郝佩瑤，朱金偉，廖繼龍，鄭麗麗，張 輝

(1.清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京 100084；2.江蘇協(xié)鑫硅材料科技發(fā)展有限公司，徐州 221001；3.清華大學(xué)工程物理系，北京 100084)

0 引 言

效率、壽命和成本是太陽(yáng)能電池研發(fā)中最重要的三個(gè)因素[1]。對(duì)應(yīng)到硅片的生產(chǎn)中，需要以低成本生長(zhǎng)出高質(zhì)量的硅錠。影響鑄錠晶體硅質(zhì)量的熱場(chǎng)控制核心參數(shù)包括晶體生長(zhǎng)速度與生長(zhǎng)界面溫度梯度之比V/G、壁面熱流q、生長(zhǎng)界面高度差Δh和硅熔體內(nèi)部溫差ΔT等。以提高生產(chǎn)效率及晶體質(zhì)量為目標(biāo)研究晶體生長(zhǎng)的熱場(chǎng)特性，采用基于物理模型的數(shù)值方法模擬晶體生長(zhǎng)過(guò)程成為有效的途徑，一部分研究集中于通過(guò)二維或三維數(shù)值模擬優(yōu)化熱場(chǎng)[2-5]，如改變坩堝形狀、加熱器位置、隔熱籠分隔塊位置等。除了優(yōu)化熱場(chǎng)結(jié)構(gòu)，另外一部分研究針對(duì)晶體生長(zhǎng)過(guò)程的工藝控制參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化[6-9]。然而使用傳統(tǒng)的數(shù)值模擬方法及實(shí)驗(yàn)會(huì)耗費(fèi)大量時(shí)間，如文獻(xiàn)[8]中為了優(yōu)化晶體生長(zhǎng)工藝，需進(jìn)行上千次穩(wěn)態(tài)數(shù)值模擬。若對(duì)鑄錠晶體硅生長(zhǎng)過(guò)程進(jìn)行一次瞬態(tài)數(shù)值模擬通常需要10 h左右[10]，實(shí)驗(yàn)則需要花費(fèi)數(shù)天。另外數(shù)值模擬所采用的理論模型由于存在簡(jiǎn)化和假設(shè)，也導(dǎo)致模擬結(jié)果不能完全反映實(shí)際情況。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為機(jī)器學(xué)習(xí)的一種方法，可以通過(guò)對(duì)大量數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)和歸納，充分挖掘樣本數(shù)據(jù)中所蘊(yùn)含的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)快速準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，在一定程度上，訓(xùn)練完成的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以視為數(shù)值模擬的替代方法。

Asadian等[11]以Cz法生長(zhǎng)YAG單晶為研究對(duì)象，通過(guò)二維穩(wěn)態(tài)數(shù)值模擬的數(shù)據(jù)構(gòu)建人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，以獲得平直的晶體生長(zhǎng)界面為目標(biāo)，使用遺傳算法對(duì)操作參數(shù)如提拉速率、晶體旋轉(zhuǎn)速率、坩堝壁溫度等進(jìn)行優(yōu)化。Dropka等[12]通過(guò)二維穩(wěn)態(tài)CFD建模研究行進(jìn)磁場(chǎng)形成的強(qiáng)制對(duì)流對(duì)于鑄錠晶體硅生長(zhǎng)界面形狀的影響，將其用于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的數(shù)據(jù)來(lái)源，尋找磁場(chǎng)參數(shù)和晶體生長(zhǎng)參數(shù)之間的關(guān)系，并針對(duì)生長(zhǎng)界面的平坦化使用高斯過(guò)程對(duì)磁場(chǎng)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。Tsunooka等[13]針對(duì)SiC溶液生長(zhǎng)過(guò)程對(duì)比了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)與CFD仿真模擬的計(jì)算速度，在該問題中預(yù)測(cè)速度比數(shù)值模擬快107倍。Dang等[10]使用二維瞬態(tài)模型對(duì)鑄造準(zhǔn)單晶硅的生長(zhǎng)過(guò)程進(jìn)行模擬，并將其作為人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的數(shù)據(jù)來(lái)源，以獲得平直的晶體生長(zhǎng)界面、降低晶體中的熱應(yīng)力和縮短晶體生長(zhǎng)的時(shí)間作為優(yōu)化目標(biāo)，使用遺傳算法對(duì)加熱器降溫速率和底部隔熱籠的移動(dòng)速率進(jìn)行優(yōu)化。Qi等[14]采用二維穩(wěn)態(tài)整場(chǎng)模型模擬直拉單晶硅的生長(zhǎng)過(guò)程，并將其用于訓(xùn)練人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，針對(duì)提高晶體生長(zhǎng)界面平整度與降低界面氧濃度，結(jié)合遺傳算法獲得優(yōu)化的晶體旋轉(zhuǎn)速率和坩堝旋轉(zhuǎn)速率。Dang等[15]將機(jī)器學(xué)習(xí)與遺傳算法應(yīng)用于SiC晶體的溶液生長(zhǎng)過(guò)程優(yōu)化。Yu等[16]采用機(jī)器學(xué)習(xí)與遺傳算法相結(jié)合的方法對(duì)SiC晶體的溶液生長(zhǎng)系統(tǒng)幾何形狀進(jìn)行了優(yōu)化。

以上研究主要通過(guò)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等機(jī)器學(xué)習(xí)方法建立工藝參數(shù)與晶體生長(zhǎng)過(guò)程參數(shù)之間的映射模型，大多以獲得平直晶體生長(zhǎng)界面為目標(biāo)，采用優(yōu)化算法對(duì)工藝參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。但是由于側(cè)面加熱，加之坩堝、熔體、晶體具有不同的熱導(dǎo)率，使得實(shí)際晶體生長(zhǎng)界面呈現(xiàn)曲面形狀，而在坩堝側(cè)壁則容易產(chǎn)生過(guò)冷區(qū)域，導(dǎo)致邊緣異質(zhì)形核形成隨機(jī)取向多晶區(qū)，這些因素都會(huì)對(duì)晶體質(zhì)量產(chǎn)生影響。針對(duì)鑄錠晶體硅生長(zhǎng)過(guò)程中的質(zhì)量控制問題，采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與遺傳算法相結(jié)合的方法研究晶體硅鑄錠過(guò)程的重要參量V/G、壁面熱流q、晶體生長(zhǎng)界面高度差Δh、硅熔體溫差ΔT對(duì)鑄錠晶體硅的質(zhì)量影響機(jī)理和規(guī)律，實(shí)現(xiàn)生長(zhǎng)工藝的優(yōu)化。首先采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法建立工藝控制參數(shù)與以上參量的映射模型，并基于該模型研究工藝控制參數(shù)對(duì)晶體生長(zhǎng)過(guò)程的影響規(guī)律，結(jié)合遺傳算法對(duì)工藝控制參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化以提高晶體質(zhì)量，最后基于實(shí)際鑄錠晶體硅生長(zhǎng)過(guò)程的質(zhì)量檢測(cè)數(shù)據(jù)研究V/G對(duì)晶體生長(zhǎng)過(guò)程及其質(zhì)量的影響和控制策略。

1 物理和數(shù)學(xué)模型

建立人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型首先需要確定的便是輸入與輸出變量，即選取哪些工藝參數(shù)和熱場(chǎng)參數(shù)用于研究晶體生長(zhǎng)過(guò)程。下面對(duì)所要研究的物理問題進(jìn)行描述，說(shuō)明所選擇的4個(gè)熱場(chǎng)參數(shù)對(duì)于晶體質(zhì)量影響的重要性及必要性，確定輸入與輸出變量后以此為基礎(chǔ)介紹人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與遺傳算法的原理，最后說(shuō)明建立人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型所需的數(shù)據(jù)來(lái)源。

1.1 物理問題

圖1為晶體硅鑄錠爐示意圖。加熱器為頂側(cè)五面加熱結(jié)構(gòu)，頂加熱器附近和換熱臺(tái)頂部中心各有一熱電偶，在晶體生長(zhǎng)過(guò)程中通過(guò)底部隔熱籠不斷下移來(lái)增強(qiáng)輻射換熱，使晶體生長(zhǎng)持續(xù)進(jìn)行，頂加熱器采用定溫控制，即通過(guò)熱電偶1處的溫度(TC1)來(lái)控制加熱器功率，氬氣從隔熱籠頂部中心不斷通入，用于冷卻和帶走雜質(zhì)。在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，由于大多采用一個(gè)變壓器控制側(cè)加熱器與頂加熱器，側(cè)、頂加熱器的功率比在熔化、生長(zhǎng)全過(guò)程中是固定的，難以適應(yīng)晶體生長(zhǎng)過(guò)程中熱場(chǎng)的變化而得到高質(zhì)量的晶體，因此如何動(dòng)態(tài)調(diào)整功率比以實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量晶體生長(zhǎng)，是需要研究解決的一個(gè)問題。

圖1 晶體硅鑄錠爐示意圖Fig.1 Schematic diagram of silicon ingot furnace

在晶體硅鑄錠過(guò)程中，平直或微凸的生長(zhǎng)界面有利于保證晶粒垂直生長(zhǎng)，減小水平方向的溫度梯度，從而減小晶體內(nèi)部的熱應(yīng)力，降低位錯(cuò)密度。另外由于分凝效應(yīng)[17]，晶體硅生長(zhǎng)的過(guò)程中雜質(zhì)不斷在生長(zhǎng)界面處富集，微凸的生長(zhǎng)界面能夠促使雜質(zhì)排向硅錠邊緣，提高硅錠中間部分的品質(zhì)。值得注意的是生長(zhǎng)界面與坩堝壁接觸處經(jīng)常由于坩堝冷壁效應(yīng)而成核，導(dǎo)致生長(zhǎng)界面邊緣出現(xiàn)下凹的形態(tài)，從而引起邊緣多晶特別是孿晶侵入，降低硅錠的質(zhì)量。為了提高硅錠品質(zhì)，需盡量減小生長(zhǎng)界面與壁面接觸處的下凹程度，因此除了控制生長(zhǎng)界面的高度差Δh以保證平直或微凸的界面，還需要對(duì)該處單位面積通過(guò)的熱量q進(jìn)行控制。

定向凝固技術(shù)的兩個(gè)重要工藝參數(shù)是晶體生長(zhǎng)速度V和生長(zhǎng)界面處熔體中的溫度梯度G，V/G是控制晶體長(zhǎng)大形態(tài)的重要判據(jù)，在提高G的前提下增加V，才能獲得較高質(zhì)量的晶體[18]。由于晶體硅中存在的C、O等雜質(zhì)以及B、P等摻雜劑的分凝系數(shù)k0一般小于1，使得在晶體生長(zhǎng)的同時(shí)雜質(zhì)不斷被排到熔體中，在生長(zhǎng)界面前沿形成溶質(zhì)邊界層，而熔體的凝固點(diǎn)隨溶質(zhì)濃度的增加而降低。如圖2所示，在界面處熔體的凝固點(diǎn)由最初的Tm降為T0，在遠(yuǎn)離界面處凝固點(diǎn)仍為Tm。當(dāng)熔體內(nèi)溫度梯度為正值但較小(溫度分布②③)時(shí)，在溫度曲線與凝固點(diǎn)變化曲線相交所形成的陰影區(qū)內(nèi)，熔體的實(shí)際溫度始終低于凝固點(diǎn)溫度，使得這一部分熔體處于過(guò)冷狀態(tài)。晶體生長(zhǎng)過(guò)程中因干擾而在界面上產(chǎn)生的凸緣由于處在過(guò)冷度較大的熔體中，生長(zhǎng)速度較快而不能自行消失，使得生長(zhǎng)界面不穩(wěn)定，這種因組分變化而產(chǎn)生的過(guò)冷現(xiàn)象被稱為組分過(guò)冷，由此而形成的胞狀組織使得晶體中溶質(zhì)偏聚較為嚴(yán)重，因此需要通過(guò)改變工藝條件來(lái)控制組分過(guò)冷的出現(xiàn)。

從圖2可以看出，當(dāng)熔體內(nèi)溫度梯度增大到一定程度時(shí)(溫度分布①)，溫度分布曲線在生長(zhǎng)界面處與凝固點(diǎn)變化曲線相切，熔體實(shí)際溫度始終高于凝固點(diǎn)溫度，因此不會(huì)出現(xiàn)組分過(guò)冷現(xiàn)象?？紤]熔體中的對(duì)流輸運(yùn)，不產(chǎn)生組分過(guò)冷的臨界條件為[17]：

(1)

式中:CL為熔體中溶質(zhì)的平均濃度;D為溶質(zhì)在熔體中的擴(kuò)散系數(shù);k0為溶質(zhì)的分凝系數(shù);δ為溶質(zhì)邊界層厚度;m為液相線斜率;V為晶體生長(zhǎng)速度;G為生長(zhǎng)界面處熔體的溫度梯度。其中熔體對(duì)流對(duì)于組分過(guò)冷的影響主要體現(xiàn)在影響溶質(zhì)邊界層厚度δ上，對(duì)流強(qiáng)度越大，溶質(zhì)邊界層越薄。因此，為了避免組分過(guò)冷以及提高晶體質(zhì)量，需盡量減小V/G，合理控制晶體生長(zhǎng)速度V，并使界面前沿熔體的溫度梯度G與其相匹配。

圖2 熔體凝固點(diǎn)變化及組分過(guò)冷區(qū)的形成Fig.2 Solidification point and the formation of the subcooling zone of the composition

此外，為了保證凝固只發(fā)生在生長(zhǎng)界面，硅熔體內(nèi)部及表面不出現(xiàn)冷點(diǎn)，熔體溫度必須高于凝固點(diǎn)溫度，但是熔體的最高溫度要控制在一個(gè)合理的范圍內(nèi)。這是因?yàn)闇囟冗^(guò)高會(huì)使化學(xué)反應(yīng)速率加劇，雜質(zhì)生成量增多，同時(shí)熔體過(guò)高的溫度也增加了能耗。因此需要盡量減小硅熔體內(nèi)部的溫度差ΔT。

除了將V/G、q、Δh、ΔT作為評(píng)價(jià)鑄錠晶體硅質(zhì)量的準(zhǔn)則，在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中通常需要保證TC1溫度在較小范圍內(nèi)變化以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的晶體生長(zhǎng)。另外改變底部隔熱籠開口以及側(cè)、頂加熱器功率比時(shí)，總功率P需隨之做出一定調(diào)整以合理控制晶體生長(zhǎng)速度。因此將這兩個(gè)參數(shù)也作為研究對(duì)象，通過(guò)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立晶體生長(zhǎng)工藝(底部隔熱籠開口、側(cè)、頂加熱器功率比)與以上6個(gè)參數(shù)TC1、P、V/G、q、Δh、ΔT之間的映射關(guān)系，實(shí)現(xiàn)晶體生長(zhǎng)過(guò)程中晶體質(zhì)量參數(shù)與熱場(chǎng)參數(shù)的快速預(yù)測(cè)，從而進(jìn)一步理解工藝對(duì)于晶體質(zhì)量的影響規(guī)律。

1.2 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種使用類似于大腦神經(jīng)突觸連接的結(jié)構(gòu)進(jìn)行信息處理的數(shù)學(xué)模型，其網(wǎng)絡(luò)自身通常是對(duì)某種算法或函數(shù)的逼近。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通常由輸入層、輸出層、隱藏層組成，其基本組成單位是神經(jīng)元，而隱藏層中則包含若干非線性處理層，下面以一個(gè)2層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(見圖3)為例進(jìn)一步說(shuō)明其工作原理。

圖3 2層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)示意圖Fig.3 Schematic diagram of a two-layer neural network

對(duì)于晶體硅鑄錠過(guò)程，選擇底部隔熱籠開口和功率比兩個(gè)工藝控制參量為輸入層的神經(jīng)元，TC1、P、V/G、q、Δh、ΔT六個(gè)參數(shù)為輸出層的神經(jīng)元。在隱藏層中通過(guò)一系列非線性處理，建立輸入與輸出的映射關(guān)系。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，各層的每一個(gè)神經(jīng)元均為上一層所有神經(jīng)元加權(quán)組合的函數(shù)，標(biāo)有“1”的神經(jīng)元為一偏置神經(jīng)元，用于控制神經(jīng)元被激活的容易程度[19]?，F(xiàn)以第1層與第2層的第一個(gè)神經(jīng)元為例表示其輸出結(jié)果：

(2)

(3)

定義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出層的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的均方誤差為損失函數(shù)：

(4)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過(guò)程即為通過(guò)對(duì)大量數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算，以減小損失函數(shù)為目標(biāo)尋找最優(yōu)的權(quán)重參數(shù)，并獲得泛化能力，對(duì)于未觀測(cè)過(guò)的新數(shù)據(jù)也能夠做到準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，也就是說(shuō)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)W習(xí)到大量數(shù)據(jù)中隱含的內(nèi)在規(guī)律。最基本的尋找最優(yōu)參數(shù)的方法為隨機(jī)梯度下降法(SGD)，沿?fù)p失函數(shù)關(guān)于參數(shù)的梯度方向不斷更新參數(shù)，以W表示需要更新的權(quán)重參數(shù)矩陣，α為學(xué)習(xí)率，隨機(jī)梯度下降法的表達(dá)式如下所示：

(5)

當(dāng)損失函數(shù)減小到一定范圍并保持穩(wěn)定，可使用未包含在訓(xùn)練集中的數(shù)據(jù)對(duì)訓(xùn)練完成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行檢驗(yàn)，此即為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的驗(yàn)證及測(cè)試過(guò)程。

本文采用Pytorch深度學(xué)習(xí)框架建立人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，通過(guò)反向傳播算法訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，采用Adam[20]優(yōu)化算法更新權(quán)重參數(shù)，為了提高運(yùn)算速度以及避免在反向傳播中出現(xiàn)梯度消失的問題，使用ReLU函數(shù)作為激活函數(shù)，由式(6)表示。為抑制過(guò)擬合以及降低結(jié)果對(duì)權(quán)重初始值的依賴性，在激活之前加入Batch Norm[21]層對(duì)數(shù)據(jù)分布進(jìn)行正規(guī)化，使數(shù)據(jù)分布的均值為0、方差為1。

(6)

1.3 優(yōu)化方法

本文的優(yōu)化目標(biāo)是減小或增大V/G、q、Δh、ΔT，是多目標(biāo)優(yōu)化問題。對(duì)于單目標(biāo)優(yōu)化問題，任何兩個(gè)解都能夠通過(guò)一個(gè)目標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)其優(yōu)劣，最終可以得到全局最優(yōu)解。而在多目標(biāo)優(yōu)化問題中，經(jīng)常會(huì)存在各目標(biāo)間的沖突，一個(gè)解在某個(gè)目標(biāo)上是最好的，但在其他目標(biāo)上可能是最差的，因此很難找到一個(gè)能同時(shí)滿足各目標(biāo)要求的最優(yōu)解。基于此，需引入多目標(biāo)優(yōu)化問題的合理解集：Pareto最優(yōu)解[22]，即不比其他任何解差的解集。以一個(gè)雙目標(biāo)函數(shù)f1和f2的最大化為例說(shuō)明Pareto最優(yōu)解的概念，如圖4所示，對(duì)于解x1和x2來(lái)說(shuō)，f1(x1)>f2(x2) 但同時(shí)f2(x2)>f2(x1)，因此很難評(píng)價(jià)解x1和x2孰優(yōu)孰劣。Pareto最優(yōu)解集中的任意解相比于其他任何解都不處于劣勢(shì)，即不存在更優(yōu)的解，所以也將Pareto最優(yōu)解稱為非劣解。求得多目標(biāo)優(yōu)化問題的Pareto最優(yōu)解集后，通?？梢栽诮饧姆秶鷥?nèi)依照經(jīng)驗(yàn)選取符合問題需求的若干解。

圖4 一個(gè)雙目標(biāo)函數(shù)最大化問題的Pareto最優(yōu)解示意圖Fig.4 A schematic of the Pareto optimal solutions of a double-objective-function maximization problem

針對(duì)本文研究的多目標(biāo)優(yōu)化問題，采用遺傳算法作為優(yōu)化方法。遺傳算法通過(guò)模擬自然進(jìn)化過(guò)程來(lái)搜索一定范圍內(nèi)的最優(yōu)解，從一個(gè)初始種群開始，經(jīng)過(guò)多代選擇、交叉、變異等演化行為，最終得到最適應(yīng)當(dāng)前環(huán)境(適應(yīng)度高，即符合優(yōu)化需求)的末代種群。首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行二進(jìn)制編碼，在各工藝參量的給定取值范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生一組初始候選解，并將其作為初代種群，隨后經(jīng)過(guò)一系列選擇、交叉、變異等遺傳操作逐步選出優(yōu)化的工藝參量。圖5所示為遺傳算法與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的優(yōu)化流程圖。

圖5 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合遺傳算法的優(yōu)化過(guò)程Fig.5 Optimization process of ANN combined with GA

1.4 數(shù)據(jù)產(chǎn)生

建立人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型所需要的大量數(shù)據(jù)來(lái)自數(shù)值仿真模擬預(yù)測(cè)和實(shí)驗(yàn)測(cè)量，實(shí)際生產(chǎn)和實(shí)驗(yàn)中所能測(cè)得的數(shù)據(jù)種類有限，難以滿足研究需求，因此本文采用基于實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程的數(shù)值仿真模擬獲得不同工況下的V/G、q、Δh、ΔT等參量。由于晶體生長(zhǎng)過(guò)程非常緩慢，流體運(yùn)動(dòng)較小，假設(shè)系統(tǒng)為準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)、不可壓流，同時(shí)將鑄錠爐視為二維軸對(duì)稱，對(duì)晶體硅生長(zhǎng)過(guò)程的整場(chǎng)輸運(yùn)方程進(jìn)行求解[23]，其中考慮熱傳導(dǎo)、熱場(chǎng)各部件表面間的熱輻射、結(jié)晶潛熱、氣體對(duì)流等。對(duì)于硅熔體部分，由于其流動(dòng)非常微弱，為簡(jiǎn)化計(jì)算，流動(dòng)對(duì)能量輸運(yùn)的影響通過(guò)考慮等效的熱導(dǎo)率來(lái)計(jì)算。

根據(jù)底部隔熱籠開口大小、功率比和總功率的不同，晶體生長(zhǎng)高度也不同，數(shù)值模擬在幾個(gè)特定隔熱籠開口下采用一系列不同的功率比，通過(guò)不斷調(diào)整總功率P以使晶體硅的中心高度達(dá)到預(yù)期高度。采用與實(shí)際生產(chǎn)中相近的功率比在底部隔熱籠開口分別為70 mm、80 mm、85 mm、90 mm、95 mm時(shí)進(jìn)行數(shù)值模擬，并將模擬得到的TC2溫度與生產(chǎn)中測(cè)得的TC2溫度進(jìn)行對(duì)比，如圖6所示，二者變化趨勢(shì)相近，說(shuō)明數(shù)值模擬能夠較真實(shí)地反映實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程。

圖6 晶體生長(zhǎng)過(guò)程數(shù)值模擬(虛線)與實(shí)驗(yàn)(實(shí)線)的TC2溫度對(duì)比Fig.6 TC2 comparison between numerical simulation (dash line) and experiment (solid line) during the crystal growth

對(duì)于需要進(jìn)行研究的參量V/G、q、Δh、ΔT，本文假設(shè)在同一時(shí)刻生長(zhǎng)界面上各點(diǎn)的生長(zhǎng)速度V相等，將生長(zhǎng)界面各點(diǎn)的V/G平均值作為該工況的V/G值。監(jiān)測(cè)生長(zhǎng)界面與坩堝接觸處的壁面熱流，熱流方向以從坩堝流向硅區(qū)域?yàn)檎?。根?jù)大量數(shù)值仿真模擬的結(jié)果，|q|<100左右時(shí)生長(zhǎng)界面邊緣形狀較為平直，q很小(負(fù)值)或很大(正值)時(shí)則分別呈現(xiàn)過(guò)凹或過(guò)凸的形態(tài)。生長(zhǎng)界面的高度差Δh定義為中心高度與邊緣高度之差，為方便之后的工藝優(yōu)化過(guò)程，在計(jì)算過(guò)程中q與Δh均取其絕對(duì)值。對(duì)于硅熔體溫度差，則通過(guò)監(jiān)測(cè)硅熔體內(nèi)部的最高溫度來(lái)獲得。通過(guò)前面的分析可以得出，減小晶體生長(zhǎng)過(guò)程中的V/G、|q|、|Δh|、ΔT，可以提高晶體質(zhì)量。

2 結(jié)果與討論

基于上述人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法在鑄錠晶體硅中的參量選擇原則，下面分別介紹如何通過(guò)已有的數(shù)據(jù)建立工藝參量與晶體硅質(zhì)量參數(shù)之間的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)映射模型，將其作為遺傳算法的數(shù)據(jù)來(lái)源，實(shí)現(xiàn)晶體生長(zhǎng)過(guò)程中工藝控制參數(shù)的優(yōu)化，最后基于實(shí)際生產(chǎn)中硅錠的檢測(cè)數(shù)據(jù)，研究V/G對(duì)于晶體生長(zhǎng)過(guò)程及其質(zhì)量的影響和控制策略。

2.1 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的建立

根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程及其工藝選取5個(gè)典型的隔熱籠開口，分別為70 mm、80 mm、85 mm、90 mm、95 mm，功率比在1～4范圍內(nèi)取值，通過(guò)調(diào)整總功率P使得在相同的隔熱籠開口下生長(zhǎng)界面中心達(dá)到同一高度，從相應(yīng)模擬結(jié)果中計(jì)算得到TC1、V/G、|q|、|Δh|、ΔT，通過(guò)多次數(shù)值模擬得到76組數(shù)據(jù)，對(duì)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入數(shù)據(jù)(隔熱籠開口、功率比)作min-max歸一化處理，即對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行線性變換，使其映射到[0,1]之間。對(duì)于輸出數(shù)據(jù)(TC1、P、V/G、q、Δh、ΔT)則采用z-score歸一化，使經(jīng)過(guò)處理的原始數(shù)據(jù)符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。為減小訓(xùn)練難度，將其概率分布在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布基礎(chǔ)上平移至均值為2。經(jīng)過(guò)歸一化處理的76組訓(xùn)練數(shù)據(jù)采用五折交叉驗(yàn)證法進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的調(diào)優(yōu)，尋找能使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)泛化性能最優(yōu)的超參數(shù)值，其中超參數(shù)即為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中需要人為給定的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)，如隱藏層層數(shù)、各層神經(jīng)元個(gè)數(shù)、學(xué)習(xí)率等。五折交叉驗(yàn)證法的示意圖如圖7所示，將訓(xùn)練數(shù)據(jù)集隨機(jī)分成五等份，每次取其中一份作為驗(yàn)證集，其余4份作為訓(xùn)練集，這樣循環(huán)五次作為一次交叉驗(yàn)證，通過(guò)多次交叉驗(yàn)證來(lái)尋找合適的超參數(shù)值，由于采用了無(wú)重復(fù)抽樣技術(shù)，每次交叉驗(yàn)證過(guò)程中每組數(shù)據(jù)只有一次被劃入訓(xùn)練集或驗(yàn)證集的機(jī)會(huì)。另外，再通過(guò)多次數(shù)值模擬得到14組不包含在訓(xùn)練數(shù)據(jù)內(nèi)的數(shù)據(jù)作為獨(dú)立測(cè)試集，用于測(cè)試模型的泛化性能。

經(jīng)過(guò)多次交叉驗(yàn)證，找到合適的超參數(shù)值，采用2層隱藏層，每層各128個(gè)神經(jīng)元，初始學(xué)習(xí)率設(shè)定為0.01，并隨著訓(xùn)練過(guò)程的進(jìn)行不斷減小。使用該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行的五次迭代過(guò)程損失函數(shù)變化如圖8所示，可以看到驗(yàn)證集的損失函數(shù)值穩(wěn)定在0.01，訓(xùn)練集損失函數(shù)穩(wěn)定在1×10-3與1×10-4之間，根據(jù)訓(xùn)練集與驗(yàn)證集劃分方式的不同，訓(xùn)練過(guò)程和結(jié)果均有一定的差異，但從圖中可以看出五次交叉驗(yàn)證的結(jié)果相差不大。五個(gè)不同驗(yàn)證集TC1、P、V/G、q、Δh、ΔT的平均相對(duì)誤差E分別為：4.99%、2.53%、4.80%、4.60%、7.23%、2.56%。然后在全部訓(xùn)練數(shù)據(jù)集上重新訓(xùn)練模型，并使用獨(dú)立的測(cè)試集對(duì)模型性能做出最終評(píng)價(jià)，得到6個(gè)參數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果的平均相對(duì)誤差分別為：1.49%、1.44%、2.99%、1.39%、2.66%、1.58%。因此可以認(rèn)為該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠在本文給定范圍內(nèi)較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)熱場(chǎng)特性，并具有一定的泛化能力。使用該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算并輸出1組熱場(chǎng)參數(shù)僅需0.01 s(使用1個(gè)2.90 GHz CPU，單線程)，若采用數(shù)值仿真模擬則大約需要183 s(使用1個(gè)2.90 GHz CPU,3線程)。

圖7 五折交叉驗(yàn)證法示意圖Fig.7 Diagram of five-fold cross-validation

圖8 五次交叉驗(yàn)證過(guò)程訓(xùn)練數(shù)據(jù)(實(shí)線)及驗(yàn)證數(shù)據(jù)(虛線)的損失函數(shù)變化情況Fig.8 Changes in the loss function of the training (solid line) and validation data (dash line) during five-fold cross-validation process

圖9顯示在底部隔熱籠開口分別為70 mm、85 mm和95 mm時(shí)使用該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)值分析功率比對(duì)晶體生長(zhǎng)過(guò)程熱場(chǎng)的影響規(guī)律，其中縱坐標(biāo)為經(jīng)過(guò)z-score歸一化以及概率分布平移處理后的值。在底部隔熱籠開口大小不同時(shí)，各參量隨功率比的變化規(guī)律均有一定的改變，但整體上仍然有共同點(diǎn)。在同一個(gè)隔熱籠開口下，隨著功率比的增大，頂加熱器功率逐漸減小，側(cè)加熱器功率逐漸增大，熔體中的溫度梯度減小，V/G持續(xù)增大，ΔT則先減小后增大。隨著底部隔熱籠開口增大，V/G整體上有下降趨勢(shì)，ΔT的變化幅度也逐漸減小。|Δh|和|q|的變化圖線顯示，隨著功率比增大，生長(zhǎng)界面由凹變凸，生長(zhǎng)界面與坩堝壁接觸處也由凹變凸，然而需要注意的是隔熱籠開口70 mm時(shí)，在功率比變化的全范圍內(nèi)生長(zhǎng)界面邊緣呈現(xiàn)下凹的形態(tài)，這是因?yàn)閭?cè)加熱器與坩堝底部有一定的距離，在隔熱籠開口較小時(shí)，較小的晶體生長(zhǎng)高度使得熱量容易從沒有側(cè)加熱器遮擋的坩堝側(cè)壁部分散出，導(dǎo)致了該處生長(zhǎng)界面下凹。

從圖9(a)～(c)也可以看到，由于各參量變化趨勢(shì)不同，因此很難找到能使V/G、|q|、|Δh|、ΔT同時(shí)達(dá)到最小的功率比，這也就說(shuō)明了多目標(biāo)優(yōu)化中的最優(yōu)解集并非指絕對(duì)最優(yōu)解，而是在各參量間做出取舍之后的相對(duì)最優(yōu)解。

圖9 不同底部隔熱籠開口下的熱場(chǎng)參數(shù)V/G(實(shí)線)、|q|(虛線)、|Δh|(點(diǎn)劃線)、ΔT(雙點(diǎn)劃線)隨功率比的變化情況Fig.9 Dependences of thermal field parameters V/G (solid line), |q| (dash line), |Δh| (dot dash line), ΔT (double-dot dash line) on power ratio, at different bottom insulation cage opening sizes

2.2 遺傳算法對(duì)工藝控制參數(shù)的優(yōu)化

本文的優(yōu)化目標(biāo)為減小V/G、|q|、|Δh|、ΔT。工藝的優(yōu)化需保證在晶體生長(zhǎng)過(guò)程中TC1變化幅度較小，以實(shí)現(xiàn)晶體的穩(wěn)定生長(zhǎng)，另外需要使晶體生長(zhǎng)界面高度差Δh為正并且盡量接近0，以得到微凸的界面。設(shè)定種群規(guī)模為20，即每一代進(jìn)化中都有20組決策變量，分別固定底部隔熱籠開口為70 mm、80 mm、85 mm、90 mm、95 mm，功率比則在取值范圍內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)初始化，經(jīng)過(guò)5 000代進(jìn)化后，決策變量由隨機(jī)分布逐漸聚集，5次進(jìn)化結(jié)果如圖10所示，在每次進(jìn)化中聚集的點(diǎn)集即為相應(yīng)工況下的Pareto最優(yōu)解集，即不比其他任何解更差的非劣解集。由于多目標(biāo)優(yōu)化中各目標(biāo)之間的沖突性，很難同時(shí)使四個(gè)熱場(chǎng)參數(shù)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，而且由于實(shí)際晶體生長(zhǎng)過(guò)程工藝參數(shù)調(diào)整需有連續(xù)性，不能在Pareto最優(yōu)解集中隨意選擇工藝參數(shù)。因此按照以下準(zhǔn)則從各Pareto最優(yōu)解集中選取一系列優(yōu)化的功率比：①使Δh為正且盡量接近0；②減小|q|且盡量使|q|<100；③在不同的隔熱籠開口下TC1變化幅度較小。優(yōu)化前(虛線)、后(實(shí)線)的工藝參數(shù)變化如圖11所示，初始工藝的功率比始終為3，優(yōu)化工藝的功率比則在2附近波動(dòng)，先增大后減小；總功率整體上小于初始工藝，從而降低了能耗；優(yōu)化工藝的TC1變化幅度也小于初始工藝。

圖10 使用遺傳算法進(jìn)化5 000代后的Pareto最優(yōu)解集Fig.10 Results after 5 000 generations of evolution using genetic algorithm

通過(guò)數(shù)值模擬求解相應(yīng)熱場(chǎng)，計(jì)算得到熱場(chǎng)參數(shù)，并與初始工藝的熱場(chǎng)參數(shù)值進(jìn)行比較，如圖12所示。由1.4節(jié)可知減小晶體生長(zhǎng)過(guò)程中的V/G、|q|、|Δh|、ΔT，可以提高晶體質(zhì)量。優(yōu)化工藝的(a)V/G和(c)生長(zhǎng)界面高度差Δh在該晶體生長(zhǎng)范圍內(nèi)均小于初始工藝的相應(yīng)值；(b)壁面熱流q在除隔熱籠開口80 mm之外的工況，其絕對(duì)值均小于初始工藝的相應(yīng)值；優(yōu)化工藝得到的(d)硅熔體溫差ΔT則在該晶體生長(zhǎng)范圍的前半段略大于初始工藝，后半段略小于初始工藝。由于優(yōu)化工藝的功率比小于初始工藝，側(cè)加熱器功率減小，頂加熱器功率相對(duì)增大，硅熔體內(nèi)的溫度梯度增加，在本文中晶體生長(zhǎng)速度V相同的情況下，V/G減??；坩堝側(cè)壁溫度略有降低，晶體生長(zhǎng)前期界面邊緣過(guò)凹以及后期界面過(guò)凸的問題也得以改善；優(yōu)化過(guò)程并不涉及鑄錠爐結(jié)構(gòu)和晶體生長(zhǎng)速度的改變，優(yōu)化前后硅熔體溫差變化不大，因此不將此參量作為影響晶體硅質(zhì)量的主要因素。晶體生長(zhǎng)過(guò)程中不同階段的界面隨底部隔熱籠開口大小變化如圖13所示，R表示從界面中心到界面邊緣的坐標(biāo)，z表示界面高度，可以看到優(yōu)化后的晶體界面趨于平直，且在晶體生長(zhǎng)前期界面邊緣的下凹程度得以減輕。因此綜合來(lái)看，優(yōu)化后的工藝實(shí)現(xiàn)了晶體質(zhì)量的提高，并減小了總功率。

圖11 優(yōu)化前(虛線)及優(yōu)化后(實(shí)線)的(a)功率比、(b)總功率和(c)TC1分別隨底部隔熱籠開口的變化Fig.11 Before (dash line) and after (solid line) optimization for the response of (a) power ratio, (b) total power and (c) TC1 to the bottom insulation cage opening size, respectively

圖12 優(yōu)化前(虛線)及優(yōu)化后(實(shí)線)熱場(chǎng)參數(shù)隨底部隔熱籠開口的變化Fig.12 Before (dash line) and after (solid line) optimization for the response of thermal field parameters to the bottom insulation cage opening size, respectively

圖13 優(yōu)化前(虛線)及優(yōu)化后(實(shí)線)的晶體生長(zhǎng)界面位置z的變化Fig.13 Crystal growth interface location z before (dash line) and after (solid line) optimization

2.3 V/G的橫向分布對(duì)晶體質(zhì)量的影響

鑄錠晶體硅的生長(zhǎng)速度V呈現(xiàn)前期快、后期慢的趨勢(shì)，參考實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程，本文采用如圖14(a)所示的晶體生長(zhǎng)速度隨時(shí)間變化曲線，底部隔熱籠開口隨時(shí)間變化曲線如圖14(b) 所示。從圖12(a)可以看到生長(zhǎng)界面上的平均V/G初始變化平緩，在晶體生長(zhǎng)中后期則迅速減小，一方面因?yàn)楹笃诰w生長(zhǎng)速度減慢，另一方面則是由于熔體高度不斷減小，熔體內(nèi)溫度梯度增大的緣故。下面給出使用優(yōu)化前后工藝在不同生長(zhǎng)高度時(shí)界面上的V/G分布曲線，如圖15所示，優(yōu)化后的工藝使得V/G在整體上減小的同時(shí)，在橫向上的分布也更加均勻。在晶體生長(zhǎng)前期(h=50 mm)，生長(zhǎng)界面邊緣均出現(xiàn)V/G的突增，這與換熱臺(tái)四周添加的一圈保溫棉有關(guān)，使得生長(zhǎng)界面邊緣的溫度梯度較小。在晶體生長(zhǎng)中期(h=131 mm,h=194 mm)，從界面中心到界面邊緣的V/G變化趨于平緩，而在晶體生長(zhǎng)后期(h=264 mm,h=311 mm)，界面中心的V/G明顯大于界面邊緣，且隨晶體生長(zhǎng)的進(jìn)行，差值逐漸增大。

圖14 (a)晶體生長(zhǎng)速度和(b)底部隔熱籠開口隨時(shí)間的變化Fig.14 Variations of (a) crystal growth rate, and (b) the bottom insulation cage opening size with time, respectively

圖15 不同晶體生長(zhǎng)高度h=50 mm(實(shí)線),h=131 mm(虛線),h=194 mm(點(diǎn)線),h=264 mm(點(diǎn)劃線), h=311 mm(雙點(diǎn)劃線)時(shí)界面V/G沿徑向的分布Fig.15 Interface V/G distribution along the radial direction at the crystal growth height, h of 50 mm (solid line), 131 mm (dash line), 194 mm (dot line), 264 mm (dot dash line), 311 mm (double-dot dash line), respectively

為了進(jìn)一步研究V/G對(duì)晶體生長(zhǎng)過(guò)程的影響，對(duì)切除邊皮并開方后的硅錠側(cè)面進(jìn)行光致發(fā)光(PL)檢測(cè)及少子壽命檢測(cè)。圖16(a)為PL檢測(cè)圖，其中的陰影區(qū)表示缺陷，每個(gè)小錠下方標(biāo)出的數(shù)字即為缺陷面積占檢測(cè)面積的百分比。從硅錠中心到兩側(cè)邊緣缺陷面積占比逐漸增多，但分布并不完全對(duì)稱，邊緣處的陰影線從側(cè)面傾斜向上，此即為硅熔體與冷壁接觸，因異質(zhì)形核產(chǎn)生的隨機(jī)取向多晶區(qū)，也導(dǎo)致了相應(yīng)的缺陷。對(duì)硅錠端面進(jìn)行PL檢測(cè)，如圖17所示，硅錠邊緣的缺陷面積較大，通過(guò)控制壁面熱流q可以抑制邊緣多晶向中心擴(kuò)展，減小邊緣的缺陷區(qū)，從而提高硅錠的質(zhì)量以及利用率。

圖16(b)為少子壽命檢測(cè)圖，紅色區(qū)域?yàn)榈蜕僮訅勖鼌^(qū)，金屬雜質(zhì)含量較多，相應(yīng)也存在大量缺陷，晶體生長(zhǎng)高度h=50 mm即位于硅錠尾部的大陰影區(qū)內(nèi)，隨著晶體生長(zhǎng)的進(jìn)一步進(jìn)行，缺陷數(shù)量減少且分布較為均勻，對(duì)應(yīng)于晶體生長(zhǎng)中期(h=131 mm,h=194 mm)的V/G變化也較為平緩。而在晶體生長(zhǎng)后期，雖然V/G整體上減小了，但從PL檢測(cè)圖中可以看到缺陷再次增多，這說(shuō)明隨著熔體不斷減少，雜質(zhì)在熔體中不斷富集，其他因素對(duì)于晶體硅質(zhì)量的影響更大，而這也是需要進(jìn)一步探究的問題，同時(shí)硅錠中心的陰影區(qū)有增大的趨勢(shì)，這與前面提到的V/G在界面中心大于界面邊緣的變化規(guī)律相符合。因此除了減小V/G，增加其在橫向上的均勻度也是提高晶體質(zhì)量的重要因素。

圖16 硅錠側(cè)面的(a)PL檢測(cè)圖,(b)少子壽命檢測(cè)圖Fig.16 (a) PL inspection image, (b) minority carrier lifetime inspection image on the side of the silicon ingot

圖17 硅錠端面的PL檢測(cè)圖Fig.17 PL inspection diagram of silicon ingot end face

3 結(jié) 論

本文基于數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立了工藝控制參數(shù)與影響晶硅質(zhì)量的熱場(chǎng)參數(shù)之間的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并結(jié)合遺傳算法以減小V/G、|q|、|Δh|、ΔT為目標(biāo)優(yōu)化工藝控制參數(shù)。訓(xùn)練完成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠做出快速且較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，4個(gè)熱場(chǎng)參數(shù)測(cè)試結(jié)果的平均相對(duì)誤差分別為： 2.99%、1.39%、2.66%、1.58%，且該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)映射模型使不同工況下的熱場(chǎng)參數(shù)計(jì)算速度相比數(shù)值仿真模擬大大提升。將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為遺傳算法搜索的數(shù)據(jù)來(lái)源，根據(jù)底部隔熱籠開口大小不同選取5個(gè)典型工況，分別對(duì)其功率比進(jìn)行優(yōu)化，在進(jìn)化5 000代后得到的Pareto最優(yōu)解中選取符合需求的工藝參量進(jìn)行數(shù)值模擬，優(yōu)化后V/G、|q|、|Δh|基本上在該晶體生長(zhǎng)范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)減小，在一定程度上提高了晶體質(zhì)量，并且減小了總功率，從而降低了能耗。

最后結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)中硅錠的PL檢測(cè)圖和少子壽命檢測(cè)圖分析了V/G對(duì)晶體質(zhì)量的影響。在晶體生長(zhǎng)中期V/G沿徑向變化較為平緩，對(duì)應(yīng)缺陷相對(duì)較少且分布均勻，因此增加V/G在橫向上的均勻度也是提高晶體質(zhì)量的重要因素，晶體生長(zhǎng)前期及后期出現(xiàn)的大量缺陷則受雜質(zhì)等其他因素影響更大。硅錠邊緣的缺陷主要產(chǎn)生于隨機(jī)取向多晶區(qū)，通過(guò)控制壁面熱流q可以抑制邊緣多晶向中心擴(kuò)展，提高硅錠的質(zhì)量和利用率。

本文采用經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證的數(shù)值模擬結(jié)果建立人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，優(yōu)化結(jié)果也通過(guò)數(shù)值模擬進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證，后續(xù)的研究計(jì)劃是通過(guò)理論結(jié)合實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證優(yōu)化工藝的可行性，并用于指導(dǎo)實(shí)際生產(chǎn)。除了熱場(chǎng)方面，晶體硅生長(zhǎng)過(guò)程中的氬氣流場(chǎng)與雜質(zhì)輸運(yùn)過(guò)程對(duì)于晶體質(zhì)量來(lái)說(shuō)也至關(guān)重要，且目前尚無(wú)鑄錠晶體硅的生長(zhǎng)界面探測(cè)技術(shù)與反饋控制，如何將機(jī)器學(xué)習(xí)方法應(yīng)用于此，也需要進(jìn)行進(jìn)一步的研究。