侯春娟，李遠(yuǎn)飛

（廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 511300）

對拋物方程和系統(tǒng)解的爆破現(xiàn)象的研究一直是人們研究的熱點，出現(xiàn)了大量的成果[1-5].拋物方程的解當(dāng)t→t*時變得無界，就稱解在t*處發(fā)生爆破.通常情況下，確定解的爆破時間較為困難.因此，學(xué)者們開始估計爆破時間的界，包括爆破時間的上界和下界，參考文獻(xiàn)［6?10］.

尤其注意到Galaktionov等研究了如下齊次Dirichlet邊界條件下問題

并證明了當(dāng)p2q1＜m1m2時解是全局存在的；如果p2q1＞m1m2，解在有限時間爆破；當(dāng)p2q1=m1m2，在一些輔助條件下解仍然是全局存在的.Lei等[11]考慮了非線性反應(yīng)擴散方程

在齊次Dirichlet邊界條件下全局弱解的存在性和不存在性.Payne等[12]研究了齊次Dirichlet邊界條件下的問題

并證明了Ω?RN(N＞2)時，解一定在某時刻t*處爆破，獲得了爆破時間的上界.當(dāng)Ω?R2和Ω?R3時，文獻(xiàn)［13］獲得了爆破時間的下界.李遠(yuǎn)飛[13]研究了方程

在齊次Dirichlet邊界條件下解的爆破現(xiàn)象，并獲得了爆破時間的上下界.當(dāng)方程的初始條件滿足一定約束條件時，證明了解是全局存在的.Shen等[14]把文獻(xiàn)［13］的研究推廣到了非線性邊界條件

利用Sobolev不等式和微分不等式技術(shù)，獲得了爆破時間的上界和下界.

文獻(xiàn)［15］考慮了齊次Dirichlet邊界條件下方程

其中，m1，m2≥1，Ω?RN(N≥2)，k1(t)，k2(t)是大于零的連續(xù)函數(shù)，a1，a2＞0是擴散系數(shù)，f1，f2是連續(xù)的非負(fù)函數(shù)，t*是可能的爆破時間.該模型主要模擬了一些2種物質(zhì)的燃燒過程或傳輸擴散過程[15-16]，m1，m2＞1時表示慢擴散，m1=m2=1時表示線性擴散.文獻(xiàn)［15］利用上解法等方法得到了證明了弱解存在唯一性，又證明了全局解的存在性和不存在性，明確了域系數(shù)和幾何形狀對全局解存在性的影響.在此基礎(chǔ)上，研究了所有維空間域爆破時間的界.文獻(xiàn)［17］研究了具有空變系數(shù)的混合拋物系統(tǒng)

在非線性邊界條件下的爆破問題，利用能量估計的方法得到了爆破時間的下界.更多關(guān)于解爆破性研究和解的存在性研究的最新成果參考文獻(xiàn)［18?24］.

研究方程（1）和（2）在Ω?R3上解的存在性及爆破現(xiàn)象.考慮以下非線性邊界條件

其中，g1，g2是非負(fù)的連續(xù)函數(shù).該邊界條件表示2種物質(zhì)在燃燒時和外界發(fā)生了熱交換，在邊界上并非絕緣.

利用能量分析法和微分不等式技術(shù)，得到了爆破時間的上界以及證明了全局解的存在性，利用Sobo?lev不等式解決邊界條件帶來的困難.此外，模型（1）和（2）滿足以下初始條件

其中，非負(fù)初始數(shù)據(jù)u0(x)，v0(x)是滿足相容性條件的C1函數(shù).因此，根據(jù)經(jīng)典拋物理論，問題（1）~（4）的解是唯一存在的，并且是非負(fù)的.

研究方程（1）~（4）的解一定在某有限時刻t*處爆破的條件，并推導(dǎo)爆破時間的上界.假設(shè)λ1是問題

的第一特征值.而f1，f2滿足

通過構(gòu)造一個與φ相關(guān)的輔助函數(shù)，獲得了爆破時間的上界，其優(yōu)點是不需要g1，g2滿足額外的條件.當(dāng)式（6）不再成立時，此時假設(shè)f1，f2滿足一些不同的約束條件，證明解是全局存在的.

1 爆破解

證明方程（1）~（4）的解在某有限時刻爆破，并估計爆破時間的上界.為此，構(gòu)造輔助函數(shù)

其中，φ的定義見式（5）.

可以得到以下定理：

定理1設(shè)(u，v)是非線性方程（1）~（4）在Ω?R3上的非負(fù)經(jīng)典解.函數(shù)f1，f2滿足式（6），不失一般性，假設(shè)p1≥q1.函數(shù)k1(t)，k2(t)滿足

且初始數(shù)據(jù)u0和v0滿足一定的約束條件.則方程（1）~（4）的解在A(t)的測度下必在有限時刻t*處爆破.具體地，當(dāng)p1=q1時，若u0和v0滿足

則t*滿足t*≤T1，其中，

當(dāng)p1≠q1時，若u0和v0滿足

則t*滿足t*≤T2，其中，

其中，

證明利用方程（1）~（4），散度定理，式（5），（6）和（8）對（7）求導(dǎo)可得

利用Ho?lder不等式和Young不等式，可得

其中，ε1，ε2是大于零的任意常數(shù).令

再把式（12）和（13）代入到式（11），可得

聯(lián)合式（14）和（15），可得

Ⅰ 當(dāng)p1=q1時，利用數(shù)學(xué)不等式

則

把式（18）代入到式（16），可得

即

對式（19）從0到t積分，可得

由于初始數(shù)據(jù)u0和v0滿足式（9），則當(dāng)t=T1時，式（20）右邊的部分等于零.又由于p1＞1，所以方程（1）~（4）的解必在t*＜T1處爆破.

Ⅱ 當(dāng)p1≠q1時，利用Young不等式，可得

把式（21）代入到式（16），可得

再次利用式（17），由式（22）可得

由于初始數(shù)據(jù)u0和v0滿足式（10），則φ(A(0))＞0.由式（23）可知：存在t1＞0使得A′(t)≥0，t∈[0，t1]，所以A(t1)≥A(0).由于q1＞1，所以φ(A(t))是A(t)的遞增函數(shù)，所以φ(A(t1))≥φ(A(0))＞0.同理存在t2＞t1，使得φ(A(t2))≥φ(A(t1))＞0.如此下去，可得φ(A(t))＞0，?t＞0.由式（23）可知A′(t)＞0，?t＞0，說明A(t)一定在某有限時刻t*處爆破.由式（23）可得爆破時間的上界.

證畢.

注1 由式（9）和式（10）可知，解一定發(fā)生爆破的條件是要求初始數(shù)據(jù)充分大，定理1得到了爆破時間的上界.

注2 與文獻(xiàn)［15］相比，增加了對初始條件的要求，對邊界條件沒有增加限定，即本文把文獻(xiàn)［15］的研究推廣到了非線性邊界條件的情形.

2 全局解

首先給出以下引理.

引理1［25］設(shè)Ω是RN(N≥2)上的有界星型區(qū)域.若w∈C1(Ω)，則有

其中，ρ0=min?Ω(x，n)，d=max?Ω|x|，n＞1.

引理2［26］設(shè)Ω是RN(N＞2)上的有界星型區(qū)域，則存在一個依賴于Ω和N的常數(shù)Λ1＞0，使得

利用引理2，可得

由式（24）可得以下引理.

引理3 設(shè)Ω是RN(N＞2)上的有界星型區(qū)域，則有

建立以下輔助函數(shù)

其中，α是一個待定的大于零的常數(shù).

可以得到以下定理.

定理2設(shè)u和v滿足是方程（1）~（4）在Ω?R3上的非負(fù)解.函數(shù)g1，g2滿足

其中，0＜p i+qi≤1，m1+2(p i+qi)＞3，i=2，3.函數(shù)f1，f2滿足式

其中，0＜p4+q4≤1，p5+q5≤1.則方程（1）~（4）的解在有限時刻不會發(fā)生爆破，即方程（1）~（4）具有全局解.

證明首先在式（25）取

由于0＜p4+q4≤1，p5+q5≤1，式（27）表明α+m1＞2q4，α+m2＞2q5.

對B(t)求導(dǎo)，再利用散度定理，式（25）和方程（1）~（4），可得

利用Ho?lder不等式和Young不等式，可得

利用引理1和Ho?lder不等式，可得

其中，ε1是大于零的任意常數(shù)以及

類似地，有

把式（30）和（31）代入到式（29），可得

類似地，有

處理式（28），利用H?lder不等式，Young不等式和引理2可得

其中，ε3是大于零的任意常數(shù)以及

類似地，有

其中，ε4是大于零的任意常數(shù)以及

取適當(dāng)?shù)摩?，ε′1，ε′3和ε′4，使得

再把式（32）~（36）代入到式（28），可得

利用H o?lder不等式，Young不等式，可得

其中，ε5是大于零的任意常數(shù)，i=2，3.類似地，有

其中，ε6是大于零的任意常數(shù).類似地，有

其中，ε7，ε8是大于零的任意常數(shù).在引理3中，取m=α+m1+m2-1，w=u，v，可得

現(xiàn)取εi，i=5，6，7，8滿足

再結(jié)合式（38）~（43），可得

其中，I是大于零的常數(shù).注意到

和

并結(jié)合式（44），可得

令k(t)=max{1，k1(t)，k2(t)}，則由式（45）可得

如果方程的解在某有限時刻t*發(fā)生爆破，則對式（46）從0到t*積分，可得

因為α+m1＞2q4，α+m2＞2p5，由式（35）和（37）可知

于是式（47）左邊的積分發(fā)散，而K(t*)是t*的單調(diào)遞增函數(shù)，所以t*=∞.因此在B(t)測度下，解不可能在任何有限時間爆破，即解是全局存在的.

注3 本文限定方程中的參數(shù)0＜p i+qi≤1，i=2，3，實際上是控制了在邊界上物質(zhì)與外界發(fā)生熱交換的程度，因此得到了全局解.

注4 通過對邊界條件做出一定限制，得到了與文獻(xiàn)［15］類似的結(jié)論，這也是對文獻(xiàn)［15］的推廣.

注5 如果方程（1）和（2）由以下帶梯度項的拋物方程代替

只要對β進(jìn)行適當(dāng)?shù)南薅ǎɡ?和定理2仍然成立.

3 小結(jié)

研究了具有非線性邊界條件下當(dāng)N=3時非線性反應(yīng)擴散方程，通過對方程中的參數(shù)進(jìn)行一定的限制，得到了爆破解和全局解的存在性，同時本文的方法還可以向更一般化的模型推廣.