梁 棟，丁 力，黃 明，曹 杰

(1.江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，常州 213000；2.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，南京 210016)

0 引言

隨著機(jī)器人工程、人工智能、傳感器與通信等學(xué)科的發(fā)展，空中機(jī)器人在軍民用領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。但上述應(yīng)用仍停留在被動(dòng)作用階段，近年來(lái)學(xué)者們更希望其能對(duì)所處環(huán)境施加主動(dòng)影響，實(shí)現(xiàn)與環(huán)境的交互作業(yè)[3]?？罩袡C(jī)械臂是一種由旋翼飛行器加裝機(jī)械臂組成的新型系統(tǒng)，它能替代人完成高危環(huán)境下的信息采集、儀器遠(yuǎn)程操控等任務(wù)。因此，面向(unmanned aerial vehicle，UAV)的空中機(jī)械臂在一定程度上拓展了空中機(jī)器人的應(yīng)用范圍。

對(duì)于空中機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模的研究，國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者進(jìn)行了一定的探索。張廣玉等[4]設(shè)計(jì)了一款由6旋翼飛行器加裝7自由度機(jī)械臂的空中機(jī)械臂，并將其當(dāng)作質(zhì)量分布隨機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)而變化的特殊系統(tǒng)，采用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量與動(dòng)量矩定理對(duì)其進(jìn)行了系統(tǒng)建模。ORSAG 等[5]將雙機(jī)械臂加裝到4旋翼飛行器上，通過(guò)分析懸停狀態(tài)下機(jī)械臂與飛行器之間的力/力矩的內(nèi)在聯(lián)系，分別采用牛頓-歐拉法對(duì)兩個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行了建模分析。TOMASZ等[6]將具有展開(kāi)式結(jié)構(gòu)的輕質(zhì)機(jī)械臂加裝到無(wú)人直升機(jī)上，采用拉格朗日法給出了系統(tǒng)廣義力與廣義力矩的解析式。目前，大多數(shù)空中機(jī)械臂仍采用關(guān)節(jié)直驅(qū)方式，即將驅(qū)動(dòng)電機(jī)、減速器及傳感器直接安裝在關(guān)節(jié)處，這不僅會(huì)增加臂身慣量，加重旋翼飛行機(jī)器與機(jī)械臂之間的耦合效應(yīng)，還會(huì)限制機(jī)械臂自由度的增加，縮小了機(jī)械臂的操作空間。因此，研究空中機(jī)械臂的新型驅(qū)動(dòng)方式具有一定的研究意義。

繩驅(qū)動(dòng)技術(shù)將驅(qū)動(dòng)模塊外置，有效降低了系統(tǒng)特定部分的體積與慣量、增加了機(jī)械臂的柔順性，有利于提升系統(tǒng)在復(fù)雜非結(jié)構(gòu)環(huán)境中的作業(yè)能力與適應(yīng)能力?？紤]到繩驅(qū)動(dòng)技術(shù)低摩擦、低慣量、零回程間隙等特性，ROOKS[7]研制了一款繩驅(qū)動(dòng)擬人機(jī)械臂WAM，實(shí)現(xiàn)了與作業(yè)環(huán)境全方位安全交互。DE等[8]設(shè)計(jì)的套輪式繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂Dexter可實(shí)現(xiàn)各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)完全解耦，便于機(jī)械臂控制器設(shè)計(jì)及關(guān)節(jié)數(shù)目的疊加。在此基礎(chǔ)上，本課題組進(jìn)一步研究了繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[9]、運(yùn)動(dòng)學(xué)主動(dòng)解耦機(jī)理[10]、軌跡跟蹤控制[11]等內(nèi)容。

為分析繩驅(qū)動(dòng)空中機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)特性，本文對(duì)繩驅(qū)動(dòng)空中機(jī)械臂的機(jī)體、機(jī)械臂及繩索機(jī)構(gòu)進(jìn)行了三維建模。進(jìn)而，將整個(gè)系統(tǒng)分為4旋翼飛行器和機(jī)械臂兩個(gè)子系統(tǒng)，綜合牛頓-歐拉法、旋量理論、拉格朗日法和空間算子代數(shù)(spatial operator algebra，SOA)理論推導(dǎo)出了兩個(gè)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)。最后，分別在MATLAB和Adams仿真環(huán)境下對(duì)繩驅(qū)動(dòng)空中機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)性能進(jìn)行了模擬分析。

1 機(jī)械設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)的面向UAV的繩驅(qū)動(dòng)空中機(jī)械臂虛擬樣機(jī)如圖1所示，包括4旋翼飛行器和二自由度繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂。飛行器上裝有4個(gè)槳葉及電機(jī)、2個(gè)GPS模塊、1個(gè)Pixhawk飛行控制器和起落架。飛行器下方設(shè)計(jì)有2層掛板，上層安裝一塊6 s鋰電池，下層用來(lái)安裝直流減速電機(jī)以及掛載繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂。飛行器和機(jī)械臂的控制器是獨(dú)立的，即前者用機(jī)載Pixhawk飛行控制器，后者用Stm32控制板。飛行數(shù)據(jù)與機(jī)械臂響應(yīng)數(shù)據(jù)可通過(guò)機(jī)載SD卡儲(chǔ)存或經(jīng)數(shù)傳實(shí)時(shí)發(fā)送至地面站。

圖1 面向UAV的繩驅(qū)動(dòng)空中機(jī)械臂虛擬樣機(jī)

繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂具有2個(gè)平行關(guān)節(jié)，如圖2所示。2套直流減速電機(jī)被安裝在基座處，下方電機(jī)通過(guò)驅(qū)動(dòng)輪上纏繞的兩根繩索驅(qū)動(dòng)大臂關(guān)節(jié)1正反轉(zhuǎn)，上方電機(jī)通過(guò)主動(dòng)輪、導(dǎo)向輪及張緊輪將力矩傳遞到小臂關(guān)節(jié)2處，最終實(shí)現(xiàn)末端執(zhí)行器的給定運(yùn)動(dòng)。另外，兩根關(guān)節(jié)軸上分別安裝了編碼器，用于測(cè)量關(guān)節(jié)角的信息。這樣的設(shè)計(jì)可有效減輕臂身重量和關(guān)節(jié)慣量，提高末端負(fù)載自重比，同時(shí)兼具結(jié)構(gòu)輕巧、減振吸振的優(yōu)點(diǎn)。

圖2 繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂三維示意圖

關(guān)節(jié)繩索的走線(xiàn)形式如圖3所示，其中直流減速電機(jī)拉動(dòng)繩索1實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)輪的正轉(zhuǎn)、拉動(dòng)繩索2實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)輪的反轉(zhuǎn)，這樣便實(shí)現(xiàn)了關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)的解耦。同時(shí)，張緊機(jī)構(gòu)中的張緊輪提供預(yù)緊力，保證電機(jī)力矩傳遞的可靠性。導(dǎo)向輪可改變繩索方向，使得兩個(gè)關(guān)節(jié)的繩索互不干涉。

圖3 繩索走線(xiàn)形式

2 系統(tǒng)模型

如圖4所示，對(duì)于繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的描述需要3套坐標(biāo)系，即慣性坐標(biāo)系{I}、機(jī)身坐標(biāo)系{B}和機(jī)械臂坐標(biāo)系{1}、{2}及{e}。

圖4 繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

這里需要強(qiáng)調(diào)的是本文討論的系統(tǒng)建模僅觸及到多剛體建模理論，為了簡(jiǎn)化建模過(guò)程，故不考慮4旋翼和機(jī)械臂之間的動(dòng)力學(xué)耦合效應(yīng)、繩索柔性變形、關(guān)節(jié)摩擦間隙及空氣阻力等非線(xiàn)性因素。

2.1 4旋翼系統(tǒng)模型

將4旋翼看作一個(gè)單剛體，其動(dòng)力學(xué)模型可由牛頓-歐拉方程[12]獲得：

(1)

式中，IP∈R3和IV∈R3分別為4旋翼在坐標(biāo)系{I}下的位置和線(xiàn)速度；g為重力加速度；f為總拉力；m0為4旋翼質(zhì)量；Θ∈R3和Bω∈R3分別為在坐標(biāo)系{B}下的歐拉角和角速度；J∈R3×3為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；τq∈R3為槳葉在機(jī)身軸上產(chǎn)生的力矩，包括橫滾力矩、俯仰力矩及偏航力矩；R和W分別為轉(zhuǎn)換矩陣，即：

(2)

(3)

式中，s(·)和c(·)分別是sin(·)和cos(·)的縮寫(xiě)；φ是橫滾角；θ是俯仰角；ψ是偏航角。

對(duì)于X字型的4旋翼來(lái)說(shuō)，總拉力、力矩與槳葉轉(zhuǎn)速之間的數(shù)學(xué)關(guān)系為：

(4)

式中，cT、cM和ωi(i=1,2,3,4)分別為槳葉升力系數(shù)、反力矩系數(shù)和轉(zhuǎn)速。

2.2 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可構(gòu)建在指數(shù)積公式的基礎(chǔ)上[13]，故其正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

(5)

(6)

式中，ωi、vi分別為第i關(guān)節(jié)的角速度和線(xiàn)速度；S(·)∈so(3)為反對(duì)稱(chēng)矩陣。

表1給出了繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂在基坐標(biāo)系下的旋量參數(shù)。

表1 基座標(biāo)系的旋量參數(shù)

根據(jù)表中參數(shù)可以很容易計(jì)算出末端執(zhí)行器在基坐標(biāo)系下的位姿，這里就不再給出詳細(xì)的計(jì)算步驟。

進(jìn)而，可通過(guò)如下齊次變換矩陣BU1將坐標(biāo)系{e}中的位姿投影到機(jī)身坐標(biāo)系{B}中，即：

BTe=BU1T

(7)

根據(jù)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的結(jié)果，可求出機(jī)械臂反向運(yùn)動(dòng)學(xué)的解析解，即：

(8)

2.3 機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型

繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的反向動(dòng)力學(xué)模型可由拉格朗日方程推導(dǎo)獲得，即：

(9)

式中，L為拉格朗日函數(shù)；Ki和Pi分別為第i根連桿的動(dòng)能與勢(shì)能。這里需說(shuō)明的是本文將連桿質(zhì)量集中到關(guān)節(jié)處。

可將上述模型改寫(xiě)成反向動(dòng)力學(xué)方程的一般形式，即：

(10)

對(duì)于繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂正向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，由于計(jì)算質(zhì)量矩陣M(θ)的逆耗時(shí)費(fèi)力，故采用SOA理論來(lái)解決這一問(wèn)題，即利用Kalman濾波平滑法將M(θ)分解成如下形式：

M(θ)=(I+HΦU)D(I+HΦU)T

(11)

其逆矩陣為：

M(θ)-1=(I-HΦU)TD-1(I-HΦU)

(12)

式中，H為狀態(tài)轉(zhuǎn)換算子；Φ為空間移位算子；U為Kalman移位算子；D為關(guān)節(jié)空間中關(guān)節(jié)無(wú)記憶質(zhì)量算子。定義其他SOA算子，即Q為狀態(tài)空間中關(guān)節(jié)無(wú)記憶質(zhì)量算子；B為Kalman增益算子；Λ為機(jī)械臂算子。這些算子的具體解釋可參考課題組前期研究成果[14]，這里就不再贅述。

若已知關(guān)節(jié)力矩τm，則基于SOA理論的繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂高效率正向動(dòng)力學(xué)遞推公式為：

(13)

進(jìn)而，對(duì)關(guān)節(jié)加速度進(jìn)行積分便可獲得關(guān)節(jié)角速度和關(guān)節(jié)角。

3 仿真分析

為了深入剖析面向UAV的繩驅(qū)動(dòng)空中機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)特性，本節(jié)通過(guò)3個(gè)仿真算例來(lái)演示說(shuō)明。表2給出了仿真中繩驅(qū)動(dòng)空中機(jī)械臂的物理參數(shù)。

表2 繩驅(qū)動(dòng)空中機(jī)械臂的物理參數(shù)

(1)4旋翼飛行軌跡仿真。在0～5 s內(nèi)，機(jī)械臂相對(duì)4旋翼保持靜止，飛行器從原點(diǎn)飛至(8 m,10 m,-12 m)的目標(biāo)位置懸停，其他初始條件均為0。過(guò)程中，4旋翼的力矩信號(hào)由串級(jí)PID控制器生成，這里就不再擴(kuò)展說(shuō)明，詳細(xì)過(guò)程可參考文獻(xiàn)[15]。仿真結(jié)果如圖5～圖8所示，可以看出4旋翼可在4 s左右到達(dá)目標(biāo)位置，位置和姿態(tài)變化較為平坦，力矩響應(yīng)速度也較快，這說(shuō)明了本文建立的4旋翼系統(tǒng)模型是合理正確的。

圖5 4旋翼三維飛行軌跡 圖6 4旋翼三軸位置變化曲線(xiàn)

圖7 4旋翼三軸姿態(tài)變化曲線(xiàn)圖8 4旋翼力矩變化曲線(xiàn)

(2)機(jī)械臂反向動(dòng)力學(xué)仿真。在2 s內(nèi)，驅(qū)動(dòng)繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角θ1從-30°變化至20°，關(guān)節(jié)角θ2從-60°變化至60°。采用五次多項(xiàng)式規(guī)劃出兩關(guān)節(jié)在2 s內(nèi)的關(guān)節(jié)角、關(guān)節(jié)角速度及關(guān)節(jié)角加速度的變化歷程，如圖9所示。根據(jù)式(5)～式(7)計(jì)算出末端執(zhí)行器在機(jī)身坐標(biāo)系{B}下的位置變化，如圖10所示。利用式(10)計(jì)算出此變化過(guò)程所需的關(guān)節(jié)力矩，結(jié)果如圖11所示。上述結(jié)果進(jìn)一步說(shuō)明了利用旋量理論和拉格朗日法建立機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和反向動(dòng)力學(xué)模型的可行性。

圖9 關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃結(jié)果

圖10 機(jī)身坐標(biāo)系下末端執(zhí)行器位置變化

圖11 關(guān)節(jié)力矩變化曲線(xiàn)

(3)機(jī)械臂正向動(dòng)力學(xué)仿真。設(shè)計(jì)兩個(gè)關(guān)節(jié)角力矩信號(hào)為τm1=sin(t)，τm2=cos(t)，仿真時(shí)間為2 s。為了驗(yàn)證基于SOA理論的繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂高效率正向動(dòng)力學(xué)遞推公式的有效性，將繩驅(qū)動(dòng)空中機(jī)械臂的三維模型導(dǎo)入到ADAMS軟件中，并在軟件中給兩個(gè)關(guān)節(jié)添加同樣的驅(qū)動(dòng)力矩。數(shù)值仿真與軟件模擬的結(jié)果如圖12所示。從圖中可以看出，經(jīng)基于SOA理論的繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂高效率正向動(dòng)力學(xué)遞推算法獲得關(guān)節(jié)角理論曲線(xiàn)和在A(yíng)DAMS軟件中仿真得到的曲線(xiàn)幾乎一致，這說(shuō)明本文所提正向動(dòng)力學(xué)建模方法的有效性。

圖12 關(guān)節(jié)角的變化曲線(xiàn)

4 結(jié)論

(1)設(shè)計(jì)了一款帶有2自由度繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的旋翼飛行機(jī)器人，有效減輕了臂身重量與關(guān)節(jié)慣量，提高了負(fù)載自重比。

(2)利用牛頓-歐拉法推導(dǎo)出4旋翼飛行器的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)模型、利用旋量理論推導(dǎo)出機(jī)械臂的正反向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型、利用拉格朗日法推導(dǎo)出機(jī)械臂的反向動(dòng)力學(xué)模型和利用空間算子代數(shù)理論推導(dǎo)出機(jī)械臂的正向動(dòng)力學(xué)模型。仿真結(jié)果顯示繩驅(qū)動(dòng)空中機(jī)械臂動(dòng)態(tài)響應(yīng)合理正確，與ADAMS仿真結(jié)果幾乎一致。