蘭志廣 徐 源 聶細江 郭 猛 王海宇

（天津市勘察設計院集團有限公司，天津 300191）

0 引言

結構面連通率是綜合描述巖體內(nèi)部結構面發(fā)育尺寸及貫通程度的重要指標，在評價巖體的強度及穩(wěn)定性等方面都發(fā)揮著積極作用[1]。因此，國內(nèi)外學者針對連通率的計算方法進行了許多有益探討與研究?？傮w來看，根據(jù)計算結構面連通率所需數(shù)據(jù)來源（實測或者模擬）不同，連通率計算方法可分為兩大類，即基于實測的概率模型估算法和基于蒙特卡洛模擬計算法[2]。如黃建安[3]從結構面組合的幾何關系出發(fā)研究計算了連通率；黃潤秋等[4]通過結構面全跡長調(diào)查估算了連通率；黃國明等[5]在實測結構面平均跡長以及巖橋平均長度的基礎上推導了H-H 連通率估算公式；汪小剛等[6]基于蒙特卡洛模擬考慮結構面與巖橋相互作用的破壞機理并運用動態(tài)規(guī)劃原理計算了連通率；陳劍平等[7]基于蒙特卡洛模擬運用理想截面投影法計算了連通率；李啟源[8]基于H-H 連通率估算公式提出了EHH 法估算了連通率；Zhang 等[9]基于蒙特卡洛模擬運用最短路徑法計算了連通率。

基于實測的概率模型估算法估算連通率時，需要追蹤調(diào)查結構面沿走向方向的延伸情況或者調(diào)查統(tǒng)計特定尺寸窗口范圍內(nèi)所有結構面。由于現(xiàn)場結構面往往隱伏于地表之下，即使出露其規(guī)模尺寸也有限，因此，現(xiàn)場結構面調(diào)查難度較大，耗時耗力。相較而言，基于蒙特卡洛模擬計算法，僅依靠有限露頭面上調(diào)查所得結構面，通過蒙特卡洛模擬生成結構面網(wǎng)絡模型即可計算獲得連通率。因此，考慮到工程實踐的經(jīng)濟性，基于蒙特卡洛模擬計算法計算連通率更有優(yōu)勢。本文具體介紹了三種基于蒙特卡洛模擬計算連通率的方法，并通過舉例對比分析了不同方法結果的差異性，為以后工程實踐提供理論指導。

1 方法介紹

基于蒙特卡洛模擬計算法計算連通率的基本思路是，調(diào)查有限露頭面上結構面數(shù)據(jù)并利用蒙特卡洛模擬生成結構面網(wǎng)絡，然后以模擬所得結構面網(wǎng)絡為數(shù)據(jù)依據(jù)計算連通率。由于結構面網(wǎng)絡模擬可分為二維結構面網(wǎng)絡模擬和三維結構面網(wǎng)絡模擬，相應的，基于蒙特卡洛模擬計算法可分為二維連通率計算方法和三維連通率計算方法。本文主要針對二維連通率計算方法進行比較研究。目前，基于蒙特卡洛模擬計算二維連通率的方法可歸納為三大類，分別是帶寬投影法、動態(tài)規(guī)劃法以及最短路徑法，介紹如下：

1.1 帶寬投影法

帶寬投影法是一種比較傳統(tǒng)的計算連通率的方法，其基本思路是：根據(jù)工程實際在結構面網(wǎng)絡中布置特定方向的測量基線并設定帶寬，然后向該測量基線投影設定帶寬范圍內(nèi)所有的結構面跡線（見圖1），連通率則可通過計算測量基線上投影所得結構面跡長的總和與測量基線長度的比值獲得[10]，計算公式為：

圖1 帶寬投影法簡圖

式中：L為測量基線的長度；D為帶寬；n為結構面跡線的條數(shù)；θ 為結構面跡線與測量基線的夾角。

帶寬投影法的優(yōu)點是計算簡單快捷，但其值的可靠度嚴重依賴于帶寬的取值。文獻[11]研究表明，隨著帶寬增加，采用帶寬投影法計算所得連通率值會相應增加直至100%。因此，合理選擇帶寬是保證帶寬投影法可靠度的重中之重，而目前為止，帶寬的取值尚沒有統(tǒng)一定論，多依賴于在實際調(diào)查基礎上進行經(jīng)驗分析取值[2]。

1.2 動態(tài)規(guī)劃法

動態(tài)規(guī)劃法將連通率由幾何意義拓展到力學意義，其基本思路是：考慮結構面與巖橋相互作用的破壞機理，并運用動態(tài)規(guī)劃原理在結構面網(wǎng)絡中搜索沿特定方向且具有最小抗剪強度的結構面-巖橋組合而成的潛在破壞路徑，這條潛在破壞路徑上結構面跡長總和與潛在破壞路徑長度的比值即為連通率[6]，即：

圖2 結構面與巖橋相互作用破壞機理

動態(tài)規(guī)劃法考慮了巖體破壞時結構面與巖橋之間相互作用的破壞機制，所得連通率值更具有理論價值和實際意義。文獻[11]研究表明，動態(tài)規(guī)劃法所得連通率值與帶寬、模擬剖面尺寸以及正應力有關：在一定范圍內(nèi)，連通率值會隨帶寬增大而增大，當帶寬增大到一定程度后，連通率會趨于穩(wěn)定；模擬剖面尺寸對連通率值的影響規(guī)律同帶寬一致；正應力取值對連通率值有一定影響，且在低應力條件下，這種影響更明顯。

1.3 最短路徑法

最短路徑法與動態(tài)規(guī)劃法思想類似，也是以結構面網(wǎng)絡上搜索沿特定方向的潛在破壞路徑為目的，然后以潛在破壞路徑上結構面跡長總和與潛在破壞路徑長度的比值作為連通率，即：

區(qū)別于動態(tài)規(guī)劃法，最短路徑法搜索潛在破壞路徑時并沒有考慮結構面與巖橋相互作用的破壞機理。但其合理性在于：由于結構面的力學強度較完整巖石小幾個數(shù)量級，在巖體破壞時，往往有沿結構面滑動的趨勢。而巖體破壞路徑經(jīng)過的結構面越多，其抗滑力就越小。假設完整巖石之間兩點的距離為d，相同距離的結構面跡線中的兩點距離為d′，可視d′ ＜＜d。這樣，在限定潛在破壞路徑的入口與出口時，潛在破壞路徑的總長度越小，經(jīng)過的結構面跡長就越大，潛在破壞路徑最短時，則最大可能的經(jīng)過了巖體中的結構面，沿此路徑破壞時所受的抗剪力最小[13]。因此，巖體潛在破壞路徑可視為沿入口與出口之間的最短路徑。

目前，最短路徑法常用到的算法有Dijkstra 算法以及Floyd 算法。本文采用Floyd 算法，算法介紹見文獻[14]。以圖3所示節(jié)點為例，應用Floyd 算法計算節(jié)點a 與節(jié)點d 之間的最短路徑，通過更新矩陣D和矩陣P，可得到a→d 之間的最短路徑為a→c→d，最短距離為3+1=4。

圖3 Floyd 算法計算最短路徑示例

最短路徑法計算思想簡單，但值得注意的是，最短路徑算法針對節(jié)點進行搜索，故在實際搜索時，需將結構面網(wǎng)絡中的結構面跡線進行離散化。文獻[9,13,14]研究表明，結構面跡線離散化程度越高，搜索結果越精確，但計算量也越大；此外，對于指定不同搜索方向，最短路徑法計算所得連通率值也不相同，體現(xiàn)了巖體結構的各向異性。

2 舉例計算

2.1 舉例模型

某一水平巖體表面隨機發(fā)育有大量結構面，統(tǒng)計分析其幾何參數(shù)，采用蒙特卡洛模擬生成一個尺寸為100 m (X軸) × 100 m (Y軸) × 100 m (Z軸)的三維結構面網(wǎng)絡模型，關鍵步驟如下[1,14,15]：

（a）結構面產(chǎn)狀模擬：采用基于施密特下半球等面積投影網(wǎng)的概率統(tǒng)計法對各組結構面產(chǎn)狀頻率進行校正[16]，校正公式見式（4）：

式中：Nα為結構面產(chǎn)狀頻率的校正值；α為結構面的平均傾角；Nα

′為觀測頻率。

（b）結構面尺寸模擬：基于結構面形狀為圓盤的假設，結構面尺寸可由結構面圓盤直徑來表征，且結構面圓盤直徑與跡長存在空間理論關系[16]：

式中：ch為出露半跡長；r為圓盤半徑。

（c）結構面密度模擬：采用張量法[17]來計算用于三維結構面網(wǎng)絡模擬的裂隙密度。具體計算公式見式（6）：

2)為結構面直徑平方的均值。

（d）蒙特卡洛模擬：通過上述步驟確定的結構面幾何參數(shù)（見表1），利用MATLAB 自編代碼采用蒙特卡洛模擬法，即可生成一個尺寸為100 m (X軸) ×100 m (Y軸) × 100 m (Z軸)的三維結構面網(wǎng)絡模型（見圖4）。

表1 結構面主要幾何參數(shù)統(tǒng)計

圖4 三維結構面網(wǎng)絡模型

選擇某剖面與三維結構面網(wǎng)絡模型相截切，即可得到該剖面上的二維結構面網(wǎng)絡[1]。本文以走向為30°，且過三維結構面網(wǎng)絡模型體心的剖面為例，模擬所得結構面網(wǎng)絡見圖5。

圖5 二維結構面網(wǎng)絡模擬圖

2.2 帶寬投影法計算

采用帶寬投影法計算連通率時，本文考慮影響計算結果的因素有投影基線方向和帶寬。在與二維結構面網(wǎng)絡XY軸夾角為10°～180°的方向上每隔10°布置一條測量基線（見圖6），分別計算其帶寬為1～15 m（間隔1 m）時的連通率，計算結果見圖7。

圖6 測量基線布置圖

由圖7可以看出，不同投影基線方向計算所得連通率值是不同的，以投影帶寬1 m 為例，投影基線10°時連通率值最小，為19.97%；投影基線100°時連通率值最大，為46.09%。對比不同投影帶寬時連通率計算結果，雖然不同投影基線方向計算所得連通率值沒有明顯變化規(guī)律，但整體而言，均是在投影基線100°附近連通率值達到最大。此外，投影帶寬對連通率值的影響較為明顯，變化規(guī)律較為明確，隨著投影帶寬的增大，連通率值也相應增加，以投影基線10°為例，隨著投影帶寬由1 m 增大到15 m，連通率值也由19.97%增大到83.34%。而在投影基線100°、投影帶寬15 m 時，連通率值最大，為96.53%。

圖7 帶寬投影法計算結果統(tǒng)計圖

2.3 動態(tài)規(guī)劃法計算

采用動態(tài)規(guī)劃法計算連通率時，本文考慮影響計算結果的因素有剪切方向和帶寬，正應力對連通率值的影響暫不做考慮。假定巖體摩擦系數(shù)為0.95、黏聚力為0.85 MPa，結構面摩擦系數(shù)為0.5、黏聚力為0.15 MPa，在與二維結構面網(wǎng)絡XY軸夾角為10°～180°的方向上每隔10°布置一個剪切方向（見圖6），分別計算其帶寬為1～15 m（間隔1 m）時，正應力為3 MPa 時的連通率，計算結果見圖8。

圖8 動態(tài)規(guī)劃法計算結果統(tǒng)計圖

由圖8可以看出，不同剪切方向計算所得連通率值也是不同的，以帶寬1m 為例，剪切方向10°時連通率值最小，為29.61%；剪切方向100°時連通率值最大，為51.45%。對比不同帶寬時連通率計算結果，不同剪切方向計算所得連通率值除在剪切方向100°附近連通率值達到最大外，也沒有其他明顯變化規(guī)律。此外，帶寬對連通率值的影響較為明顯，變化規(guī)律較為明確，在一定范圍內(nèi)，隨著帶寬的增大，連通率值相應增加，但當帶寬增大到一定值后，連通率值趨于穩(wěn)定，以剪切方向10°為例，在帶寬1～9 m，連通率值由29.61%增大到64.41%，在帶寬9 m 之后，連通率值在65.59%與66.49%之間波動。

2.4 最短路徑法計算

采用最短路徑法計算連通率時，本文考慮影響計算結果的因素有路徑搜索方向和帶寬，結構面跡線離散化程度暫不做考慮。在與二維結構面網(wǎng)絡XY軸夾角為10°～180°的方向上每隔10°布置一個搜索路徑方向（見圖6），分別計算其帶寬為1～15 m（間隔1 m）時，跡線離散為6 個點時的連通率。計算結果見圖9。

由圖9可以看出，不同搜索方向計算所得連通率值也是不同的，以帶寬1 m 為例，搜索方向10°時連通率值最小，為30.27%；搜索方向100°時連通率值最大，為50.77%。對比不同帶寬時連通率計算結果，不同搜索方向計算所得連通率值除在搜索方向100°附近連通率值達到最大外，也沒有其他明顯變化規(guī)律。此外，同動態(tài)規(guī)劃法一樣，帶寬對連通率值的影響較為明顯，變化規(guī)律較為明確，在一定范圍內(nèi)，隨著帶寬的增大，連通率值相應增加，但當帶寬增大到一定值后，連通率值趨于穩(wěn)定，以搜索方向10°為例，在帶寬1～9 m，連通率值由30.27%增大到64.04%，在帶寬9 m 之后，連通率值在65.22%與66.70%波動。

圖9 最短路徑法計算結果統(tǒng)計圖

3 計算結果對比分析

分析對比上述三種計算方法所得連通率結果，可以發(fā)現(xiàn)三種計算方法結果均受限于投影基線（或剪切、或搜索）方向和帶寬的選擇。其中，投影基線（或剪切、或搜索）方向?qū)B通率值的影響規(guī)律尚不明確，但從三種方法計算所得連通率值的結果來看，不同投影基線（或剪切、或搜索）方向計算所得連通率值不同，說明三種方法計算所得連通率值均是呈現(xiàn)各向異性的；在不同帶寬時，三種方法均是在投影基線（或剪切、或搜索）方向100°時連通率值達到最大，說明這三種方法在尋找連通率值最大（即巖體最容易發(fā)生破壞）方向是一致的。

對比帶寬對三種計算方法所得連通率值的結果（見圖10），可以明顯看出，在不同投影基線（或剪切、或搜索）方向時，帶寬投影法計算所得連通率值會隨著帶寬的增大持續(xù)增大，而動態(tài)規(guī)劃法和最短路徑法計算所得連通率值均是在帶寬增大達到一定程度后趨于穩(wěn)定；此外，動態(tài)規(guī)劃法和最短路徑法計算所得連通率值在不同帶寬時均較為一致，而帶寬投影法計算所得連通率值只有在帶寬2～3 m 范圍內(nèi)與其他兩種方法保持一致。

圖10 不同方法計算結果對比圖（以基線/剪切/搜索方向50°、100°、160°為例）

綜上分析，認為在工程實踐中需求一個經(jīng)濟安全的連通率值時，帶寬投影法由于其不能提供一個穩(wěn)定的值，顯然是不合適的；相較而言，動態(tài)規(guī)劃法和最短路徑法能滿足要求。但是比較動態(tài)規(guī)劃法和最短路徑法，動態(tài)規(guī)劃法需要明確巖體和結構面強度參數(shù)及其所受正應力，在初始條件不足時，動態(tài)規(guī)劃法應用也將受限，因此，本文推薦使用最短路徑法。在工程實踐中，建議采用最短路徑法首先粗略計算不同搜索方向連通率值，待確定最大連通率值所在方向后，重點計算該方向不同帶寬時的連通率值，并以趨于穩(wěn)定后的不同帶寬連通率平均值作為連通率建議值。如本文案例在帶寬5 m 之后連通率值于78.38%～81.15%波動，建議取帶寬5～15 m 連通率均值，即79.75%作為連通率建議值。

4 結論

本文通過舉例分析對比帶寬投影法、動態(tài)規(guī)劃法以及最短路徑法計算所得連通率結果，得到如下結論：

（1）就尋找最大連通率值所在方向，帶寬投影法、動態(tài)規(guī)劃法及最短路徑法結果較為一致，且三種方法計算所得連通率值均表現(xiàn)為各向異性。

（2）投影基線（或剪切、或搜索）方向一定，帶寬投影法計算所得連通率值會隨著帶寬的增大持續(xù)增大，而動態(tài)規(guī)劃法和最短路徑法計算所得連通率值均是在帶寬增大達到一定程度后趨于穩(wěn)定；且動態(tài)規(guī)劃法和最短路徑法計算所得連通率值在不同帶寬時均較為一致。

（3）綜合分析考慮，建議在工程實踐中采用最短路徑法，首先粗略計算不同搜索方向連通率值，待確定最大連通率值所在方向后，重點計算該方向不同帶寬時的連通率值，并以趨于穩(wěn)定后的不同帶寬連通率平均值作為連通率建議值。