安徽省合肥一六八中學(xué) 史傳奇 （郵編：230601）

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)多習(xí)題情境復(fù)雜多變，教學(xué)中如不注重相關(guān)方法的變式應(yīng)用，很容易使學(xué)生產(chǎn)生枯燥感，挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.其中啟發(fā)性提問(wèn)能夠指引學(xué)生向著正確的方向思考問(wèn)題，營(yíng)造寬松活潑課堂氛圍的同時(shí)，有效地避免學(xué)生走進(jìn)理解的誤區(qū)，促進(jìn)學(xué)生解題效率與解題能力的提升，因此高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)注重啟發(fā)性提問(wèn)的運(yùn)用，給高中數(shù)學(xué)課堂增添光彩.

1 借助啟發(fā)性提問(wèn)，提高函數(shù)奇偶性應(yīng)用的靈活性

奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，是各類測(cè)試的熱門(mén)考點(diǎn).教學(xué)中既要注重運(yùn)用多媒體技術(shù)為學(xué)生展示奇函數(shù)與偶函數(shù)的圖象特征，又要注重預(yù)留一定的時(shí)間要求學(xué)生認(rèn)真觀察圖象，總結(jié)奇、偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)，啟發(fā)其應(yīng)用數(shù)學(xué)符號(hào)概括奇、偶函數(shù)的特性，如此既能加深學(xué)生印象，又能使其更好地理解“f(x)=f(-x)”“f(x)=-f(-x)”的含義，而非簡(jiǎn)單機(jī)械記憶.同時(shí)，為提高學(xué)生運(yùn)用函數(shù)奇偶性解題的靈活性，課堂上應(yīng)注重篩選、講解經(jīng)典例題，尤其為幫助學(xué)生更好地打開(kāi)解題思路，應(yīng)注重設(shè)計(jì)相關(guān)的啟發(fā)性問(wèn)題，使學(xué)生通過(guò)思考啟發(fā)性問(wèn)題，更好地找到解題的思路，增強(qiáng)其解題的自信心.如課堂上可向?qū)W生展示如下例題：

例1已知定義在R 上的偶函數(shù)f(x)，且當(dāng)x≥0 時(shí)，f(x)=2x，若對(duì)任意x∈[0,2t+1]均有f(x+t)≥[f(x)]3，則實(shí)數(shù)t的最大值為（）

本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、不等式、恒成立等知識(shí)，具有較強(qiáng)的綜合性.要想順利地解答該題，需要學(xué)生運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，脫去函數(shù)的“對(duì)應(yīng)法則f”.教學(xué)中為使學(xué)生少走彎路，可提出一些啟發(fā)性問(wèn)題，采用一問(wèn)一答的形式開(kāi)展教學(xué)活動(dòng).

師：根據(jù)題意能否先粗略地求出t的取值范圍？

生：由給定的區(qū)間“[0,2t+1] ”可得關(guān)系式2t+1 ＞0，可求得t＞-

師：能否直接將f(x)=2x代入到關(guān)系式“f(x+t)≥[f(x)]3”中？

生：要研究的函數(shù)是在給定的參數(shù)范圍內(nèi)，因此，可以直接代入.

師：代入后可得2x+t≥23x，即，x+t≥3x，這一關(guān)系式是否正確，為什么？

生：因給定的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，因此，代入后應(yīng)轉(zhuǎn)化為|x+t|≥|3x|，而非x+t≥3x.

師：接下來(lái)該怎么處理？

生：兩邊平方、整理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求8x2-2xt-t2≤0 在[0,2t+1] 上恒成立時(shí)t的取值范圍，令g(x)=8x2-2xt-t2，由二次函數(shù)性質(zhì)只需滿足g(0)≤0,g(2t+1)≤0，解得≤t≤因此t的最大值為-故選A.

圍繞例題巧妙地設(shè)計(jì)啟發(fā)性問(wèn)題，層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生不斷地進(jìn)行思考，不僅深化了學(xué)生對(duì)函數(shù)奇偶性的認(rèn)識(shí)與理解，而且使其順利地解出了正確答案，很好地調(diào)動(dòng)了其學(xué)習(xí)的積極性，達(dá)成了預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo).

2 借助啟發(fā)性提問(wèn)，更好地掌握數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用思路

提高學(xué)生的解題能力是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要目標(biāo)之一.為更好地實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，不僅需要認(rèn)真細(xì)致地講解高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，而且需要傳授相關(guān)的解題思想、方法等，使學(xué)生在解題中能夠透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，迅速地找到解題的切入點(diǎn).其中數(shù)形結(jié)合思想在解題中有著廣泛的應(yīng)用，教學(xué)中應(yīng)注重圍繞具體教學(xué)內(nèi)容，啟發(fā)性地提問(wèn)學(xué)生，使學(xué)生掌握應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法解題的具體思路，使其感受到解題的成就感.高中函數(shù)知識(shí)教學(xué)中應(yīng)注重從學(xué)生熟悉的函數(shù)圖象切入，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的理解畫(huà)出相關(guān)函數(shù)的圖象.如由y=f(x) 的圖象畫(huà)出y=f(|x|)、y=-f(|x|)的圖象，為數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用做好鋪墊.另外，為使學(xué)生真正地體會(huì)數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，可圍繞以下習(xí)題開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)：

例2已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=a(x+3)恰好有4 個(gè)不相等的實(shí)根，則a的取值范圍為（）

本題考查了分段函數(shù)、方程、函數(shù)圖象、導(dǎo)數(shù)、切線等知識(shí)點(diǎn)，較為綜合，能很好地檢測(cè)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況.其中正確地畫(huà)出函數(shù)的圖象，深挖圖象中的隱含條件是破題的關(guān)鍵所在.為使學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，應(yīng)有啟發(fā)性地對(duì)學(xué)生進(jìn)行提問(wèn).

師：根據(jù)題意，方程有4 個(gè)不相等的實(shí)根，意味著方程兩邊的函數(shù)圖象有什么關(guān)系？

生：方程兩邊的函數(shù)圖象應(yīng)有4 個(gè)不同的交點(diǎn).

師：如何畫(huà)出函數(shù)y=|x3-4x-1 |的圖象？函數(shù)y=a(x+3)的圖象恒過(guò)哪一個(gè)點(diǎn)？請(qǐng)嘗試著在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象.

生：先借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=x3-4x-1 的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，再畫(huà)出它的圖象，而后將處于x軸下方的圖象關(guān)于x軸向上翻折，即可得到函數(shù)y=|x3-4x-1 |的圖象.函數(shù)y=a(x+3)的圖象恒過(guò)點(diǎn)(-3,0).兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖1 所示：

圖1

師：若要滿足題意，當(dāng)x＞0 時(shí)，函數(shù)y=|x3-4x-1 |的圖象和函數(shù)y=a(x+3)的圖象應(yīng)有幾個(gè)交點(diǎn)？觀察圖象，如何求解符合上述交點(diǎn)的a的取值范圍？

生：顯然因?yàn)閤＜0 時(shí)兩個(gè)函數(shù)的圖象必有1個(gè)交點(diǎn)，因此，當(dāng)x＞0 時(shí)，函數(shù)y=|x3-4x-1|和y=a(x+3)的圖象應(yīng)有3 個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，函數(shù)y=a(x+3)的圖象在兩個(gè)臨界位置之間的部分即滿足題意.這里需要求出兩個(gè)邊界，當(dāng)它過(guò)點(diǎn)(0,1)時(shí)，可得a=當(dāng)它和曲線y=|x3-4x-1 |相切時(shí)的位置即為上邊界.師：如何求上邊界對(duì)應(yīng)的a的值呢？

生：根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識(shí)，通過(guò)設(shè)出切點(diǎn)，求出a的值.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,-+4x0+1)，過(guò)切點(diǎn)的切線斜率為-3x02+4，對(duì)應(yīng)的切線為y＝-4x0-1=(-+4)(x-x0)，將點(diǎn)(-3,0) 代入解得a=1，因此，a的取值范圍為，故選D.

通過(guò)設(shè)計(jì)啟發(fā)性問(wèn)題促進(jìn)學(xué)生思考，使學(xué)生深刻地體會(huì)到運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的便利之處，有效地提升了其運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題的意識(shí).同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié)，很好地掌握了運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法的解題思路，如解決復(fù)合方程根的問(wèn)題，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法可有效地破題.

3 借助啟發(fā)性提問(wèn)，更好地掌握構(gòu)造函數(shù)的技巧

解答高中數(shù)學(xué)習(xí)題的方法多種多樣，尤其在解答函數(shù)習(xí)題中時(shí)常需要根據(jù)已知條件構(gòu)造新的函數(shù).而構(gòu)造新的函數(shù)對(duì)學(xué)生分析以及理解問(wèn)題的能力要求較高.教學(xué)中為提高學(xué)生構(gòu)造函數(shù)的自信心，掌握構(gòu)造函數(shù)的相關(guān)技巧，應(yīng)注重從學(xué)生所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)入手，通過(guò)給予學(xué)生引導(dǎo)與啟發(fā)，先要求其構(gòu)造簡(jiǎn)單的函數(shù)，加深其對(duì)構(gòu)造函數(shù)作用的認(rèn)識(shí).并根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際以及近年來(lái)高考中有關(guān)構(gòu)造函數(shù)考查的規(guī)律與方向，為學(xué)生展示相關(guān)的習(xí)題，要求其通過(guò)構(gòu)造函數(shù)加以解答，以更好的拓展其視野與能力，吃透構(gòu)造函數(shù)的本質(zhì)，在以后的解題中能夠以不變應(yīng)萬(wàn)變.如在講解對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)時(shí)，為學(xué)生展示如下習(xí)題：

例3已 知a、b∈(0,3)，且4 lna=aln 4,4 lnb=bln 2,c=log0.30.06，則（）

A.c＜b＜aB.a＜c＜b

C.b＜a＜cD.b＜c＜a

本題給出的條件較為簡(jiǎn)單，但是較為抽象，要想順利地解答，需要對(duì)已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，而后觀察等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出合理的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)比較相關(guān)參數(shù)的大小關(guān)系.教學(xué)中為使學(xué)生少走彎路，盡快地找到突破口，應(yīng)注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)性的提問(wèn).

師：由“4 lna=aln 4”能否求出a的值？

生：因?yàn)? lna=aln 4，即4 lna=2aln 2，可以求得a=2.

師：如何將“4 lnb=bln 2”改寫(xiě)成分式的形式？

師：怎樣比較c和2 的關(guān)系？

生：c=log0.30.06=log0.3(0.2×0.3)=log0.30.2+1＞log0.30.3+1=2，所 以c＞2，即c＞a，綜 上分析可知b＜a＜c，故選C.

本題難度較大，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言一時(shí)難以找到解題的思路.而通過(guò)啟發(fā)性地提問(wèn)學(xué)生，逐步啟發(fā)引導(dǎo)，最終撥云見(jiàn)日，使學(xué)生順利地找到了解題思路，很好地鍛煉了學(xué)生構(gòu)造函數(shù)解題的能力，積累了運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)解題的相關(guān)技巧.

4 借助啟發(fā)性提問(wèn)，更好地把握運(yùn)用函數(shù)周期性解題的細(xì)節(jié)

高中數(shù)學(xué)有關(guān)函數(shù)周期性的考查，常要求學(xué)生求解一些較大自變量的函數(shù)值.教學(xué)中為使學(xué)生更好地把握運(yùn)用解題的相關(guān)細(xì)節(jié)，一方面，注重加深學(xué)生對(duì)函數(shù)周期性的認(rèn)識(shí)與理解，尤其結(jié)合高中數(shù)學(xué)中一些具體的周期函數(shù)，與學(xué)生一起總結(jié)周期函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及推導(dǎo)函數(shù)周期性的相關(guān)思路，使學(xué)生能夠熟練地掌握.另一方面，注重組織學(xué)生開(kāi)展針對(duì)性的訓(xùn)練活動(dòng)，給學(xué)生帶來(lái)良好的解題啟發(fā)，使其認(rèn)識(shí)到運(yùn)用函數(shù)周期解題時(shí)常需要與函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性結(jié)合起來(lái).同時(shí)，注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)性的提問(wèn)，通過(guò)驅(qū)使學(xué)生進(jìn)行有深度的思考，使其盡快地推導(dǎo)出函數(shù)的周期，以順利地解答習(xí)題.教學(xué)中可組織學(xué)生圍繞以下習(xí)題開(kāi)展專題訓(xùn)練活動(dòng)：

例4已知函數(shù)f(x)=1，若定義在R 上的奇函數(shù)g(x)，滿足g(1-x)=g(1+x)，且g(1)=f(log225)+f則g(2019)的值為（ ）

A.2 B.0 C.-1 D.-2

本題給出的函數(shù)表達(dá)式較為復(fù)雜，而且較為抽象，很多學(xué)生審題后不知所措.課堂上應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立必勝的信念，通過(guò)給予學(xué)生啟發(fā)性的提問(wèn)，逐步引導(dǎo)學(xué)生化難為易，運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)周期加以巧妙地突破.

師：由函數(shù)f(x)，探討f(x)+1 的奇偶性是怎樣的？

生：由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可知f(log225)+=f(2 log25)+f(-2 log25)，g(1)=f(2 log25)+f(-2 log25).

師：怎樣建立g(1)和h(x)之間的關(guān)系？

生：g(1)=f(2 log25)+f(-2 log25)=h(2 log25)-1+h(-2 log25)-1=-2，因?yàn)間(x)為奇函數(shù)，則g(-1)=-g(1)=2.

師：g(2023)中自變量的數(shù)值很大，要求其值需要運(yùn)用到周期，那么怎樣結(jié)合上面問(wèn)題的結(jié)論以及“g(1-x)=g(1+x)”推出g(x)的周期呢？

生：因?yàn)間(1-x)=g(1+x)，可知g(x)的圖象關(guān)于直線x=1 對(duì)稱，則g(4+x)=g[1+(x+3)]=g[1-(x+3)]=g(-x-2)=-g(x+2)=g[1-(x+1)]=-g(-x)=g(x)，所以g(x)的周期為4，則g(2023)=g(4×506-1)=g(-1)=2，故選A.

課堂上對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)性提問(wèn)，實(shí)際上在幫助學(xué)生梳理解題思路，學(xué)生經(jīng)過(guò)積極的思考與回答教師提出的問(wèn)題，成功地解答成了該題.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)充分認(rèn)識(shí)到啟發(fā)性提問(wèn)的重要價(jià)值，尤其是結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容做好問(wèn)題的設(shè)計(jì).課堂通過(guò)啟發(fā)性地提問(wèn)學(xué)生，營(yíng)造民主的課堂氛圍，拉近與學(xué)生距離的同時(shí)，進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，指引其迅速地找到解題的思路與方法，為其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)的提升做好鋪墊.