張可為，袁海燕

(黑龍江工程學院 理學院，哈爾濱 150050)

中立型隨機延遲微分方程被廣泛地應用于經(jīng)濟、金融、生物、醫(yī)學、物理等科學領域的模型建立，因其在理論和實踐中具有重要意義，引起了越來越多學者的關注，例如文獻[1-4]研究了中立型隨機微分方程模型在傳染病和族群動態(tài)中的應用，文獻[5-6]研究了中立型隨機微分方程模型在金融、物理和工程模型中的應用。

非線性期望理論,特別是彭實戈[7]提出的次線性期望G-期望，由于其在不確定性問題、風險度量、金融飛速發(fā)展等方面的潛在應用，引起了研究者的極大興趣。彭實戈在文獻[7]中建立了時間相容的G-期望和G-條件期望的基本理論，其中，G是非線性熱方程的無窮小生成元?；贕-期望的框架，在文獻[8]引入G-高斯分布和G-布朗運動，并利用它們建立相應的積分。另外，胡明上和彭實戈文獻[8]中提到存在一個弱緊的概率測度族，它可以用來表示重要的次線性期望G-期望，從而定義了相關的容量。自此，關于G-布朗運動的隨機微分方程的研究逐漸展開。由于隨機微分方程解析解顯示表達式很難獲得，解的存在唯一性及數(shù)值方法的相關研究顯得尤為重要。關于隨機泛函微分方程解的存在唯一性研究結論可以參閱文獻[9-12]。關于G-布朗運動驅(qū)動的非線性中立型隨機延遲微分方程解的存在性及數(shù)值研究目前還沒有找到相應文獻，文中將給出G-布朗運動驅(qū)動的非線性中立型隨機延遲微分方程解的存在性及唯一性分析。

1 預備知識

文中研究如下形式的非線性中立型隨機延遲微分方程

d[y(t)-Ny(t-τ)]=f(t,y(t),y(t-τ))dt+

g(t,y(t),y(t-τ)dωt+h(t,y(t),

y(t-τ))d〈ω〉t,t∈[0,T].

(1)

滿足下列初始條件

y0=ξ={φ(θ),θ∈[-τ,0]}.

(2)

滿足初始條件(2)的中立型隨機延遲微分方程(1)可以等價為下面的積分微分方程

y(t)-Ny(t-τ)=ξ(0)-N(ξ(0-τ))+

(3)

為了研究解的存在唯一性，假設函數(shù)f,g和h滿足下列條件：

(H1) Lipschitz條件。存在正常數(shù)L，使得不等式

|f(t,x1,y1)-f(t,x2,y2)|2∨|g(t,x1,y1)-

g(t,x2,y2)|2∨|h(t,x1,y1)-h(t,x2,y2)|2≤

L(|x1-x2|2+|y1-y2|2)

(4)

對所有的x1,y1,x2,y2∈Rd及t≥0成立。

由式(4)可以得到線性增長條件。

(H2)線性增長條件。存在常數(shù)G1>0，使得不等式

|f(t,x,y)|∨|g(t,x,y)|∨|h(t,x,y)|≤

G1(1+|x|2+|y|2)

(5)

對于所有的(t,x,y)∈R+×Rd×Rd都成立。

(H3)存在常數(shù)κ∈(0,1)，使得對于所有x,y∈Rd及t≥0，下面不等式成立

|N(x)-N(y)|≤κ|x-y|.

(6)

另外，假設t≥0時，N(t,0)=0，由式(6)得N(x)≤κ|x|。

2 解的存在唯一性

本部分給出非線性中立型隨機延遲微分方程解的存在唯一性結論及證明。

定理1 假設f,g及h滿足Lipschitz條件，且存在非負常數(shù)λ>0使得不等式

〈z,f(t,z,0)〉≤-λ|z|2

(7)

(8)

證明分為三步給出定理的證明。

1)有界性。

對于T>0及整數(shù)n≥1，定義截斷時間

τn=T∧inf{t∈[0,T]∶|y(t)|≥n}.

顯然，τn↑Ta.s.記yn(t)=y(t∧τn),t∈[0,T]，則yn(t)滿足方程

yn(t)-N(yn(t-τ))=ξ(0)-N(ξ(-τ))+

(9)

令

應用Yang不等式及H?lder不等式，有

(10)

兩側同時取G-期望，得到

(11)

由于

所以有

(12)

yn(s-τ))I[[0,τn]](s)d〈ω〉(s)|2.

(13)

結合H?lder不等式和線性增長條件，可以得到

(14)

由文獻[8]中的推論8及Doob鞅不等式，可以得到

(15)

同樣，可以得到

(16)

將式(14)—(16)代入式(13)，得到

代入式(12)可得

(17)

由Gronwall不等式，得

令n→∞可得式(8)。

2)唯一性。

(18)

類似于有界性的證明，有

應用Gronwall不等式，得到

3)存在性。

yn(t)=ξ+N(yn-1(t-τ))-N(ξ(-τ))+

(19)

|yn(t)|2≤5E|ξ|2+5|N(yn-1(t-τ))-

(20)

兩側同時取G-期望，由式(11)、文獻[8]中的推論8及Doob鞅不等式(取p=2)可得

(21)

應用線性增長條件，可以得到

G1|yn-1(s)|2+G1|yn-1(s-τ)|2)ds+

(22)

其中

因此，對于任意k≥1，可以推得

注意到

可以得到

(23)

由k的任意性，可以得到對所有0≤t≤T,n≥1。

(24)

由初等不等式，可以得

|y1(t)-y0(t)|2=|y1(t)-y0|2≤

4|N(y0(t-τ))-N(y-1(-τ))|2+

y0(s-τ))d〈ω〉(s)|2.

(25)

式(25)兩側同時取G-期望，由式(11)、文獻[8]中的推論8及G-It積分性質(zhì)，可得

(26)

即

取t=T，則有

對于n≥0及0≤t≤T，有不等式

|yn+1(t)-yn(t)|2≤4|N(yn(t-τ))-

yn(s-τ))-f(s,yn-1(s),yn-1(s-τ))]ds|2+

yn(s-τ))-h(s,yn-1(s),yn-1(s-τ))]d〈ω〉(s)|2.

(27)

應用Lipschitz條件(4)及不等式(6)可以得到

yn(s-τ))-h(s,yn-1(s),yn-1(s-τ))|2ds≤

(28)

令式(24)中n→∞，則有

對所有的0≤t≤T成立。因此,有y(·)∈M2([0,T];Rd)。

下面證明y(t)滿足方程(1)。

yn(s-τ))-f(s,y(s),y(s-τ))|2ds+

yn(s-τ))-h(s,y(s),y(s-τ))|2ds≤2L[(1+

(29)

y(s),y(s-τ))d〈ω〉(s)|2≤2L[(1+

對于0≤t≤T，對式(19)兩側取極限，可得

即

y(t)-N(y(t-τ))=ξ(0)-N(ξ(-τ))+

0≤t≤T.

以上證明了y(t)是方程(1)的解。定理證畢。