車 蕊，耿生玲,2

（1.青海師范大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，西寧 810008；2.高原科學(xué)與可持續(xù)發(fā)展研究院，西寧 810008）

0 引言

隨著現(xiàn)實(shí)生活中科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，社會(huì)、政治、經(jīng)濟(jì)等眾多領(lǐng)域存在著大量且復(fù)雜的不確定和不精確的數(shù)據(jù)，如何科學(xué)有效地進(jìn)行決策，眾多學(xué)者和研究人員提出了許多地?cái)?shù)學(xué)工具和模型，例如區(qū)間數(shù)學(xué)、概率論、模糊集、粗糙集等，但是這些傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具因其自身的性質(zhì)在處理決策問(wèn)題上都有一定的缺陷與不足。軟集理論是俄羅斯學(xué)者M(jìn)olodstov 在1999年提出的一種處理不確定問(wèn)題的數(shù)學(xué)工具。近年來(lái)軟集理論及其應(yīng)用發(fā)展非常迅速，軟集在數(shù)據(jù)挖掘、決策和信息約簡(jiǎn)等方面的應(yīng)用已經(jīng)非常廣泛。軟集的優(yōu)勢(shì)矩陣是Han在文獻(xiàn)［10，11］中提出的概念，表示每個(gè)對(duì)象的優(yōu)勢(shì)信息，即對(duì)于任意的對(duì)象來(lái)說(shuō)，其優(yōu)于其他對(duì)象的參數(shù)信息。在文獻(xiàn)［12］中對(duì)軟集優(yōu)勢(shì)矩陣的理論進(jìn)行了應(yīng)用，通過(guò)局部參數(shù)之間的線性約束表示正規(guī)參數(shù)約簡(jiǎn)及偽參數(shù)約簡(jiǎn)的條件，將軟集參數(shù)約簡(jiǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為0 - 1 線性規(guī)劃問(wèn)題。Geng提出了一種基于整數(shù)劃分的軟集最小||參數(shù)子集的離線和在線算法。

決策泛指對(duì)若干個(gè)備選方案進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)、最優(yōu)選擇或偏好排序的一種過(guò)程。決策問(wèn)題在人們的日常生活中隨處可見，通常需要從多個(gè)角度對(duì)備選方案進(jìn)行評(píng)價(jià)，充分考慮決策過(guò)程中許多相互聯(lián)系而又相互制約的準(zhǔn)則和因素，進(jìn)而根據(jù)備選方案的整體表現(xiàn)選出最優(yōu)方案。這種在多個(gè)不能相互替代的準(zhǔn)則下進(jìn)行的決策被稱為多準(zhǔn)則決策。根據(jù)決策問(wèn)題是連續(xù)型或離散型這兩種情況，可將多準(zhǔn)則決策分為多目標(biāo)決策和多屬性決策兩個(gè)子類，并分別進(jìn)行研究。作為描述和處理不確定信息的有力數(shù)學(xué)工具，Maji首次將軟集應(yīng)用于分析決策問(wèn)題。文獻(xiàn)［16-21］則提出了一系列擴(kuò)展模型的多屬性決策新方法，并將其應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，取得了良好的研究成果。

優(yōu)勢(shì)矩陣在軟集處理不確定信息時(shí)有著非常強(qiáng)大的作用，本文首先提出了一種決策結(jié)果為雙對(duì)象的決策方式——二值決策，然后利用軟集及其優(yōu)勢(shì)矩陣提出了兩種二值決策方法，最后通過(guò)實(shí)例進(jìn)行分析與對(duì)比，說(shuō)明這兩種方法的實(shí)際意義。

1 軟集理論

設(shè)={,,…,u}是有限對(duì)象集合,是一個(gè)參數(shù)集合。例如，信息系統(tǒng)中的屬性可以被看成參數(shù)。?()為的冪集，||表示集合的基數(shù)。

二元組=(,)稱為上的一個(gè)軟集,其中

（1）是的子集。

（2）:→?()，?∈,() 表示參數(shù)對(duì)應(yīng)的的子集。我們用(,) = 1((,)=0)表示是（否）為()的元素。

令=(,)是上的一個(gè)軟集。?∈， 定 義的 參 數(shù) 支 撐 集 為{∈|(,) = 1} ，記為supp()。

令=(,)是論域上的一個(gè)軟集，u,u,u∈,如果σ(u)+ σ(u)= σ(u)+σ(u)， |supp(u) |+ |supp(u) |= |supp(u) |+|supp(u) |，| supp(u) ∪supp(u) |≠|(zhì)supp(u) ∪supp(u)| 。

給定上的一個(gè)軟集=(,)，?u,u∈, 定 義 D= supp(u)- supp(u) ∩supp(u)。D為u在u上的主導(dǎo)支撐參數(shù)，同理D為u在u上的主導(dǎo)支撐參數(shù)。

給定上的一個(gè)軟集=(,)，||=。我們稱D=[D] 為軟集的優(yōu)勢(shì)矩陣。

設(shè)=(,)為論域上的一個(gè)軟集，= ||，?u,u∈，u和u的“取小”運(yùn)算為

2 基于軟集參數(shù)支撐集的二值決策

二值決策是在給定的備選方案集中選擇其中的兩個(gè)備選方案作為決策結(jié)果。軟集可以很好地對(duì)決策問(wèn)題進(jìn)行建模，并且軟集中的對(duì)象集和參數(shù)集可以與決策中的備選方案集和屬性集相對(duì)應(yīng)。

設(shè)={,,…,u}(> 2)是備選方案集，={,,…,c}(> 2) 屬性集，定義二值決策集S={ (u,u)|u,u∈,u≠u},其中二元組(u,u)為二值決策對(duì)。

對(duì)于論域上的軟集=(,)來(lái)說(shuō)，對(duì)象u滿足的參數(shù)越多，其越能滿足決策要求，所以選擇值最大的兩個(gè)對(duì)象作為決策結(jié)果，即

但是，可能有個(gè)對(duì)象都滿足σ(u)=max(σ())，則會(huì)產(chǎn)生很多滿足上述條件的二值決策對(duì)。

令=(,)是論域上的一個(gè)軟集，當(dāng)有個(gè)對(duì)象都滿足σ(u)= max(σ())，二值決策對(duì)選擇值相加為最大的集合記為，

根據(jù)定理1 可知，如果(u,u),(u,u)∈，則σ(u)+ σ(u)= σ(u)+ σ(u), 但是|supp(u) ∪supp(u) |與 |supp(u) ∪supp(u)|可能不相等。因?yàn)檫M(jìn)行二值決策的主要原因是一個(gè)對(duì)象很難滿足決策的需求，所以在此處選擇參數(shù)支撐集的并集大的二值決策對(duì)。

除上述情況外，還會(huì)出現(xiàn)滿足σ(u)=max(σ())的對(duì)象是唯一的，但是滿足次大值的對(duì)象有多個(gè)，解決辦法與上述情況相類似。

令=(,)是論域上的一個(gè)軟集，且只有一個(gè)對(duì)象滿足σ(u)= max(σ())。當(dāng)有個(gè)對(duì)象都滿足σ(u)= max(σ ())，則二值決策對(duì)選擇值相加為最大的集合

下面給出基于軟集參數(shù)支撐集的二值決策的具體的步驟：

（1）輸入軟集=(,)。

（2）計(jì)算對(duì)象集中每個(gè)對(duì)象u的選擇值函數(shù)σ(u)，并按照選擇值大小進(jìn)行降序排序。

（3）判斷選擇值為最大的對(duì)象的個(gè)數(shù)，如果個(gè)數(shù)是1，則執(zhí)行（4）；如果個(gè)數(shù)不是1，則執(zhí)行（5）。

為了更好的理解與應(yīng)用，下面給出具體的實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明。

李先生為了保持身體的健康與活力，打算購(gòu)買保健品，由于保健品選擇太多會(huì)導(dǎo)致相克的問(wèn)題，李先生在對(duì)保健品進(jìn)行品牌、價(jià)格和服用方式等初步的篩選后，決定從符合條件的6 個(gè)保健品中選擇2 個(gè)購(gòu)買，即={,,,,,}。 參數(shù)集表示市面上所有符合國(guó)家保準(zhǔn)的保健品的功效的集合。李先生選擇出自己所需要的以及感興趣的8個(gè)功效，即={,,,,,,,}，分別表示“保護(hù)心臟健康”“預(yù)防心血管疾病”“改善關(guān)節(jié)”“抗氧抗衰”“激活和修復(fù)受損細(xì)胞”“穩(wěn)定三高”“恢復(fù)大腦活力”“緩解眼部疲勞”。對(duì)這6個(gè)保健品及其功效可以采用軟集來(lái)表示，如表1所示。

表1 例1的軟集S =(F,A)

通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可以得出選擇值函數(shù)的值，根據(jù)選擇值的大小對(duì)u∈進(jìn)行降序排序，

結(jié)果如下：

即選擇值為最大的對(duì)象只有對(duì)象，個(gè)數(shù)為1；選擇值為次大的對(duì)象有和，個(gè)數(shù)為2。則滿足條件的二值決策對(duì)有{ (,),(,) }。計(jì)算每個(gè)二值決策對(duì)的參數(shù)支撐集：

因此，李先生購(gòu)買2個(gè)保健品的最佳選擇為和。

3 基于軟集優(yōu)勢(shì)矩陣的二值決策

在實(shí)際問(wèn)題中有時(shí)只需要兩個(gè)對(duì)象中的一個(gè)對(duì)象滿足某個(gè)參數(shù)即可，例如在例1中，在品牌定位是近似的前提下，保健品的價(jià)格與其具有的功效是成正比的，也就是說(shuō)一種保健品的功效越多其價(jià)格越高；反之保健品的功效越少，其價(jià)格會(huì)越低。如果所選擇的兩個(gè)保健品包含過(guò)多的相同功效，則會(huì)增大開支?；诖?，提出了基于軟集優(yōu)勢(shì)矩陣的二值決策。

根據(jù)集合的運(yùn)算可知：

令=(,)是論域上的一個(gè)軟集，||=，D為軟集的優(yōu)勢(shì)矩陣，定義軟集上的二值決策對(duì)(u,u)的相互優(yōu)勢(shì)值為V,V= | D|+ |D|(,= 1,2,…,,≠).

令=(,)是論域上的一個(gè)軟集， ||=，D為軟集的優(yōu)勢(shì)矩陣，

所以在做二值決策的過(guò)程中，我們不需要遍歷D中所有的D，只需遍歷矩陣主對(duì)角線以上的D即可。

令=(,)是論域上的一個(gè)軟集， ||=，D為軟集的優(yōu)勢(shì)矩陣，滿足V= max(V),= 1,2,…,,≠的二值決策對(duì)(u,u) ∈S構(gòu)成一個(gè)新的集合，記為

如 果 (u,u),(u,u) ∈, 則 | D|+| D|= | D|+ | D|。為了求出參數(shù)支撐集最大的二值決策對(duì)，需要比較(u,u),(u,u)之 間supp(u) ∩supp(u) 和supp(u) ∩supp(u)的大小，就可以轉(zhuǎn)化為對(duì)u和u進(jìn)行“取小”運(yùn)算，并計(jì)算 |u∧u|，|u∧u|結(jié)果最大的二值決策對(duì)為最優(yōu)決策對(duì)。

具體地解決步驟如下:

（1）輸入軟集=(,)；

（2）計(jì)算軟集的優(yōu)勢(shì)矩陣（由于該方法只需要每一個(gè)D中所包含參數(shù)的個(gè)數(shù)，所以在實(shí)際編寫代碼過(guò)程中只需記錄 | D|+ | D|即可）；

（3）計(jì)算出所有的V的值，找出V值最大所有的二值決策對(duì)(u,u)并記錄，如果只有一個(gè)結(jié)果，則該二值決策對(duì)(u,u)為最優(yōu)決策對(duì)；如果結(jié)果超過(guò)一個(gè)，則繼續(xù)后面的步驟；

（4）對(duì)（1）執(zhí)行后的所有二值決策對(duì)(u,u)進(jìn)行“取大”運(yùn)算，計(jì)算出 |u∧u|的值并記錄|u∧u|結(jié)果最大的二值決策對(duì)(u,u)，即為最優(yōu)決策對(duì)。

針對(duì)例1 中給出的實(shí)例，采用基于軟集優(yōu)勢(shì)矩陣的二值決策方法進(jìn)行求解。首先求出軟集的優(yōu)勢(shì)矩陣D，如表2所示。

表2 例1的軟集的優(yōu)勢(shì)矩陣

計(jì)算所有的V的值：

max(V)= 7,={(,), (,)}.分別對(duì)這2 個(gè)二值決策對(duì)中的對(duì)象進(jìn)行“取小”運(yùn)算（表3）。

表3 (u1,u6)“取小”運(yùn)算

表4 (u2,u6)“取小”運(yùn)算

通過(guò)上述運(yùn)算的結(jié)果 ||∧= 1, ||∧=0。因此，李先生購(gòu)買2 個(gè)保健品的最佳選擇為和。

4 兩種決策方法的對(duì)比分析

利用上述兩種方法解決例1 中的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可以看到其結(jié)果是不同的。在基于軟集優(yōu)勢(shì)矩陣的二值決策方法中，二值決策對(duì)(,)的相互優(yōu)勢(shì)值為= 6。對(duì)和進(jìn)行“取小”運(yùn)算，結(jié)果如表5所示。

表5 (u3,u6)“取小”運(yùn)算

在處理實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中會(huì)有不同的決策要求，例如文中給出的例子，主要考慮的是保健品的性價(jià)比，但是也會(huì)出現(xiàn)當(dāng)兩個(gè)對(duì)象具有相同屬性或功能時(shí)會(huì)產(chǎn)生1 + 1 > 2 的現(xiàn)象，這時(shí)采用基于軟集參數(shù)支撐集的二值決策方法會(huì)更符合要求。

5 結(jié)語(yǔ)

軟集理論是用來(lái)處理不確定性知識(shí)的重要的數(shù)學(xué)工具，優(yōu)勢(shì)矩陣的提出與建立促進(jìn)了軟集理論的發(fā)展及其在許多領(lǐng)域中的應(yīng)用。本文對(duì)現(xiàn)實(shí)中的決策問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié)，提煉出一種決策結(jié)果為成對(duì)的二值決策問(wèn)題，對(duì)二值決策進(jìn)行了定義，同時(shí)，基于提出了基于軟集參數(shù)支撐集的二值決策方法和基于軟集優(yōu)勢(shì)矩陣的二值決策方法，并利用實(shí)例對(duì)兩種方法進(jìn)行分析與對(duì)比。本文提出的兩種決策方法擴(kuò)展了在現(xiàn)實(shí)生活中對(duì)不確定數(shù)據(jù)的處理，增強(qiáng)解決決策問(wèn)題的能力。