀態(tài)估計性能好壞的指標[1]。隨著傳感器精度的不斷提高，點目標假設不再成立。在實際情況下，目標在每個時刻可能會占據(jù)多個分辨單元，存在多個量測源，產(chǎn)生多個量測，這樣的目標稱之為擴展目標。擴展目標的多個量測不僅可以對目標的運動學狀態(tài)進行估計，還可以提取目標的形狀信息。因此，對擴展目標的形狀估計性能進行評估是十分重要的。

當擴展目標為規(guī)則形狀時，濾波器對形狀的估計性能可由其主要參數(shù)的RMSE進行度量。例如，針對Koch提出的基于隨機矩陣（RM）算法[2]，可以采用長軸、短軸、方向的RMSE來度量濾波器對橢圓形擴展目標的形狀估計性能，但這種方法不適用于不規(guī)則形狀[3]。為了能夠度量不規(guī)則形目標的估計形狀，部分學者將計算機視覺和圖像處理領域的交并比（IoU）概念引入到擴展目標跟蹤中，作為對形狀的估計性能指標。但是IoU方法只采用了面積的交并比，對形狀的相似度不能夠很好地表示，如橢圓形和長方形的IoU值也有可能很大[4]。因此，IoU并不能很好地描述目標的估計形狀和真實形狀的差異。部分學者采用擬Jaccard距離來對其進行評估，但是在計算最短距離和最長距離時將估計形狀和真實形狀看作一個整體，這無疑忽略了兩者的獨立性[5-9]，導致了即使估計的形狀和目標的真實形狀很相似，但是大小不同，得到的擬Jaccard距離會偏大，因此該方法也存在缺點。

為了解決上述問題，本文在Baum提出的隨機超曲面模型（Random hypersurface model-RHM）的基礎之上，提出了一種基于徑向函數(shù)的擴展目標形狀估計的評估方法。提出的方法對每一個角度上估計距離和到目標邊界的真實距離進行了比值運算，然后對所有角度下得到的集合求解標準差，利用該集合中數(shù)據(jù)的離散程度來對擴展目標的估計結果進行評估。實驗表明，提出的方法能夠較好地描述估計形狀和真實形狀之間相似度的變化。

1 擴展目標的形狀建模與跟蹤

Baum提出RHM可以描述星凸形目標的形狀，對符合星凸形形狀條件的不規(guī)則的擴展目標直接建模。星凸形可以定義：如果集合S?SN當中的任意一個點到質心m的線段上所有的點都仍屬于此集合，則集合S形成的形狀稱為星凸形[10-12]。對于星凸形目標，可以通過徑向函數(shù)來描述其形狀，其可以展開成如下的傅里葉級數(shù)形式：

其中，θk是k時刻質心與邊界點的夾角，R（θk）是傅里葉系數(shù)，ak和bk是組成目標形狀參數(shù)的分量。

加入縮放因子s，s∈（0，1]，星凸形擴展目標形狀S（xk）可以由下面式子來表示：

其中，e（θk）為單位向量，，分別表征了擴展目標在k時刻的坐標、速度。量測方程可以表示：

其中，h是非線性函數(shù)，vk,l是量測噪聲，sk,l是第l個量測點的縮放因子。

2 基于徑向函數(shù)的估計形狀評估方法

對擴展目標的形狀評估可以轉化為求解2個封閉曲線的相似度問題。在跟蹤擴展目標時，如果擴展目標的估計中點mk在真實目標的內(nèi)部，則擴展目標的真實形狀和估計形狀的邊界都可以用徑向函數(shù)來表示，基于徑向函數(shù)的擴展目標形狀估計評價算法有如下解釋。

以估計中點mk為坐標原點建立平面直角坐標系，并引出一條射線，與所建立的平面直角坐標系橫軸的正半軸的夾角為θ，到真實形狀的邊界和估計形狀的邊界的距離分別是Aθmk和Bθmk，由于星凸形在一個角度上只有一個確定的點，當θ確定時，有：

dθ為在角度θ上真實邊界到估計邊界的比值，由實際幾何含義已知，當比值dθ>1時，那么在角度為θ處，真實形狀是大于估計形狀的，反之則是小于估計形狀。借助角度均勻離散采樣的思想，在θ上均勻地取N個值，第N個角度用θN表示，將每個角度θ對應的比值構成的集合定義為Dk，該集合包含了每個角度下的估計形狀和真實形狀的相似度。如果該集合中的元素整體變化不大，則說明估計形狀和真實形狀很相近。該集合的均值可以表示：

為了描述這種變化，不妨采用總體標準差來表示：

由概率統(tǒng)計學可知，總體標準差σk越小，則說明集合Dk中的元素離散程度越低，真實形狀和估計形狀的相似度越高；若總體標準差σk的值越大，則說明真實形狀和估計形狀的相似性很差。

由于星凸形的擴展目標的建模方式為上述的RHM，形狀估計中的徑向函數(shù)可以直接使用。擴展目標的估計形狀用表示，目標的真實形狀用S（Cx）k表示，分別通過徑向距離函數(shù)來表示，即：

其中，θk∈[0，2π），采用角度均勻離散采樣的方式，將上式的連續(xù)集替換成離散集。

上式中，NS為采樣個數(shù)，將上述2個式子帶入到公式（7）中，有：

將式（12）直接帶入到式（8），可以得到基于徑向函數(shù)的擴展目標形狀評估結果。

3 仿真與對比性能評估

為了證明提出的評估標準有效性，將提出的算法與擬Jaccard距離算法、IoU算法在2個不同場景下進行對比實驗，從而說明提出方法的有效性。

本節(jié)使用的擴展目標為一個十字形目標，如圖1所示。目標的初始狀態(tài)為x=[20，10，10，10]T。目標在二維笛卡爾坐標平面內(nèi)做勻速直線運動，設初始估計的目標形狀為半徑等于3的圓形。每一個時刻獲得的量測的個數(shù)為服從參數(shù)等于20的泊松分布，采樣周期間隔T=1 s。

圖1 擴展目標的真實形狀

眾所周知，在擴展目標跟蹤的過程中，傳感器噪聲對擴展目標的形狀估計效果有著很大的影響。如果傳感器噪聲較小，那么對擴展目標的形狀估計效果應該更好，反之亦然。若對同一個目標在不同噪聲下獲得的形狀估計進行評估，那么傳感器噪聲較小的估計形狀應該會有更好的指標。分別給出2種不同噪聲情況下擴展目標跟蹤的形狀估計效果。擴展目標跟蹤的仿真結果如圖2所示，局部放大圖如圖3所示，3種不同評估算法對擴展目標在各個時刻的評估結果，如圖4所示。

圖2、圖3中，實線是低噪聲情況下得到的估計形狀，虛線是高噪聲情況下得到的估計形狀。在不同噪聲的情況下，每一個時刻獲得的量測數(shù)量是相同的?；谶@一場景，考察的是形狀評估算法的可靠性。從圖4可以看出，3種算法均具有較好的可靠性。

圖2 場景1中的星凸形跟蹤估計圖

圖3 圖2的局部放大圖

圖4 3種不同算法在不同噪聲影響下的形狀估計評估圖

在低噪聲情況下，為了將每種算法較前一個時刻的優(yōu)化效果量化出來，不妨采用優(yōu)化率對每一個時刻的優(yōu)化效果進行量化，結果如圖5所示。

從圖5可以看出，采用本文提出的評價方法具有更高的數(shù)值差異，這說明提出的方法具有更高的靈敏性。在第16-17時刻，估計結果有了較大的負優(yōu)化，量化后約為-11.4%。為了找到負優(yōu)化的原因并驗證提出方法的合理性，查找16-17兩個時刻的估計形狀，找到兩個時刻下徑向函數(shù)中比值偏離均值較大的所在角度，二者差異如圖6所示。

圖5 3種算法在各個時刻的優(yōu)化率

圖6 目標在16-17時刻的局部效果圖

從圖6可以看出，在低噪聲情況下（實線），在箭頭所指的部分，第16個時刻（右下）得到的估計形狀，比第17個時刻得到的估計形狀（左上）效果更貼近目標的真實形狀，正是由于這一點的偏差，使得在第17個時刻產(chǎn)生了負優(yōu)化。而其他2種算法無法將這一細節(jié)通過數(shù)值來準確地表示出來，由此可見本文提出方法的靈敏度與可靠性。

以上的仿真實驗表明，本文提出的基于徑向函數(shù)的擴展目標形狀估計的評估算法，是合理且有效的，它對形狀的變化具有高度的靈敏性。

4 結束語

本文對基于隨機超曲面的擴展目標跟蹤，提出了一種基于徑向函數(shù)的形狀估計評估方法，作為擴展目標跟蹤中的形狀估計好壞的指標。實驗證明了該方法是一種有效的度量指標，相比較IoU和擬Jaccard距離方法，提出的方法具有好的靈敏性，對目標的細微的變化也可以表示出來。下一步工作擬將其推廣到非星凸形擴展目標跟蹤中。