蒲明輝，羅 祺，張金皓，艾振軍，蘇 飛，黃 偉

(1.廣西大學機械工程學院，廣西南寧 530004；2.廣西制造系統(tǒng)與先進制造技術重點實驗室，廣西大學，廣西南寧 530004；3.湖南科技大學智能制造研究院，湖南湘潭 411201)

0 引言

電容式傳感器是通過電容器的電容變化實現(xiàn)對測量信號檢測的儀器。電容式傳感器具有分辨率高、重復度好、噪聲低、功耗低等優(yōu)點，在力檢測[1-2]、位移檢測[3]、加速度測量[4]等領域有著廣泛的應用。

由于電容式傳感器輸入輸出關系的非線性，對其測量精度有著較大的影響[5]。針對這一問題，一些研究者采用非線性擬合的方式規(guī)避了非線性誤差這一問題[6-7]，但此方式不適用于需要線性擬合的場景，如多維耦合型電容式傳感器的線性解耦[8-9]。為有效降低電容式傳感器線性擬合過程中的非線性誤差，有些研究者采用差動式電容器結構來減小電容式傳感器的非線性誤差，賈伯年[10]等應用變極距平行極板電容器，構建了一種二維差動電容式傳感器，并通過有限元法從理論上分析了輸出特性及其與結構參數(shù)的關系；于曉光[11]等開發(fā)了一種差動式電容載荷傳感器，利用差動式、等位環(huán)、圓柱型電容器結構消除了非線性誤差和邊緣效應的影響。在此基礎上，劉沁[5]、張玲[12]等計算出差動式電容組合在理論上與極距變化完全線性相關的表達式；袁有臣[13]等使用電路對電容的非線性關系進行補償，將非線性誤差由25%降至0.6%，但復雜的電路結構增加了系統(tǒng)的復雜度且通用性較差，應用于不同的電容器時不具有互換性。

應用差動式電容器結構是降低電容式傳感器非線性誤差的良好方案，但受到加工、裝配誤差的影響，很難保證差動的2個電容器的初始極距嚴格相等，難以有效減少非線性誤差。本文針對加工、裝配誤差導致差動式平行極板電容器的初始極距不相同的問題，提出了一種誤差校正方法。首先，基于差動平行極板變極距電容器測量原理和最小二乘法線性擬合，分析了非線性誤差產(chǎn)生的機理；建立誤差分析模型，引入差動加權系數(shù)，構建誤差校正表達式，并提出誤差校正的參數(shù)估計式，進而對傳感器測量數(shù)據(jù)進行誤差校正；最后，通過仿真和實驗驗證了所提出方法的準確性和有效性。

1 測量原理

1.1 平行極板變極距電容器測量原理

平行極板變極距電容器測量原理如圖1所示，當傳感器在被測物理量作用下，動極板發(fā)生位移，使得動、靜極板間距發(fā)生變化，從而使電容值發(fā)生變化，通過檢測電容值的變化實現(xiàn)被測物理量檢測。

在忽略電容邊緣效應的情況下，電容計算公式為

(1)

式中：ε為極板間介質(zhì)的介電常數(shù)；S為兩極板的相對有效面積，mm2；d為兩極板間距，mm；d0為兩極板初始間距，mm;Δd為動極板的位移變化，mm。

將式(1)使用泰勒展開式得到電容C關于Δd的多項式：

(2)

則電容變化量可以用多項式表示為

(3)

由式(3)可知，理論上，電容變化值的非線性誤差主要來自于多項式中的高階項，因此，若要降低電容變化的非線性誤差，則需要消除高階項的影響。差動式電容器結構可以有效地消去高階項，降低非線性誤差。

1.2 差動式電容器測量原理

差動式平行極板變極距電容器結構如圖2所示，由1塊動極板和2塊靜極板組成，即2個平行極板變極距電容器構成差動結構。其中動極板位于2塊靜極板之間，靜極板接入電路，動極板接地，極板初始間距d1=d2=d0。當動極板移動時，靜極板1、2與動極板正對距離發(fā)生變化，變化大小相等方向相反，從而構成一組差動式電容器[6]。同理，將靜極板設置在中間，上下動極板保持位移一致的時候，差動形式也是和上述的電容變化一致，即差動原理一樣。

圖2 差動式電容器結構示意圖

根據(jù)式(3)，電容變化量ΔC1和ΔC2可以用多項式表示為：

(4)

(5)

因為d1=d2=d0，則差動電容變化為

(6)

由式(6)可知，此時差動電容變化中，仍然存在高階項o3(Δd)。當Δd<

2 非線性誤差校正方法

2.1 校正方法的基本流程

基于以上差動式平行極板變極距電容式傳感器測量原理和電容變化值計算公式，在考慮加工、裝配誤差的情況下，利用泰勒展開式，構造非線性誤差模型，根據(jù)最小二乘法線性擬合，進行誤差參數(shù)估計，引入差動加權系數(shù)的方法對誤差進行校正，其基本流程如圖3所示。

圖3 誤差校正流程圖

2.2 非線性誤差分析與建模

根據(jù)式(4)～式(6)，在差動式電容器滿足Δd<

(7)

(8)

通過差動結構計算差動電容，可以抵消二階項帶來的非線性誤差的干擾，提高電容值ΔC與變量Δd之間的線性度。然而，在實際過程中，由于加工、裝配帶來的誤差，會使得差動式電容器中的極板初始極距不相等，即d1≠d2，從而使二階項無法被消除，此時差動電容變化量ΔCc可以表示為

(9)

顯然，由于d1≠d2，二階項無法消除，從而導致非線性誤差無法有效被抵消。因此，直接相減的差動方法在d1≠d2時將不適用。

為了有效消除高階項對差動電容變化量ΔCc的影響，借鑒加權平均思路，引入差動加權系數(shù)ρ，同時，差動結構可以認為成倍提高電容總變化量，綜上，引入差動加權系數(shù)ρ的ΔCc表達式為

(10)

展開式(10)得：

(11)

2.3 誤差參數(shù)估計與校正

假設動極板對稱地向兩側移動了n次，產(chǎn)生n組位移Δdi(i=1,2,…,n)，靜極板1和靜極板2分別產(chǎn)生n組電容變化量ΔC1i和ΔC2i。根據(jù)最小二乘法，對電容變化量ΔC1和ΔC2，即式(7)和式(8)進行線性擬合，令Δdi=xi(i=1,2,…,n)，ΔCm=ym(m=1,2),可得：

ym=kmxi

(12)

式中：xi(i=1,2,…,n)為第i動極板發(fā)生位移Δdi；km為擬合后的直線斜率。

根據(jù)最小二乘法線性擬合中的殘差平方和，得到誤差估計式：

(13)

由式(7)、式(8)和式(12)可知，Qm是關于km的二次函數(shù)，則存在一個km滿足Qm取得極小值。對Qm關于km求一階導為：

(14)

(15)

令一階導數(shù)為0，得到關于km的表達式：

(16)

(17)

(18)

(19)

根據(jù)式(11)、式(18)和式(19)，可得關于差動加權系數(shù)ρ的參數(shù)估計式：

(20)

根據(jù)以上推導，由式(12)求解k1和k2，確定差動加權系數(shù)ρ的取值，再使用式(10)對測量數(shù)據(jù)進行校正，從而實現(xiàn)對差動電容測量值的非線性誤差校正。

3 仿真與實驗分析

3.1 仿真分析

為驗證本文所提出的誤差校正方法的準確性和有效性，采用COMSOL Multiphysics多物理場仿真軟件進行仿真分析，利用所得仿真數(shù)據(jù)對校正方法進行驗證，仿真模型見圖4。

圖4 仿真模型

在仿真分析中，設計2組差動式電容器模型的參數(shù)，如表1所示，物理場選擇為靜電場，通過參數(shù)化掃描的方式實現(xiàn)極板位移的變化。

表1 模型參數(shù)

圖5為2組不同的模型參數(shù)下的仿真電容變化值。

(a)模型一電容變化

(b)模型二電容變化圖5 仿真模型電容變化圖

根據(jù)式(13)，分別對2組仿真電容變化值進行最小二乘法線性擬合，得到2組仿真數(shù)據(jù)對應的線性擬合下的直線斜率。

模型一：

k1=11.635

k2=-21.506

模型二：

k1=21.352

k2=-31.894

根據(jù)式(21)，可求得2組差動加權系數(shù)此時分別為：

ρ1=0.398

ρ2=0.548

進一步，分別使用直接差動法，即式(6)，得到直接差動法處理的仿真數(shù)據(jù)；使用誤差校正法，即式(10)，得到誤差校正法處理的仿真數(shù)據(jù)，將兩者進行對比，如圖6所示。同時，求解2種方法處理的仿真數(shù)據(jù)對應的非線性誤差：

(21)

式中：X，Y分別對應樣本數(shù)據(jù)點的橫縱坐標；Ymax、Ymin分別為縱坐標的最大值與縱坐標的最小值。

(a)模型一對比

(b)模型二對比圖6 差動電容誤差校正前后對比

針對模型一，直接差動法得到的數(shù)據(jù)的非線性誤差為8.58%，使用差動加權系數(shù)校正后的數(shù)據(jù)的非線性誤差為1.68%；針對模型二，直接差動法得到的數(shù)據(jù)的非線性誤差為8.06%，使用差動加權系數(shù)校正后的數(shù)據(jù)的非線性誤差為2.45%。采用差動加權系數(shù)誤差校正后的仿真測量數(shù)據(jù)非線性誤差相對于直接差動的方法明顯降低，證明了所提出的誤差校正方法的有效性。

為了進一步驗證計算出的差動加權系數(shù)對應的非線性誤差值最小，根據(jù)式(10)代入不同大小的差動加權系數(shù)對仿真數(shù)據(jù)進行處理，然后使用式(21)計算對應的非線性誤差，計算結果如圖7所示。三角形對應點為該組電容變化數(shù)據(jù)下的最小非線性誤差所對應的差動系數(shù)，圓點為誤差校正方法所求出的差動加權系數(shù)。

(a)模型一非線性誤差分析

(b)模型二非線性誤差分析圖7 非線性誤差分析

由圖7結果可知，所求出的差動加權系數(shù)與最小非線性誤差下的差動加權系數(shù)具有較好的吻合度，考慮到仿真過程中的網(wǎng)格精度等原因，兩者之間的誤差是可以接受的。

3.2 實驗驗證

利用本實驗室已有的一款差動電容式六維力傳感器[14]，對其中的一對差動電容器進行了數(shù)據(jù)采集，并使用誤差校正方法對實驗測量數(shù)據(jù)進行了誤差校正。傳感器實物如圖8所示，差動電容器由上下動極板和中間靜極板組成，其中CIN10通道測量電容C1變化，CIN11通道測量電容C2的變化。

圖8 差動式電容六維力傳感器實物

為了獲得有效穩(wěn)定的數(shù)據(jù)，在沒有振動、沖擊、加速度的環(huán)境下進行靜態(tài)力加載，實驗平臺如圖9所示，將傳感器固定在固定臺上，通過加載法蘭添加砝碼，使用電容檢測芯片AD7147配套的評估板采集電容數(shù)據(jù)并傳輸?shù)缴衔粰C上進行數(shù)據(jù)處理。

圖9 力加載實驗平臺

設置好實驗平臺后，對傳感器進行靜態(tài)力加載，對Fz正方向添加5 kg砝碼，再每次遞減1 kg砝碼至0 kg，多次讀取砝碼變化時所選差動電容器對應的通道讀數(shù)，取其平均值；對Fz負方向添加5 kg砝碼，再每次遞減1 kg砝碼至0 kg，同樣多次讀取每次砝碼變化時所選差動電容器對應的通道讀數(shù)，取其平均值。實驗中所得電容變化測量數(shù)據(jù)如圖10所示。

圖10 電容變化測量數(shù)字量

根據(jù)式(12)，對測量數(shù)據(jù)進行線性擬合，分別得到CIN10和CIN11的線性擬合直線斜率：k1=11.635，k2=-21.506，則ρ=4.955。進一步，根據(jù)式(10)對測量數(shù)據(jù)進行誤差校正，并使用式(21)計算直接差動法和誤差校正法處理的實驗測量數(shù)據(jù)的非線性誤差，結果如圖11所示。

圖11 差動電容比較

從圖11可以看出，相較于直接差動的方法，利用所提出的誤差校正方法對實驗測量數(shù)據(jù)進行誤差校正，其非線性誤差從9.80%降為2.79%，非線性誤差下降了71.53%。

根據(jù)式(10)和式(21)，求解不同差動系數(shù)下對應的非線性誤差，并與差動系數(shù)加權法求解的差動系數(shù)進行對比。如圖12所示，橫坐標對應不同的差動加權系數(shù)，縱坐標表示不同差動系數(shù)處理的實驗數(shù)據(jù)對應的非線性誤差。三角形對應點為實驗測量數(shù)據(jù)下的最小非線性誤差所對應的差動加權系數(shù)，圓點為誤差校正方法所求出的差動加權系數(shù)。

圖12 實驗數(shù)據(jù)非線性誤差

圖12結果表明，最小非線性誤差為2.70%，對應的差動加權系數(shù)為3.825，使用誤差校正法求解的差動加權系數(shù)為4.955，對應的非線性誤差為2.79%，兩點之間較為吻合。

為了進一步分析兩點產(chǎn)生偏差的原因，分析了測量數(shù)據(jù)線性擬合的殘差和對應的擬合多項式。線性擬合的殘差可以表示為

εm=ΔCm-ym

(22)

式中：ΔCm為極板電容變化測量值數(shù)字量；ym為測量值數(shù)字量的線性擬合值(m=1,2)。

圖13為實驗數(shù)據(jù)線性擬合殘差，橫坐標表示載荷大小，縱坐標表示電容變化測量值數(shù)字量的線性擬合的殘差。三角點實線表示CIN10的電容變化測量值數(shù)字量的線性擬合殘差，虛線表示CIN10對應殘差擬合多項式；圓點實線表示CIN11的測量電容變化數(shù)據(jù)的線性擬合殘差，點劃線表示CIN11對應的擬合多項式。

圖13 實驗數(shù)據(jù)線性擬合殘差

圖13表明，線性擬合殘差未能與其擬合多項式重合，說明殘差曲線不夠光滑，這主要是在實驗測量的過程中，由于摩擦、裝載誤差等原因產(chǎn)生的測量誤差，對實驗數(shù)據(jù)有一定的干擾，進而影響了對測量數(shù)據(jù)的誤差校正，使得最小非線性誤差的差動加權系數(shù)未能與誤差校正法所求得差動加權系數(shù)完全重合。

4 結果討論

(1)在差動式電容器結構中，差動電容兩初始極距嚴格相等時，直接差動法可以消除差動電容表達式中的高階項，有效降低非線性誤差，而當加工、裝配等誤差存在時，初始極距不相等，此時直接差動法無法有效消除差動電容表達式中的高階項。在仿真分析中，通過建立差動式電容器的極板初始極距不相等的差動電容模型，計算了2組仿真電容變化數(shù)據(jù)，與直接差動法相比，誤差校正法有效降低了差動電容的非線性誤差，減少了因為初始極距不相等所產(chǎn)生的非線性誤差。仿真結果證明了所提出的模型準確性及校正方法的有效性。

(2)誤差校正法得到的校正測量數(shù)據(jù)，其非線性誤差為2.79%，相比直接差動法的非線性誤差9.80%，非線性誤差降低了71.53%。證明了誤差校正法有效降低了差動電容器初始極距不同導致的非線性誤差的影響。

(3)利用參數(shù)估計式求解得到的差動系數(shù)與最小非線性誤差對應的差動系數(shù)有一定的偏差。線性擬合的殘差與其擬合多項式未能完全重合，這是由于實驗條件的局限性，文中所測得的實驗數(shù)據(jù)可能受到了一些實驗過程誤差的干擾，使得測量數(shù)據(jù)有一些不規(guī)則的波動，從而對誤差校正方法有一定的影響，使得校正方法得到的差動系數(shù)與最小非線性誤差點有一定的偏差。

5 結束語

傳統(tǒng)的差動式電容器在電容求解過程中，沒有考慮到電容傳感器加工、裝配等導致差動電容器極板初始極距不一致的問題，無法有效降低差動電容的非線性誤差。針對這一問題，本文提出了一種誤差校正方法，與傳統(tǒng)的直接差動法相比，該方法根據(jù)測量數(shù)據(jù)的線性擬合，引入差動加權系數(shù)，以抵消高階項，降低非線性誤差，實現(xiàn)了差動電容器在極距不一致情況下的測量數(shù)據(jù)誤差校正。仿真分析證明了誤差校正方法所建立的模型和校正方法的準確性。實驗結果中，采用誤差校正法對測量數(shù)據(jù)進行修正后，非線性誤差為2.79%，相比直接差動法的非線性誤差9.80%，非線性誤差降低了71.53%，進一步驗證了所提出的誤差校正方法的有效性。所提出的誤差校正方法，針對差動式平行極板變極距電容器，可以有效解決加工、裝配誤差導致的差動極板初始極距不同的問題，降低加工、裝配誤差所產(chǎn)生的非線性誤差。