孫昌盛

在解析幾何試題中常常會(huì)出現(xiàn)與圓有關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題.此類(lèi)問(wèn)題一般會(huì)涉及動(dòng)點(diǎn)或者變量，難度通常較大.解答此類(lèi)問(wèn)題，往往要深入挖掘圖形的幾何特征，靈活運(yùn)用平面幾何的知識(shí)，將動(dòng)點(diǎn)或變量轉(zhuǎn)化為確定的點(diǎn)的坐標(biāo)或數(shù)值.下面詳細(xì)介紹兩個(gè)解答與圓有關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題的“措施”.

一、利用圓系方程

若圓 C1：f1（x，y）=0和圓 C2：f2（x，y）=0相交，那么 f1（x，y）+λf2（x，y）=0表示過(guò)兩個(gè)圓交點(diǎn)的動(dòng)圓.相反，若一個(gè)圓能夠表示為上述形式，那么這個(gè)圓必定過(guò)兩圓的交點(diǎn).若問(wèn)題中涉及兩個(gè)圓的交點(diǎn)，就可根據(jù)兩個(gè)圓的方程建立圓系方程，通過(guò)解方程組求得定點(diǎn)的坐標(biāo).

例1 .已知圓 O 的方程為 x2+y2= 1，它與 x 軸交于 P，Q 兩點(diǎn)，M 是圓 O 上異于 P，Q 的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A（3，0）的直線l2與 x 軸垂直，且與直線 PM，QM 交于 P，Q 兩點(diǎn)，求證：以 PQ 為直徑的圓 C 總過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

證明：令y =0，由 x2+y2= 1可得 x =±1，即P（- 1，0）， Q（1，0）.

又直線 l2過(guò)點(diǎn) A 且與 x 軸垂直，所以直線l2的方程為 x =3，

設(shè) M（s，t），所以直線 PM 的方程為 y = （x +1）. 由?（ì）y（x）? （x +1）， 得 P′（3，） ，同理可得：

Q′（3，），

所以以 P′Q′為直徑的圓 C′的方程為（x -3）x -3+è（?）y - ?（?）è（?）y - ?（?）=0，

又 s2+t2= 1，則（x2+y2- 6x +1）+? y =0，

若圓 C′經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則 y =0，由 x2- 6x+1 =0得 x =3 ±2? ，

所以圓C′總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（3±2? ， 0）.

通分析題目可知，以 P′Q′為直徑的圓 C 是動(dòng)圓，且與圓 O 相交，于是將動(dòng)圓的方程改寫(xiě)為圓系方程，進(jìn)而求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

二、運(yùn)用恒等式的性質(zhì)

一些幾何對(duì)象的測(cè)度或比值在動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程中始終保持不變.要求得定點(diǎn)的坐標(biāo)，我們需挖掘出這些幾何對(duì)象的測(cè)度或比值，建立恒等式，利用恒等式的性質(zhì)來(lái)解題.在解題時(shí)，可先通過(guò)分析與動(dòng)點(diǎn)、變量相關(guān)的因素，引入合適的參數(shù)，建立關(guān)系式，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等式恒成立的問(wèn)題，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算求得問(wèn)題的答案.

例2 .已知圓 M 的方程為 x2+（y -2）2= 1，點(diǎn) P 在直線 l： x -2y =0上，過(guò)點(diǎn) P 作圓 M 的切線 PA，PB，切點(diǎn)為 A，B .證明：經(jīng)過(guò) A，P，M 三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

證明：

由于點(diǎn) P 在直線 l 上運(yùn)動(dòng)，因此引入?yún)?shù)x0，設(shè)出點(diǎn) P 的坐標(biāo) （x0， x0），并用該參數(shù)來(lái)表示經(jīng)過(guò) A、 P、 M 三點(diǎn)的圓，由于定點(diǎn)與點(diǎn) P 的位置無(wú)關(guān)，所以將圓的方程整理為關(guān)于x0的恒等式，根據(jù) x0有無(wú)數(shù)個(gè)取值，建立方程，求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

解答與圓有關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題，需明確定點(diǎn)與哪些變量、動(dòng)態(tài)的因式有關(guān)，然后構(gòu)建圓系方程，合理引入?yún)?shù)，建立與定點(diǎn)相關(guān)的關(guān)系式，求得問(wèn)題的答案.

（作者單位：江蘇省鹽城市大岡中學(xué)）