王擁兵，左照鑫，張麗霞

(安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院 安徽 安慶 246013)

0 引言

自Zadeh[1]提出模糊集概念以來(lái)，許多學(xué)者陸續(xù)給出了模糊集的多種擴(kuò)展形式。例如，文獻(xiàn)[2]提出了直覺模糊集的概念，并研究了直覺模糊集代數(shù)運(yùn)算及其應(yīng)用。文獻(xiàn)[3-4]定義了猶豫模糊集，討論了不同類型猶豫模糊集的集成算子。由于猶豫模糊集只對(duì)每個(gè)屬性信息給出不同的隸屬度，在實(shí)際決策過程中不能夠全面地反映決策者的評(píng)估信息?；诖?，文獻(xiàn)[5]定義了直覺猶豫模糊集，并將其應(yīng)用于多屬性決策問題。直覺猶豫模糊集集成了直覺模糊集和猶豫模糊集的優(yōu)勢(shì)，能夠更好地描述決策者的偏好不一致性。此外，文獻(xiàn)[6]研究了基于猶豫直覺模糊語(yǔ)言集距離的TOPSIS和TODIM多屬性決策方法；文獻(xiàn)[7]結(jié)合相關(guān)系數(shù)研究了直覺猶豫模糊集的群決策問題。

距離測(cè)度在決策過程中一直是研究的熱點(diǎn)問題之一，已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，如多屬性決策問題、市場(chǎng)前景預(yù)測(cè)、模式識(shí)別等。文獻(xiàn)[8]研究了模糊集的幾何度量和Hausdorff 度量；文獻(xiàn)[9-11]研究了猶豫模糊集的距離測(cè)度、相似測(cè)度和相關(guān)測(cè)度。文獻(xiàn)[12]同樣考慮了直覺猶豫模糊集的距離度量問題，但只考慮了隸屬度和非隸屬度之間的差異，并未考慮直覺猶豫模糊集猶豫程度的差異。猶豫度是體現(xiàn)直覺猶豫模糊集的重要特征之一，基于此，本文將給出直覺猶豫模糊集猶豫度的概念，并基于猶豫度定義給出不同類型的直覺猶豫模糊集的距離測(cè)度，結(jié)合偏好決策和TOPSIS方法，通過模式識(shí)別案例和鋰離子電池供應(yīng)商模型，驗(yàn)證了所提方法的有效性和優(yōu)越性。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[2]設(shè)X是一個(gè)有限的非空集合，則稱

I={〈x,μ(x),ν(x)〉|x∈X}

為直覺模糊集(intuitionistic fuzzy set，IFS)，其中μ(x)和ν(x)分別表示元素x∈X對(duì)于集合I的隸屬度和非隸屬度，μ(x)≥0,ν(x)≥0,且μ(x)+ν(x)≤1。

進(jìn)一步地，π(x)=1-μ(x)-ν(x)表示元素對(duì)于集合I的猶豫度。

定義2[3-4]設(shè)X是一個(gè)有限的非空集合，則稱

H={〈x,h(x)〉|x∈X}

為X上的一個(gè)猶豫模糊集(hesitant fuzzy set，HFS)，其中h(x)是[0,1]區(qū)間中一些數(shù)值的集合，表示元素關(guān)于集合A的一些可能的隸屬度。

定義3[4]設(shè)X是一個(gè)有限的非空集合，則稱

A={〈x,ΓA(x),ΨA(x)〉|x∈X}

為直覺猶豫模糊集(intuitionistic hesitant fuzzy set，IHFS)，其中ΓA(x)和ΨA(x)是[0,1]區(qū)間中的兩個(gè)子集合，表示x∈X的可能的隸屬度和非隸屬度，即

ΓA(x)={γ1,γ2,…,γl(h)}，

ΨA(x)={η1,η2,…,ηl(g)}，

其中：對(duì)于任意的γA(x)∈ΓA(x),有ηA(x)∈ΨA(x),且滿足0≤γA(x)+ηA(x)≤1;反之，對(duì)任意的ηA(x)∈ΨA(x)，有γA(x)∈ΓA(x)，且滿足0≤γA(x)+ηA(x)≤1。所有直覺猶豫模糊集構(gòu)成的集合記為IHFS(X)。

對(duì)于任意的x∈X，〈x,ΓA(x),ΨA(x)〉被稱為直覺猶豫模糊元(intuitionistic hesitant fuzzy element，IHFE)，可以簡(jiǎn)寫為

其中：lA和gA分別表示隸屬度和非隸屬度元素的個(gè)數(shù)。一般情況下要求lA=gA。若lA≠gA,可以對(duì)較短的隸屬度個(gè)數(shù)或非隸屬度個(gè)數(shù)進(jìn)行延伸，直至lA=gA，延伸方式為

定義4設(shè)A,B∈IHFS(X), 若函數(shù)D:IHFS(X)×IHFS(X)→[0,1]滿足以下性質(zhì)：

1) 0≤D(A,B)≤1，

2)D(A,B)=0當(dāng)且僅當(dāng)A=B，

3)D(A,B)=D(B,A)，

則稱D(A,B)為A和B間的直覺猶豫模糊集的距離測(cè)度。

設(shè)A,B∈IHFS(X)，其中

A={〈x,ΓA(x),ΨA(x)〉|x∈X}，

B={〈x,ΓB(x),ΨB(x)〉|x∈X}，

則A和B間的Hamming距離為

A和B間的廣義距離為

其中：p>0。特別地，若p=2，則為A和B間的Euclidean距離(DE(A,B))。

例1設(shè)X={x},A,B,C∈IHFS(X),其中

A={〈x,{0.4,0.2},{0.8,0.5}〉}，

B={〈x,{0.3,0.1},{0.5,0.4}〉}，

C={〈x,{0.7,0.3},{0.6,0.1}〉},

則DH(A,C)=DH(B,C)=0.25，DE(A,C)=DE(B,C)=0.273 9。

根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，傳統(tǒng)的Hamming距離和Euclidean距離無(wú)法識(shí)別樣本C是屬于模式A還是模式B。因此，有必要進(jìn)一步考慮直覺猶豫模糊集的距離測(cè)度。本文將在直覺猶豫模糊集猶豫度的基礎(chǔ)上，提出一些新的直覺猶豫模糊集的距離測(cè)度公式。

2 基于猶豫度的直覺猶豫模糊集的距離測(cè)度

定義5設(shè)A∈IHFS(X), 對(duì)任意的xi∈X，則直覺猶豫模糊元A(xi)的直覺猶豫度定義為

實(shí)際上，這里的μA(xi)表示決策者對(duì)給出隸屬度與非隸屬度的猶豫程度。特別地，若μA(xi)=0, 表示決策者可以很明確地得出隸屬度和非隸屬度; 若μA(xi)=1, 表示決策者對(duì)給出隸屬度與非隸屬度最猶豫不決的情況。

定義6設(shè)A,B∈IHFS(X)，對(duì)任意的xi∈X，則A和B關(guān)于xi的直覺猶豫度的偏差定義為

其中，μA(xi)和μB(xi)分別為直覺猶豫模糊元A(xi)和B(xi)的直覺猶豫度。

定義7設(shè)a1=〈Γ1,Ψ1〉，a2=〈Γ2,Ψ2〉∈IHFE(X)，則a1和a2間的Hamming距離為

其中：參數(shù)t∈[0,1]。

對(duì)應(yīng)的A,B∈IHFS(X)，則A和B間新的Hamming距離定義為

其中：參數(shù)t∈[0,1]。

A和B間新的Euclidean距離定義為

其中：參數(shù)t∈[0,1]。

A和B間新的廣義距離定義為

其中：參數(shù)t∈[0,1],p>0。

定理1設(shè)A,B∈IHFS(X), 則DHH(A,B),DHE(A,B),DHG(A,B)滿足定義4中的三條性質(zhì)。

證明以DHH(A,B)為例進(jìn)行證明，其他距離測(cè)度的證明類似。

1) 設(shè)

A={〈x,ΓA(x),ΨA(x)〉|x∈X},

B={〈x,ΓB(x),ΨB(x)〉|x∈X},

從而

故有

所以，

于是，有

同理可得0≤μB(xi)≤1。從而

進(jìn)一步可得

因此，

2) 若DHH(A,B)=0,則

故μA(xi)-μB(xi)=0,即

可得μA(xi)=μB(xi)，故A=B。

反之，顯然成立。

3) 根據(jù)定義7，有

綜上所述，DHH(A,B)滿足定義4中的三條性質(zhì)。

由于屬性之間存在差異，因此有必要將屬性的權(quán)重納入距離測(cè)度考慮中。定義A和B間的新Hamming加權(quán)距離為

A和B間的新Euclidean加權(quán)距離為

A和B間的新廣義加權(quán)距離為

例3設(shè)A,B,C為例1中的IHFS，根據(jù)上述距離測(cè)度，并取t=0.5，可以計(jì)算出DHH(A,C)=0.225,DHH(B,C)=0.275。由此可判別模式C屬于模式A，這與直觀上認(rèn)識(shí)是一致的。

此外，從問題的計(jì)算結(jié)果來(lái)看，本文提出的新距離測(cè)度既保留了傳統(tǒng)的直覺猶豫模糊集距離測(cè)度的特點(diǎn)，又考慮了直覺猶豫模糊集本身的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特征，克服了傳統(tǒng)距離測(cè)度的不足。

3 屬性權(quán)重的確定方法

目前，多屬性決策問題是一個(gè)研究熱點(diǎn)，決策者需要在權(quán)衡多個(gè)屬性后選擇最優(yōu)方案。近年來(lái)，人們對(duì)解決這一問題的方法進(jìn)行了廣泛的研究，TOPSIS是其中比較有效的方法之一。對(duì)于屬性值為直覺猶豫模糊元的多屬性決策問題，決策者對(duì)備選方案有一定的主觀偏好，且偏好值為直覺猶豫模糊元。決策舉證中的屬性值可以作為客觀偏好值，但由于現(xiàn)實(shí)條件的限制，主觀與客觀偏好間常常存在一定的偏差。為了使決策更合理，屬性權(quán)重的選擇應(yīng)使決策者的主觀偏好與客觀偏好的總偏差最少。本文提出的距離測(cè)度既充分考慮了直覺模糊元之間隸屬度和非隸屬度的關(guān)聯(lián)，又考慮了直覺猶豫模糊元的猶豫度，且在實(shí)際應(yīng)用中是有效的。由此，將基于新的直覺猶豫模糊集的距離測(cè)度來(lái)確定屬性信息的權(quán)重模型，

(1)

為了求解該模型，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

(2)

屬性權(quán)重為

在解決實(shí)際問題時(shí)，通常要求屬性權(quán)重的和為1，將上述屬性權(quán)重式子歸一化，可得

(3)

根據(jù)直覺猶豫模糊元的新距離測(cè)度，分別計(jì)算方案與正、負(fù)理想元的加權(quán)距離，

(4)

根據(jù)R(Yi)的值對(duì)備選方案進(jìn)行排序，R(Yi)越大，則方案Yi越優(yōu)。

4 決策步驟

本文給出一種對(duì)方案有偏好的直覺猶豫模糊集的多屬性決策方法，具體步驟如下。

Step 2 根據(jù)屬性權(quán)重優(yōu)化模型，利用式(3)計(jì)算屬性權(quán)重。

Step 3 根據(jù)式(4)計(jì)算各方案的相對(duì)貼近度。

Step 4 進(jìn)一步根據(jù)R(Yi)(1≤i≤m)的值，對(duì)方案進(jìn)行排序。

5 算例分析

5.1 算例

下面通過具體實(shí)例對(duì)上述算法進(jìn)行說明。

例4與傳統(tǒng)二次電池相比，鋰離子電池具有能量高、循環(huán)性能好、無(wú)記憶效應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)。自其誕生以來(lái)，在短短的數(shù)年內(nèi)，鋰離子電池就占據(jù)了手機(jī)、數(shù)碼相機(jī)、攝像機(jī)和筆記本等便攜式移動(dòng)電子設(shè)備領(lǐng)域。影響鋰離子電池性能的因素是多種多樣的，下面將利用直覺猶豫模糊集的決策方法，分別從鋰離子電池正負(fù)極材料的選擇(C1)、電解質(zhì)的選擇(C2)、隔膜的選擇(C3)、電池的結(jié)構(gòu)和尺寸(C4)四種主要屬性來(lái)對(duì)Y1、Y2、Y3和Y4這四家鋰離子電池供應(yīng)商進(jìn)行評(píng)估。

Step 1 專家對(duì)這四種屬性進(jìn)行評(píng)估，得到各方案的屬性值，以直覺猶豫模糊元的形式給出，如表1所示。

表1 專家評(píng)估信息表Table 1 Expert evaluation information form

表2 各方案與α+和α-之間的距離Table 2 The distance between each alternative and α+, α-

表3 各方案與偏好之間的距離Table 3 The distance between each alternative and preferences

因此，可得

Step 2 取t=0.5,p=1，建立屬性權(quán)重優(yōu)化模型為

根據(jù)式(3)計(jì)算屬性權(quán)重為

ω=(0.375,0.225,0.233,0.167)。

Step 3 由式(4)計(jì)算各方案的相對(duì)貼近度為

R(Y1)=0.635 5,R(Y2)=0.583 1，

R(Y3)=0.657 3,R(Y4)=0.682 0。

Step 4 按照R(Yi)(1≤i≤4)的大小，對(duì)方案進(jìn)行排序，即R(Y4)>R(Y3)>R(Y1)>R(Y2)。因此，Y4為最佳鋰離子電池供應(yīng)商。

5.2 敏感性分析

令p=1,通過對(duì)參數(shù)t取不同的數(shù)值進(jìn)行敏感性分析。當(dāng)t分別取0.2、0.5、0.6、0.8、1.0時(shí)，分析備選方案評(píng)價(jià)結(jié)果的排序情況，結(jié)果如表4所示?？梢钥闯?，隨著參數(shù)t取值的不同，最佳備選方案Y4的排序結(jié)果始終沒有發(fā)生改變，由此可知，備選方案的排序結(jié)果對(duì)參數(shù)t的變化不敏感。

表4 參數(shù)t對(duì)方案排序的影響Table 4 The ranking results of alternatives with different parameter t

令t=0.5，通過對(duì)參數(shù)p取不同的數(shù)值進(jìn)行敏感性分析。當(dāng)p分別取1、2、4時(shí)，分析備選方案評(píng)價(jià)結(jié)果的排序情況，結(jié)果如表5所示?？梢钥闯觯S著參數(shù)p取值的不同，最佳備選方案Y4的排序結(jié)果始終沒有發(fā)生改變。也就是說，備選方案的排序結(jié)果對(duì)參數(shù)p的變化不敏感。

表5 參數(shù)p對(duì)方案排序的影響Table 5 The ranking results of alternatives with different parameter p

綜合參數(shù)t、p的敏感性分析，表明了本文方法的穩(wěn)定性和可行性。

注利用文獻(xiàn)[12]中提出的Hamming距離進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果為R(Y4)>R(Y1)>R(Y3)>R(Y2)。

由此可知，其排序的最優(yōu)方案和最劣方案與本文方法的計(jì)算結(jié)果基本一致。此外，通過上述例1和例3的分析可知，本文提出的直覺猶豫模糊集距離測(cè)度可以克服文獻(xiàn)[12]中Hamming距離的不足之處，進(jìn)一步說明本文所提出的距離測(cè)度是有效的。

6 小結(jié)

猶豫度是體現(xiàn)直覺猶豫模糊集的重要特征之一，在決策過程中能夠很好地反映決策者猶豫不決的程度?；诖?，本文給出直覺猶豫模糊集猶豫度的概念，以及不同類型的直覺猶豫模糊集的距離測(cè)度，具體模式識(shí)別案例分析結(jié)果表明了本文所提出的距離測(cè)度的有效性和實(shí)用性。此外，結(jié)合有偏好的決策問題和TOPSIS方法，給出了備選方案的決策模型和算法步驟。將此方法應(yīng)用于鋰離子電池供應(yīng)商模型，并對(duì)相應(yīng)的參數(shù)t、p進(jìn)行了敏感性分析，可以得到的最優(yōu)方案始終相同，證明了所提出的距離測(cè)度具有實(shí)用性和穩(wěn)定性。