江蘇省南通開放大學(xué) 楊 忠 （郵編：226000）

在化學(xué)中，兩種物質(zhì)在一定的條件下遭遇發(fā)生化學(xué)反應(yīng)，便有新的物質(zhì)生成.同樣，在數(shù)學(xué)中，兩個(gè)不同的知識(shí)點(diǎn)碰到一起，也會(huì)產(chǎn)生一些新的發(fā)現(xiàn)，這樣的例子很多，最為經(jīng)典的例子——坐標(biāo)系便是代數(shù)與幾何結(jié)合的結(jié)果，這個(gè)結(jié)果對數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的推動(dòng)作用.筆者這里嘗試將函數(shù)、方程與取整運(yùn)算相結(jié)合，也有了趣味性發(fā)現(xiàn)，這里與同行朋友們分享.

1 函數(shù)與取整

1.1 一次函數(shù)y=kx+b(k ≠0)

對自變量取整得到函數(shù)y=k[x] +b，圖象成階梯形，兩個(gè)相鄰整數(shù)之間左閉右開區(qū)間上函數(shù)值相等，故每一級(jí)階梯寬度為1 個(gè)單位；相鄰兩個(gè)整數(shù)區(qū)間，函數(shù)值差為k，故階梯的高度為直線斜率的絕對值即 ||k，圖象夾在一次函數(shù)y=kx+b與y=kx+b+1 之間，如圖1.

圖1

對一次項(xiàng)取整得到函數(shù)y=[kx]+b，圖象成階梯形，變量[kx]取值為連續(xù)整數(shù)值，相鄰階梯的高度為1，[kx]的增量1 由x的增量產(chǎn)生，故每個(gè)階梯的寬度為；圖象夾在一次函數(shù)y=kx+b與y=kx+b-1 之間，如圖2.

圖2

對函數(shù)值取整得到函數(shù)y=[kx+b]，圖象成階梯形.b=0 時(shí)，得到正比例函數(shù)的函數(shù)值取整y=[kx]，階梯高度為1，[kx]的增量1 由x的增量產(chǎn)生，每個(gè)階梯的長度為，x軸上區(qū)間是圖象中離原點(diǎn)最近的一個(gè)階梯.y=則可由y=[kx]圖象平移得到，圖象夾在y=kx+b與y=kx+b-1 兩個(gè)函數(shù)圖象之間，如圖3.

圖3

1.2 反比例函數(shù)y=

對自變量取整得到函數(shù)y=，圖象成階梯形，區(qū)間[0,1) 內(nèi)函數(shù)無定義，故無對應(yīng)的階梯.其余相鄰兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成的左閉右開區(qū)間上的函數(shù)值相等，故對應(yīng)的該級(jí)階梯寬度為1 個(gè)單位；變量x的絕對值越大，階梯的高度差越小.圖象夾在y=與y=兩個(gè)函數(shù)圖象之間，如圖4.

圖4

對函數(shù)值取整得到函數(shù)y=，圖象成階梯形，變量取值為連續(xù)整數(shù)值，相鄰階梯的高度差為1；變量x的絕對值越大，階梯的寬度越大，圖象夾在函數(shù)y=與y=-1 兩個(gè)函數(shù)圖象之間，如圖5.

圖5

從特殊到一般，從上述特例中可以歸納函數(shù)中進(jìn)行取整運(yùn)算的圖象規(guī)律如下：

歸納1如圖6，對函數(shù)y=f(x) 自變量取整得到y(tǒng)=f([x])，圖象成階梯形，相鄰兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成的左閉右開區(qū)間內(nèi)若有定義，則函數(shù)值相等，對應(yīng)的圖象即為寬度1 的階梯.y=f([x])的圖象夾在函數(shù)y=f(x)與y=f(x-1)兩個(gè)函數(shù)圖象之間.

圖6

歸納2如圖7，對y=f(x)函數(shù)值取整得到y(tǒng)=[f(x)]，圖象成階梯形，階梯高度差為1，y=[f(x)]的圖象夾在函數(shù)y=f(x)與y=f(x)-1 兩個(gè)函數(shù)圖象之間.

圖7

2 方程與取整

2.1 二元一次方程取整

以直線方程2x+3y=6 為例，對二元一次方程的兩個(gè)變量取整：2[x]+3[y]=6，則[x]、[y]均為整數(shù)，取值如下表，

_____________________[_]x 6______9___[]y…________________________________________________________________________________________…_____3__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________0_____-2___-4____12_____-6____… ___________________________________…__

圖8

對二元一次方程的兩個(gè)一次項(xiàng)取整得[2x]+[3y]=6，[2x]、[3y]均為整數(shù)，可以取連續(xù)整數(shù)，

___[]2x___[]3y… _______________________________________________________________________________________…_____1 __________________________________________________________________________________________________5______2 _______________________________________________________________________________________________4_____3 __________________________________________________________________________________________________________3______4 ______________________________________________________________________________________________2_____… ___________________________________…__

對應(yīng)的圖象應(yīng)為左下角頂點(diǎn)在直線2x+3y=6 上的相連矩形塊（不含右邊框與上邊框）如圖9.

圖9

對二元一次方程的含變量部分取整得[2x+3y]=6，應(yīng)有6 ≤2x+3y＜7，函數(shù)圖象如圖10 .

圖10

2.2 圓方程取整

以圓方程x2+y2=25 為例，對二元一次方程的兩個(gè)變量取整得到方程：[x]2+[y]2=25，由[x]、[y]均為整數(shù)，取值如下表，

[_]x______0______3_____4[]y 0_____________________________________________________________________________________________________________5_-___5 3___________________________________________________________________________________________________________________4__-4__4____________________________________________________________________________________________________________3_-3_5 __________________________0___-5 0___-4_3__-4_-3___-3 4__-3-4

以得到方程2[x]+3[y]=6 圖象的類似方法，可以得到圖象為圓x2+y2=25 上整點(diǎn)為左下角頂點(diǎn)的單位正方形（不含右邊框與上邊框）組成的區(qū)域，如圖11.

圖11

以圓方程x2+y2=10 為例，對二元一次方程的兩個(gè)二次項(xiàng)取整得到方程得[x2]+[y2]=10，由[x2]，[y2]均為整數(shù)可得：

圖12

若對圓方程x2+y2=10 的含變量部分取整：[x2+y2]=10，則 有10 ≤x2+y2＜11，對應(yīng)圖象為不含外邊框的圓環(huán).

從上述特例中可以歸納方程中進(jìn)行取整運(yùn)算的圖象規(guī)律如下：

歸納3對二元方程的兩個(gè)變量分別取整，則圖象由左下角頂點(diǎn)為原方程圖象上的整點(diǎn)，不含右邊框與上邊框的所有單位邊長正方形所組成的區(qū)域.

歸納4對直線方程的一次項(xiàng)取整，圖象位于在原方程直線上方，左下角頂點(diǎn)在原方程直線上且相互連接的矩形串（不含右邊框與上邊框）；對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中二次項(xiàng)取整，圖象為在原方程圖象外側(cè)、一個(gè)頂點(diǎn)在原方程曲線上且相互連接的矩形串（不含右邊框與上邊框）.

3 規(guī)律應(yīng)用

例1記[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).設(shè)R 是滿足的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成的區(qū)域.則區(qū)域R 的面積為__________.

解析先考慮等式[x]+[y]=7，由[x]，[y]為整數(shù)，再由x≥0，y≥0，[x]、[y]均為整數(shù)，取值如下表：

__[______]x__[]y 0 ________________________________________________________________________________7_____1 _______________________________________________________________________________6_____2 _______________________________________________________________________________5_____3 _______________________________________________________________________________4_____4 _______________________________________________________________________________3_____5 _______________________________________________________________________________2_____6 _______________________________________________________________________________1_____7 ______________________________________0__

如圖13，區(qū)域R 由8 個(gè)單位正方形組成，面積為8.

圖13

例2（《中等數(shù)學(xué)》2021 年5 期數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題）記[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).設(shè)R 是滿足的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成的區(qū)域.則區(qū)域R 的面積為________.

解析尋找區(qū)域的臨界，故先考慮等式x+y+[x]+[y]=7，即{x}+{y}+2[x]+2[y]=7，故 {x}+{y}為 整 數(shù)，而 0 ≤{x}＜1，0 ≤{y}＜1，故0 ≤{x}+{y}＜2，所 以{x}+{y}=1，[x]+[y]=3，故x+y+[x]+[y]=7等價(jià)于x+y=4.x+y+[x]+[y]≤7，即x+y≤4，故滿足的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成的區(qū)域R 的面積為8.

例3設(shè)記[a]表示不超過實(shí)數(shù)a的最大整數(shù)，實(shí)數(shù)x、y滿足[x]2+[y]2≤10，求2x+3y的最小值.

解析由[x]2+[y]2≤10，[x]2、[y]2為 完全平方數(shù)得下表：

__x2[_]y 2[]__1 ___________________________________________9__9 ___________________________________________1__0 ___________________________________________9__9 ___________________________________________0__4 ___________________________________________4__1 ___________________________________________4__4 ___________________________________________1__0 ___________________________________________4__4 ___________________________________________0__1 ___________________________________________1__0 ___________________________________________1__1 ___________________________________________0__0 0

[x]2+[y]2≤10 對應(yīng)的區(qū)域，如圖14，其左邊沿與下邊沿包括在區(qū)域內(nèi)部，為實(shí)線；其右邊沿與上邊沿不包括在區(qū)域內(nèi)部，為虛線.

圖14

記2x+3y=t，則直線2x+3y=t經(jīng)過點(diǎn)(-1,-3)、(2,4)時(shí)，得到t的范圍為[ -11,16)，故2x+3y的最小值-11.