靳玲花,白 慧,李珊珊

(河套學院數學與計算機系,內蒙古 巴彥淖爾 015000)

0 引言

非線性科學涉及范圍非常廣泛,比如力學、數理化學、天文氣象學、生物環(huán)境學、醫(yī)學、航天等一些比較重要的領域,它是20世紀自然科學繼量子力學和相對論兩大領域的又一重大發(fā)展領域。從數學和物理的視覺來看,通過求解非線性微分方程可以很好地解釋自然界中出現的各類非線性現象。為了更好地去理解這種非線性現象,采用構造非線性微分方程的解的方法,而這種做法已經成為當代非線性科學研究領域的重要課題。

目前在還沒有完全獲得系統地處理非線性問題的方法的情況下,不同專業(yè)的學者分別總結出了自己特有的研究方法,但一般被認可的范疇包括:孤立子、分形以及混沌。孤立子也叫孤立波,它是指一大類非線性偏微分方程的許多具有相同特殊性質的解,以及它所蘊含的物理現象。孤立子具有一些主要的特性:1)孤立子是波動問題中一種能量有限的局域解;2)能量大多集中在一個很小的區(qū)域內(或能在空間給定的區(qū)域內穩(wěn)定存在);3)孤立波相互作用時會出現彈性散射現象。這些性質揭示了孤立子的內涵,同時我們稱具有孤立子解的非線性發(fā)展方程為孤子方程。孤立子理論包含的內容和研究方法非常豐富,尤其是近十幾年來研究隊伍不斷擴大,研究成果令人矚目。

孤立子理論中的兩大主要問題是構造孤立子方程的精確解和研究非線性系統的可積性。隨著孤立子理論的發(fā)展,已經總結了許多構造非線性方程精確解的方法,如B?cklund變換法、Darboux變換法、相似約化法、Hirota雙線性方法、反散射方法(IST)、延拓結構法、齊次平衡法、經典和非經典李群法、F-展開法、代數幾何法、Painlevé分析法和(G′/G)-展開法等。本論文采用的就是(G′/G)-展開法。

由于非線性微分方程的解不再滿足線性方程的疊加原理,所以通常很難像線性方程那樣用一個統一的方法對其求解。進入20世紀以來,對于常系數非線性微分方程,前述諸方法已被大量應用,而變系數模型能夠更精確地描述物理、力學問題,特別是高階的變系數方程。因此,變系數方程有比較廣泛的應用性。

考慮被數學家和物理學家普遍感興趣的方程,(2+1)維廣義圓柱變系數Kadomtsev-Petviashvilli(KP)方程:

(ut+6uux+uxxx)x+a(t)ux+b(t)uyy=0,

(1)

(2)

(3)

KP方程有著廣泛的物理背景,在流體力學、等離子體物理和氣體動力學等領域有重要作用,可作為描述(2+1)維淺水波和等離子體中的離子聲波的模型方程。任何一個模型或系統,尤其是變系數非線性模型或系統,我們可以直接進行系統行為與性能的分析,建立系統的可靠性模型?？煽啃岳碚撌钦诎l(fā)展的理論,對許多方面的認識還在不斷地深化。對于一些復雜的可靠性問題,都還需要進一步、更廣泛深入的研究。

本文中對于(2+1)維廣義圓柱變系數KP方程的求解,前期已經做了許多工作[1]。主要方法選自王明亮等[2-3]2008年提出的(G′/G)-展開法。此方法簡單、有效、實用,但作者發(fā)現還是有很大的改進空間。接下來就是將(G′/G)-展開法進行更一般化的推廣后,再次應用在此方程中。

1 推廣的(G′/G)-展開法簡介

給出如式(4)形式的非線性微分方程:

P(u,ut,ux,utt,uxx,…)=0。

(4)

1)尋求方程(4)如式(5)的行波變換:

u(x,t)=u(ξ),ξ=x±ct。

(5)

若是變系數非線性方程,則可以是如式(6)的行波變換:

u(x,t)=u(ξ),ξ=k(x)+l(y)+p(t)+q,

(6)

式中:k(x),l(y),p(t)是待定函數;q,c是待定常數;利用變換式(5)或式(6),可將式(4)化為如式(7)的非線性微分方程(常系數或者變系數):

Q(u′,u″,u?,L)=0。

(7)

2)假設方程(7)有如式(8)形式的解:

(8)

式中:an和bn不同時為0,a0,ai,bi(i=1,2,…,n)都是待定常數。式(8)中的整數n可以通過平衡式(7)中u(ξ)的最高階非線性項和最高階微分項來確定。G=G(ξ)滿足如式(9)的二階常微分方程:

G″+λG=0,

(9)

或者

G′+λG+μG2=0,

(10)

式中λ和μ都是任意常數,此輔助方程的論述可見文獻[1-3]。

若ai=0,式(8)將化為

(11)

但如果bi=0,i=1,2,…,n,則(8)式將變?yōu)槿缡?12)的形式:

(12)

3)把式(8)代入式(7)后再利用式(9)或式(10)化為(G′/G)的冪次多項式,再令各次的系數為0,則得到一個以a0,ai,bi(i=1,2,…,n),λ以及k(x),l(y),p(t)為未知量,或者以q,c為未知數的非線性代數方程組。

4)求解3)中的代數方程組確定相關的未知量。另外,式(9)或式(10)的解都是我們所熟悉的(這里就不再贅述),將其及a0,ai,bi(i=1,2,…,n),k(x),l(y),p(t),q或者c代入式(8),便可以得到方程(4)的精確行波解。

2 (2+1)維廣義圓柱變系數KP方程推廣精確解

(2+1)維廣義圓柱變系數KP方程為:

(ut+6uux+uxxx)x+a(t)ux+b(t)uyy=0,

(13)

因為該方程是變系數的,所以應該引入行波變換式(6),則該方程變形為:

[a(t)k′(x)+b(t)l″(y)+k(4)6(x)]u′+6k′2(x)u′2+6k″(x)u+[c′(t)k′(x)+b(t)l′2(y)+2k″(x)+k″2(x)+2k″(x)k?(x)]u″,+6k′2(x)uu″+(5k′2(x)+k′2(x)k″(x))u?+k′4(x)u(4)=0。

(14)

由齊次平衡原則得n=2,則應設式(14)解的形式為

(15)

這里G(ξ)滿足二階線性常微分方程式(9)。由式(15)利用式(9),則得到:

u′=-2a2φ3-a1φ2-2a2λφ+2b2λφ-3+b1λφ-2+2b2φ-1+b1-λa1,

u″=6a2φ4+2a1φ3+8a2λφ2+2a1λφ+6b2λ2φ-4+2b1λ2φ-3+8b2λφ-2+2b1λφ-1+2b1+2a2λ2,

u?=-24a2φ5-6a1φ4-40a2λφ3-8a1λφ2-16a2λ2φ+24b2λ3φ-5+6b1λ3φ-4+40b2λ2φ-3+8a1λ2φ-2+16b2λφ-1+2b1λ-2a1λ2,

u(4)=120a2φ6+24a1φ5+240a2λφ4+40a1λφ3+136a2λ2φ2+16a1λ2φ+120b2λ4φ-6+24b1λ4φ-5+240b2λ3φ-4+40b1λ3φ-3+136b2λ2φ-2+16b1λ2φ-1+16b2λ+16a2λ3。

將前述各式代入式(14),合并為關于φ的各冪次多項式,并令各冪次系數為0,得到包含14個方程的一組很龐大的代數方程組,這里由于篇幅有限就不一一呈現。這樣的方程組求解過程非常復雜,必須借助Mathematica軟件的幫助,并經過認真仔細的分析篩選,最終求出了一組解:

k(x)=±x+C1,b(t)=Ca(t),l(y)=C2y2+C4y+C5,

將前述解連同式(9)的解一并代入式(15)即得到方程(13)的解:

當λ>0時,

(16)

當λ<0時,

(17)

接下來給出當輔助方程為式(10)時(2+1)維變系數KP方程的其中一組解:

(18)

至此,從前述的求解過程可以看出:在變系數的非線性發(fā)展方程中,維數只簡單增加一維,其計算量卻是增加數倍;由于其計算過程比較復雜,所以在計算的時候需要謹慎分析;與文獻[1]中所求的解作比較,發(fā)現本章中的u1-u3完全包含里面的解。對于(G′/G)-展開法本身,這不僅對常系數非線性方程來講非常有意義,對變系數方程來講意義更加重大。

3 結論

本文用推廣的(G′/G)-展開法再次求解(2+1)維廣義變系數KP方程,并成功得到了形式更廣泛、內涵更豐富的精確解,也更加證實了此推廣的有效性和適用性。從求解過程來看,變系數的非線性發(fā)展方程的求解,計算量很大、很復雜,其中數學軟件Mathematica的作用可謂是功不可沒。

另外,我們還可以對該方程進行Painlevé分析。Painlevé分析法不僅可以驗證方程是否可積而且還與孤子理論中的諸多理論緊密相聯,如孤立子方程的B?cklund變換,Lax對等都可借助Painlevé分析方法得到,因此Painlevé分析法被認為是研究孤立子的得力方法和有效手段,并且在可積方程的基礎上進一步尋找其更多的孤子解也是非線性科學的重要內容之一,在自然科學和數學物理工程應用中具有更實際的意義[4]。