李 瑞

(陜西師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，西安 710119)

隨著計算機的不斷更新和數(shù)值方法的快速發(fā)展,科學計算應運而生,研究在計算機上運行的數(shù)值算法的構造及其數(shù)學理論的偏微分方程數(shù)值解得到了前所未有的發(fā)展.科學計算融合數(shù)學建模、數(shù)值算法、軟件研發(fā)和數(shù)值模擬等手段來認識和解決復雜的具有實際應用背景的科學工程問題，是計算機實現(xiàn)其在高科技領域應用的必不可少的紐帶和工具.[1]

泊松方程的一般形式為：

它可以描述靜電場、靜磁場的分布、穩(wěn)定溫度場、穩(wěn)定濃度場的分布. 在定解問題、定解條件以及解的物理分析教學過程中增加相關的工程背景及實用性，激發(fā)學生的學習興趣．如針對解光滑連續(xù)的性質，介紹其在圖像處理除噪過程中的應用，使學生對其有直觀的印象和更深入的理解．針對地下油氣水的滲流問題，講授壓力傳導方程的導出及如何寫出定解條件．通過有針對性的講授，提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力．[2]

1 二維泊松方程的有限差分方法

針對二維泊松方程，對矩形區(qū)域進行網(wǎng)格剖分如圖1所示.

圖1 矩形網(wǎng)格剖分

記ui±1,j=：u(xi±Δx,yj),ui,j=：u(xi,yj),ui,j±1=：u(xi,yj±Δy),利用Taylor級數(shù)展開可得偏導數(shù)：

則二維泊松方程的有限差分格式為：

由于差分格式中只出現(xiàn)在u(xi,yj)及其相鄰的四個點處的值，故稱為五點差分格式.但隨著問題的復雜，對擬真性的要求越來越高，傳統(tǒng)的差分方法會受到計算區(qū)域邊界形狀及網(wǎng)格剖分的限制.[3]

2 二維泊松方程的有限體積方法

針對矩形網(wǎng)格剖分和三角形網(wǎng)格剖分，沿著差分方法中微分算子的離散思想，引入原始網(wǎng)格剖分的外心對偶體，如圖2所示.根據(jù)格林公式

圖2 網(wǎng)格剖分及其外心對偶體單元

對二維泊松方程兩邊同時乘以1，利用格林函數(shù)可得：

若對偶體是矩形網(wǎng)格，沿其四邊的線積分用中矩形公式替代，可得：

利用一點高斯積分，可得二維泊松方程的有限體積離散格式：

注意到，建立在矩形對偶體上的數(shù)值格式與五點差分格式完全相同.

可得P0處的有限體積格式：

三角形網(wǎng)格剖分的外心對偶體受到網(wǎng)格剖分的影響，如一致三角形網(wǎng)格的外心對偶體是矩形網(wǎng)格，非一致網(wǎng)格剖分有可能構造不出來，如鈍角三角形.

3 二維泊松方程的廣義有限差分方法

圖3 三角形單元及其外心對偶體(左圖)和重心對偶體單元(右圖)

對二維泊松方程兩邊同時乘以1，在對偶體單元上利用格林函數(shù)可得：

通過數(shù)值積分，可以建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為自由度的代數(shù)方程組，從而把泊松方程的定解問題轉化為求解代數(shù)方程組的問題.重心對偶體對一致三角形網(wǎng)格剖分、非一致三角形網(wǎng)格剖分和復雜計算區(qū)域都有很好的適應性，如圖4.

圖4 三角形網(wǎng)格剖分及其重心對偶體單元

對于二維泊松方程，從上述可看出：

(1)矩形網(wǎng)格剖分的外(重心)心對偶體亦是矩形網(wǎng)格，有限體積離散格式等價于五點差分格式；

(2)三角形網(wǎng)格剖分的外心對偶體會受到原始網(wǎng)格剖分的影響，有限體積離散格式可直接利用一點高斯積分公式直接給出；

(3)三角形網(wǎng)格剖分的重心對偶體具有普遍適用性，有限體積離散格式通過格林公式得到，剛度矩陣可以通過數(shù)值積分得到.

4 結語

綜上所述，無論是外心對偶體，還是重心對偶體，自由度都是定義在網(wǎng)格節(jié)點上，此類方法可以看作特殊的有限差分方法，稱之為廣義有限差分方法.[6]給出的基于重心對偶體的有限體積離散格式，同樣適用于傳統(tǒng)有限差分離散格式和基于外心對偶體的有限體積離散格式.此格式具有形式上的統(tǒng)一性，這有利于學生們的理解和掌握，從而提高學生學習和應用有限差分方法的興趣．