聶亞彪， 沈惠平， 楊廷力

(常州大學(xué) 現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心， 江蘇 常州 213164)

未經(jīng)平衡的機(jī)構(gòu)存在周期變化的擺動力和擺動力矩，會引起機(jī)械振動和噪聲，并影響工作精度，因此，消除或減小機(jī)構(gòu)慣性力，實(shí)現(xiàn)擺動力和擺動力矩的平衡，是高速機(jī)構(gòu)設(shè)計中不容忽視的問題[1-2]。

目前，連桿機(jī)構(gòu)擺動力完全平衡的3種主要研究方法是線性獨(dú)立矢量法[3-4]、質(zhì)量替代法[5](質(zhì)量靜替代、質(zhì)量動替代、廣義質(zhì)量替代)、附加桿組法[6]。其中，線性獨(dú)立矢量法可實(shí)現(xiàn)一般平面機(jī)構(gòu)的擺動力平衡，但由于其推導(dǎo)過程過于繁瑣，一定程度上限制了該方法的應(yīng)用；質(zhì)量替代法會加大機(jī)構(gòu)本身質(zhì)量和構(gòu)件本身擺動力矩，增加構(gòu)件內(nèi)部動應(yīng)力；附加桿組法是對機(jī)構(gòu)附加其他桿組實(shí)現(xiàn)擺動力完全平衡的方法，但不具有一般性。

BERKOF等[7]提出線性獨(dú)立向量法，它利用機(jī)構(gòu)的矢量閉環(huán)方程，得到一組線性無關(guān)的向量，并消去矢量方程中有關(guān)時間參數(shù)，最終得到擺動力完全平衡方程。YE等[8]將構(gòu)件質(zhì)量看成是“可流動”的“質(zhì)量流”，當(dāng)機(jī)構(gòu)所有構(gòu)件的質(zhì)量都流到機(jī)架上時，該機(jī)構(gòu)就實(shí)現(xiàn)了擺動力完全平衡。OUYANG等[9-10]提出一種調(diào)整機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)參數(shù)(AKP)的方法，實(shí)現(xiàn)其擺動力完全平衡的目的。文獻(xiàn)[11-12]通過優(yōu)化機(jī)構(gòu)總質(zhì)心加速度值，使平面串聯(lián)機(jī)械手的擺動力明顯下降。

文獻(xiàn)[13-15]提出了質(zhì)量矩替代法，其基本思想是：將連枝桿件的質(zhì)量矩，通過與其相連的移動副或轉(zhuǎn)動副，轉(zhuǎn)化到與其相鄰的樹枝桿件上，從而將復(fù)雜平面機(jī)構(gòu)的動平衡問題，轉(zhuǎn)化為樹系統(tǒng)中全部樹枝構(gòu)件的動平衡問題；且給出了含有一個和兩個連枝構(gòu)件回路的質(zhì)量矩替代公式，以及一桿多副樹枝構(gòu)件的質(zhì)量矩求解公式，由這些質(zhì)量矩替代公式，可以構(gòu)造出平面機(jī)構(gòu)中全部樹枝構(gòu)件擺動力完全平衡計算的條件。該方法的優(yōu)點(diǎn)有：①相比于質(zhì)量替代法，無需引入較復(fù)雜的廣義質(zhì)量概念以及替代點(diǎn)選擇問題；②相比于線性獨(dú)立矢量法，它無需推導(dǎo)復(fù)雜的位置方程；③相比于附加桿組法，無需附加桿組而占據(jù)大量空間。因此，質(zhì)量矩替代法是一種優(yōu)秀的擺動力完全平衡方法，它可使機(jī)構(gòu)擺動力完全平衡條件的建立過程大大簡化，具有物理意義清晰、求解過程簡單、計算量小、普遍性好等優(yōu)點(diǎn)，尤其適合于具有解析式位置正解的平面和空間機(jī)構(gòu)。

文章主要從3個方面進(jìn)行研究：①通過拓?fù)浣雕畹姆椒?，設(shè)計得到了一種零耦合度的、具有解析式位置正解及輸入-輸出部分運(yùn)動解耦性的兩滑塊高速沖壓機(jī)構(gòu)，這種高速沖壓機(jī)構(gòu)具有自動防護(hù)功能，即主滑塊用于沖壓，副滑塊用于自動輔助推料器；②將“質(zhì)量矩替代法”應(yīng)用于具有工業(yè)應(yīng)用背景的、多回路平面機(jī)構(gòu)(含3個子運(yùn)動鏈-SKC)的擺動力完全平衡設(shè)計與計算，為該兩滑塊高速沖壓機(jī)的研發(fā)奠定技術(shù)基礎(chǔ)；③驗(yàn)證質(zhì)量矩替代法在應(yīng)用于具有解析式位置正解、多回路平面機(jī)構(gòu)擺動力完全平衡設(shè)計與計算時所具有的上述優(yōu)勢。

1 沖壓機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計及分析

文獻(xiàn)[16]所述的一種具有兩個滑塊的平面八桿沖壓機(jī)構(gòu)，如圖1(a)所示，該機(jī)構(gòu)為平面Ⅲ級機(jī)構(gòu)，位置正解求解比較復(fù)雜，且不具有位置解析解。根據(jù)機(jī)構(gòu)降耦設(shè)計方法[17]，將機(jī)構(gòu)中的運(yùn)動副B，運(yùn)動副C合并，即可將原機(jī)構(gòu)的耦合度從1變?yōu)?，從而使得改進(jìn)機(jī)構(gòu)具有正向位置解析解，改進(jìn)設(shè)計后的機(jī)構(gòu)簡圖，如圖1(b)所示。

圖1 一種兩滑塊高速沖壓機(jī)構(gòu)的優(yōu)化Fig.1 Optimization of a high speed stamping mechanism with two sliders

由圖1(b)可知，改進(jìn)設(shè)計后的高速沖壓機(jī)構(gòu)主要由機(jī)架0，構(gòu)件1～構(gòu)件7組成，其中，桿組(構(gòu)件4～構(gòu)件6)(構(gòu)件1～構(gòu)件3)(構(gòu)件2～構(gòu)件7)為3個平面Ⅱ級桿組。移動副P1(主滑塊)為主沖壓頭，移動副P2(副滑塊)為輔助推料器，其余7個關(guān)節(jié)(A～G)均為轉(zhuǎn)動副。該機(jī)構(gòu)的拓?fù)浞治鰹椋?/p>

1)自由度分析

該機(jī)構(gòu)包含3個獨(dú)立回路，即E-D-F，C-B-A，B-G-P2，每個回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξLi=3(i=1，2，3)，全周自由度公式為[18]

因此，機(jī)構(gòu)僅需要一個原動件，例如，可取桿5為驅(qū)動曲柄，當(dāng)沖壓機(jī)頭P1向下沖壓時，輔助推料器P2完成自左向右的沖壓料自動推送，從而完成自動沖壓。這樣，避免了人工送料，具有很好的防護(hù)功能，保證了操作人員人身安全。

2)耦合度計算

E-D-F，C-B-A，B-G-P23個回路的約束度分別為：

因此，機(jī)構(gòu)的耦合度為

由上可知，改進(jìn)后的機(jī)構(gòu)包括3個子運(yùn)動鏈(SKC)，即SKC1，SKC2，SKC3，耦合度均為0。因此，機(jī)構(gòu)的耦合度為0，其位置正解具有解析解，為接下來的該機(jī)構(gòu)動平衡和動力學(xué)計算提供了極大方便。

2 機(jī)構(gòu)擺動力完全平衡計算

2.1 質(zhì)量矩替代法基本概念及求解步驟

整個機(jī)構(gòu)可看成是由樹枝構(gòu)件和連枝構(gòu)件組成的完整樹系統(tǒng)。連枝構(gòu)件是指連接兩個支鏈與機(jī)架，或者連接兩個獨(dú)立的開鏈的構(gòu)件。將整個機(jī)構(gòu)中所有的連枝構(gòu)件的質(zhì)量矩，都由與之相鄰的樹枝構(gòu)件的附加質(zhì)量矩替代后，此時，機(jī)構(gòu)中所有回路拆解成只含有樹枝構(gòu)件組成的支鏈，再將各個支鏈的質(zhì)量矩加起來，即可得到整個機(jī)構(gòu)的質(zhì)量矩。連枝構(gòu)件的存在，使得計算多回路機(jī)構(gòu)的總質(zhì)量矩，轉(zhuǎn)化為求解各個支鏈中樹枝構(gòu)件的總質(zhì)量矩。該沖壓機(jī)構(gòu)包含3個基本回路，因此，含有3個連枝構(gòu)件。除連枝構(gòu)件外，其他都為樹枝構(gòu)件。機(jī)構(gòu)擺動力完全平衡條件的求解步驟見文獻(xiàn)[14]。

2.2 擺動力完全平衡條件求解

圖2 坐標(biāo)系建立及參數(shù)標(biāo)注Fig.2 Setting up coordinate system and parameter marking

2.2.1 可完全平衡判定以及樹系統(tǒng)劃分

由圖2可知，該機(jī)構(gòu)中每一構(gòu)件都存在一條僅由轉(zhuǎn)動副組成的通路連接到機(jī)架，即可判定該機(jī)構(gòu)可用配重法實(shí)現(xiàn)擺動力完全平衡。

樹系統(tǒng)劃分：根據(jù)2.1節(jié)所述的連枝構(gòu)件、樹枝構(gòu)件選取原則，選取構(gòu)件3，構(gòu)件6，構(gòu)件7為連枝構(gòu)件，構(gòu)件1，構(gòu)件2，構(gòu)件4，構(gòu)件5為樹枝構(gòu)件。

2.2.2 連枝構(gòu)件質(zhì)量矩的附加質(zhì)量矩替代

1)連枝構(gòu)件3

由圖1(b)可知，連枝構(gòu)件3左邊通過復(fù)合鉸鏈RB，分別與樹枝構(gòu)件1、樹枝構(gòu)件2聯(lián)接；其右邊通過轉(zhuǎn)動副RC與多副構(gòu)件4聯(lián)接，因此，其質(zhì)量矩替代過程如下。

連枝構(gòu)件3的質(zhì)心(S3)位置表示為

(1)

由圖2易得以下運(yùn)動學(xué)關(guān)系：

(2)

(3)

(4)

(5)

將式(3)、式(4)、式(5)，代入式(2)得：

(6)

(7)

由式(6)、式(7)可知，連枝構(gòu)件3的質(zhì)心參數(shù)可由桿件1、桿件4或桿件2、桿件4上的坐標(biāo)參數(shù)表示。因此，連枝構(gòu)件3的質(zhì)量矩可表示為：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

由式(8)、式(9)可知，連枝構(gòu)件3的質(zhì)量矩可由其相鄰樹枝構(gòu)件1和相鄰樹枝構(gòu)件4，或樹枝構(gòu)件2和樹枝構(gòu)件4的附加質(zhì)量矩替代，并且附加質(zhì)量矩表達(dá)式不包含連枝構(gòu)件3的位置參數(shù)θ3。也因此可知，對于含有復(fù)合鉸鏈的機(jī)構(gòu)，在保證機(jī)構(gòu)總質(zhì)量矩不變的前提下，連枝構(gòu)件的質(zhì)量矩替代可有多種選擇方案。

2)連枝構(gòu)件6

由圖2可知，連枝構(gòu)件6通過轉(zhuǎn)動副RF與多副樹枝構(gòu)件4相連。因此，其質(zhì)量矩替代過程為：

連枝構(gòu)件6的質(zhì)心(S6)位置表示為

(13)

由圖1(b)可知，有運(yùn)動學(xué)關(guān)系

(14)

連枝構(gòu)件6的質(zhì)量矩為

(15)

將式(13)、式(14)代入式(15)可知，連枝構(gòu)件6的質(zhì)量矩可由作用在樹枝構(gòu)件4上的附加質(zhì)量矩替代，并且附加質(zhì)量矩表達(dá)式不包含連枝構(gòu)件6的位移參數(shù)。

3)連枝構(gòu)件7

類比于連枝構(gòu)件6的質(zhì)量矩替代公式，易得到連枝構(gòu)件7的質(zhì)量矩，可由作用在連枝構(gòu)件2上的附加質(zhì)量矩替代，并且附加質(zhì)量矩表達(dá)式中，不含有連枝構(gòu)件7的位移參數(shù)為

(16)

2.2.3 建立全部樹枝構(gòu)件的擺動力完全平衡條件

1)樹枝構(gòu)件4

樹枝構(gòu)件4分別通過轉(zhuǎn)動副RF和轉(zhuǎn)動副RC，與連枝構(gòu)件6和連枝構(gòu)件3相連，故樹枝構(gòu)件4受到的質(zhì)量矩分別有：

①連枝構(gòu)件3、連枝構(gòu)件6分別作用在樹枝構(gòu)件4上的附加附加質(zhì)量矩，分別見式(12)、式(15)；

②樹枝構(gòu)件4本身及其配重的質(zhì)量矩分別為：

(17)

(18)

同時，由式(12)、式(15)、式(17)、式(18)，可知，樹枝構(gòu)件4的總質(zhì)量矩為

(19)

(20)

2)樹枝構(gòu)件5

由圖2可知，樹枝構(gòu)件5并沒有直接與連枝構(gòu)件相連，但樹枝構(gòu)件5通過轉(zhuǎn)動副RD與連枝構(gòu)件4聯(lián)接，其中，樹枝構(gòu)件4相當(dāng)于樹枝構(gòu)件5的子樹系統(tǒng)，故樹枝構(gòu)件5受到的質(zhì)量矩分別有：

①連枝構(gòu)件3作用在樹枝構(gòu)件5上的附加質(zhì)量矩為

(21)

②連枝構(gòu)件6作用在樹枝構(gòu)件5上的附加質(zhì)量矩為

(22)

③樹枝構(gòu)件4及其配重對樹枝構(gòu)件5的附加質(zhì)量矩

(23)

④樹枝構(gòu)件5及其配重質(zhì)量矩，分別為：

(24)

(25)

同時，由式(21)～式(25)可知，樹枝構(gòu)件5的總質(zhì)量矩為

(26)

(27)

3)樹枝構(gòu)件2

由圖2所示，樹枝構(gòu)件2分別與連枝構(gòu)件3、連枝構(gòu)件7通過RB,RG直接相連，故樹枝構(gòu)件2受到的質(zhì)量矩分別有：

①連枝構(gòu)件7作用在樹枝構(gòu)件2上的附加質(zhì)量矩，見式(16)；

②樹枝構(gòu)件2及其配重質(zhì)量的質(zhì)量矩，見式(28)、式(29)；

(28)

(29)

同時，由式(16)、式(28)、式(29)，樹枝構(gòu)件2的總質(zhì)量矩為

(30)

(31)

4)樹枝構(gòu)件1

由圖2可知，樹枝構(gòu)件1通過復(fù)合鉸鏈RB與連枝構(gòu)件3、樹枝構(gòu)件2聯(lián)接，其中，樹枝構(gòu)件2相當(dāng)于樹枝構(gòu)件1的子樹系統(tǒng)樹，故樹枝構(gòu)件1受到的質(zhì)量矩作用，見式(32)～式(37)。

①連枝構(gòu)件7作用在樹枝構(gòu)件1上的附加質(zhì)量矩為

(32)

②連枝構(gòu)件3作用在樹枝構(gòu)件1的附加質(zhì)量矩，見式(10)；

③樹枝構(gòu)件2及其配重對樹枝構(gòu)件1的附加質(zhì)量矩為

(33)

④樹枝構(gòu)件1本身及其配重質(zhì)量矩為：

(34)

(35)

同時，由式(10)、式(32)～式(35)可知，樹枝構(gòu)件1的總質(zhì)量矩為

(36)

(37)

2.2.4 數(shù)值求解

為簡化模型，設(shè)沖壓機(jī)構(gòu)中各根桿件質(zhì)量均勻分布，具體參數(shù)為：

1)各桿件長度

l1=l2=109 mm，l3=170 mm，l4=80 mm，l5=117 mm，l6=80 mm，l7=40 mm。

2)各桿件質(zhì)心位置參數(shù)

3)各桿件質(zhì)量及配重質(zhì)量

4)其他參數(shù)

多副桿4為等腰直角三角形，α=45°；驅(qū)動構(gòu)件5作勻速轉(zhuǎn)動，輸入角速度為w1=0.1π rad/s。

因連枝構(gòu)件的質(zhì)量矩已經(jīng)被相鄰構(gòu)件附加質(zhì)量矩替代，故對于連枝構(gòu)件無需添加配重。

將上述數(shù)值參數(shù)分別代入式(20)、式(27)、式(31)、式(37)，可分別求得樹枝構(gòu)件4、樹枝構(gòu)件5、樹枝構(gòu)件2、樹枝構(gòu)件1附加配重參數(shù)為：

(38)

(39)

(40)

(41)

3 平衡前后機(jī)構(gòu)總質(zhì)心、總慣性力對比分析

為驗(yàn)證沖壓機(jī)構(gòu)動平衡效果——總質(zhì)心靜止不動或總質(zhì)心位移變化緩慢，給出平衡前后機(jī)構(gòu)總質(zhì)心、總慣性力對比分析。

3.1 平衡前總質(zhì)心位移變化以及總慣性力求解

改進(jìn)設(shè)計后的沖壓機(jī)構(gòu)的位置正解，可轉(zhuǎn)化為3個SKC各自位置正解的求解。

1)SKC1的求解

由E點(diǎn)的坐標(biāo)E(m,n)，易知D點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)分別為：D(m-l7cosθ5，n-l7sinθ5)；F(m，Dy+

l5sin(θ4-α))。

2)SKC2的求解

易知C點(diǎn)、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：C(Dx-l4sinθ4，Dy+l4cosθ4)；B(l1cosθ1,l1sinθ1)。

3)SKC3的求解

易知G點(diǎn)、A點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：G(Bx-l2cosθ2,0)；A(0,0)。

于是，可求出各個桿件的質(zhì)心坐標(biāo)分別為：

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

因上述各構(gòu)件的質(zhì)心位置均為解析解，其加速度計算十分容易。由式(42)～式(48)易得機(jī)構(gòu)平衡前總質(zhì)心變化，如圖3(a)、圖3(b)、圖3(c)中實(shí)線所示?？倯T性力在橫、縱坐標(biāo)方向的變化，如圖4(a)、圖4(b)中實(shí)線所示。

圖3 機(jī)構(gòu)平衡前后總質(zhì)心坐標(biāo)及軌跡變化Fig.3 The change of total center of mass coordinates and track before and after mechanism balancing

圖4 機(jī)構(gòu)平衡前后的機(jī)構(gòu)慣性力Fig.4 Inertia force of mechanism before and after balancing

3.2 平衡后總質(zhì)心位移變化以及總慣性力求解

(49)

式中pi，qi(i=1,2,4,5)為構(gòu)件1、構(gòu)件2、構(gòu)件4、構(gòu)件5加配重后新的質(zhì)心位置參數(shù)。

基于式(49)，可求得加配重之后，各樹枝構(gòu)件新的質(zhì)心坐標(biāo)為：

(50)

(51)

(52)

(53)

將式(50)～式(53)與平衡前的連枝構(gòu)件質(zhì)心方程(44)、方程(47)、方程(48)一起，計算出加速度后，由Matlab計算，可分別得到平衡后機(jī)構(gòu)總質(zhì)心變化軌跡，如圖3(a)、圖3(b)、圖3(c)虛線所示。總慣性力在橫、縱坐標(biāo)方向的變化，如圖4(a)、圖4(b)中虛線所示。

3.3 平衡前后總質(zhì)心位移及總慣性力對比變化

由圖3(a)、圖3(b)可以看出，平衡前，機(jī)構(gòu)總質(zhì)心在x，y方向都有較大的位移波動，特別是在縱坐標(biāo)方向上；平衡后，機(jī)構(gòu)總質(zhì)心位移波動已很小。由圖3(c)可以看出，平衡前后質(zhì)心軌跡變化較大，平衡前質(zhì)心軌跡所圍成的面域，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于平衡之后。因此，平衡后機(jī)構(gòu)在x，y方向上的位移均有明顯的減小。同時，平衡后的質(zhì)心位置更接近機(jī)架的同時，面域更小，幾乎接近于0，表明平衡后質(zhì)心位置更加穩(wěn)定。

由圖4可以看出，平衡前，機(jī)構(gòu)在x，y方向的總慣性力都有較大波動，加以適當(dāng)?shù)呐渲貐?shù)后，在同樣的轉(zhuǎn)速運(yùn)動下，機(jī)構(gòu)x，y方向總慣性力都幾乎接近于0。因此，平衡后的總慣性力波動也較小，基本達(dá)到了擺動力完全平衡，從而也驗(yàn)證了基于質(zhì)量矩替代法的擺動力完全平衡計算的正確性，為該兩滑塊高速沖壓機(jī)的研發(fā)奠定了理論依據(jù)。

4 結(jié) 論

1)將質(zhì)量矩替代法推廣應(yīng)用于含多副桿件、多個復(fù)雜SKC平面八桿沖壓機(jī)構(gòu)的動平衡設(shè)計與計算，通過拓?fù)浣雕?，使其耦合度降?。該機(jī)構(gòu)具有解析式位置正解，無需通過一維搜索，即可精確求解各構(gòu)件的位置及加速度值，為機(jī)構(gòu)的動平衡計算分析提供了極大方便。

2)用質(zhì)量矩替代法導(dǎo)出了高速沖壓機(jī)構(gòu)的擺動力平衡設(shè)計與計算公式，計算得到其平衡配重質(zhì)量的位置參數(shù)。計算表明：平衡后總質(zhì)心位置變化范圍很小，x，y方向的總慣性力幾乎為0，高速沖壓機(jī)構(gòu)較好地實(shí)現(xiàn)了擺動力平衡效果，證明了該方法的有效性。