師斌

周期性是三角函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì).一般地，函數(shù) y = sin（ωx +φ），x ∈ R 及函數(shù) y = cos（ωx +φ），x ∈ R （ A ，ω， φ為常數(shù)，且 A≠0，ω>0）的周期為 T =? ;函數(shù) y =tan（ωx +φ）， x ≠ kπ+? ，k ∈Z （ A，ω，φ為常數(shù)，且 A ≠0，ω>0）的周期為 T =? .有關(guān)三角函數(shù)周期性的問題主要有兩種命題形式：求三角函數(shù)的周期和判斷三角函數(shù)是否為周期函數(shù).這兩類問題最后都會(huì)歸結(jié)為求三角函數(shù)的周期.求三角函數(shù)的周期，通常需先利用三角函數(shù)中的基本公式將三角函數(shù)化簡，然后根據(jù)函數(shù)周期的定義以及三角函數(shù)的周期公式來求解.下面結(jié)合實(shí)例來說明.

例1.已知 n， α為任意實(shí)數(shù)，求三角函數(shù)sin（nx +α）的周期.

解：

解答本題主要運(yùn)用正弦函數(shù)的周期性以及函數(shù)周期的定義：若 f（x）=f（x +a），則 f（x）的周期為 T =a .明確了正弦函數(shù)的最小正周期為2π后，便可利用此性質(zhì)對(duì)目標(biāo)三角函數(shù)式進(jìn)行變形、整理，得到sin（nx +α）= sin[n（x+ ）+α]，求出三角函數(shù)的周期.

例2.函數(shù) f（x）=sinx -4 sin3 cos 的最小正周期為______.

解：f（x）= sinx -2 sin2 sinx = sinxcosx = sin2x，所以函數(shù)的最小正周期 T =π .

在求三角函數(shù)的周期時(shí)，同學(xué)們要首先明確正弦、余弦、正切函數(shù)的周期性，即sin（x +2kπ）= sinx （k ∈Z）; cos（x +2kπ）= cosx（k ∈ Z）; tan（x +kπ）=tanx （k ∈ Z）;再根???? 據(jù)正弦、余弦函數(shù)的周期公式 T =? ，或正切函數(shù)的周期公式 T = 進(jìn)行求解.

例3.求函數(shù) y = sin 3x + sin4x 的周期.

解：設(shè)函數(shù)fx= sin 3x，gx= sin4x，令函數(shù)fx， g（x）周期分別為 T1， T2則 T1= 2π T2= π

故函數(shù) y = sin 3x + sin4x 的周期為2π.

該目標(biāo)函數(shù)式為兩個(gè)正弦函數(shù)的和，需分別運(yùn)用正弦函數(shù)的周期公式求得兩個(gè)正弦函數(shù)的周期，然后取其周期分子的最小公倍數(shù)以及分母的最大公約數(shù)，即可得到目標(biāo)函數(shù)式的周期.

例4.證明：函數(shù) y = sin 不是周期函數(shù).

分析：本題從正面求解較為困難，需從反面入手，運(yùn)用反證法進(jìn)行證明.首先假設(shè)函數(shù)為周期函數(shù)，分別求得當(dāng)x =0和x = T 時(shí)的函數(shù)值，證明所得的結(jié)果與假設(shè)相矛盾，從而證明該函數(shù)不是周期函數(shù).

證明：由y = sin 可知函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞） ， 假設(shè)函數(shù) y = sin 存在周期 T，

則sin = sin 對(duì)于一切 x ≥0恒成立，令 x =0 ，則 sin? =0，所以? =kπk ∈ N①，令 x = T ，則 sin? = sin? = sinkπ=0，

則? =nπn ∈ N②，

將② ÷①得? =? =? ，即? =? ，

由于為無理數(shù)，這與n，x∈ N 相矛盾，

故假設(shè)不成立，所以函數(shù) y = sin 不是周期函數(shù).

有關(guān)三角函數(shù)周期性的問題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中，且三角函數(shù)的周期性是求解三角函數(shù)問題的重要依據(jù).因此，同學(xué)們?cè)谌粘W(xué)習(xí)中，要熟練掌握三角函數(shù)周期性，熟悉有關(guān)三角函數(shù)周期性的題目，靈活運(yùn)用周期的定義以及三角函數(shù)的周期性來解題.

（作者單位：新疆哈密市第十五中學(xué)）