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求解二項式定理問題的幾個“妙招”

2022-04-09 16:48任銀
關(guān)鍵詞:因式二項式賦值

任銀

二項式定理是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考的必考內(nèi)容.二項式定理問題常以填空、選擇題的形式出現(xiàn),難度適中,要求同學(xué)們深刻理解并掌握二項式定理及其性質(zhì).下面,筆者結(jié)合例題,對解答二項式定理問題的三個“妙招”一一介紹.

一、巧用通項分析法

二項式展開式的通項公式 Tr+1 = Cn(r)an -rbr (0≤ r ≤n, r ∈ N)呈現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)三者之間的變化規(guī)律,是二項式定理的核心.若已知二項式展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)三者之一,就可以根據(jù)二項式展開式的通項公式求出其余的量.

例1 .已知 f(x)=(3 +3x2)5,求展開式中系數(shù)最大的項.

解:假設(shè)第r +1項的系數(shù)最大,

則 Tr ≤ Tr+1,Tr+1 ≥Tr +2,

可得?(ì)C(C)? 解得? ≤ r ≤? ,

又因為 r ∈ N,所以 r =4,

故展開式中系數(shù)最大的項是 T4+ 1= C x3(3x2)4=

二項式展開式中項的系數(shù)是離散型變值,因此在系數(shù)均為正的前提下,只需比較相鄰兩項系數(shù)的大小即可.于是根據(jù)二項式展開式的通項公式建立不等式組,通過解不等式組求得r 的值,便可確定系數(shù)最大的項.

二、利用組合知識

我們知道,二項式(a +b)n 是由n 個因式 a +b 相乘得到的,因此可將二項式定理問題看作從 n 個元素 a +b 中選取 m 個a 和n -m 個b 的組合問題來求解.確定組合問題中的元素和選取方式便可得到相應(yīng)的組合數(shù),求得問題的答案.對于求二項式展開式中的某項、項的系數(shù)以及與二項式系數(shù)和有關(guān)的問題,都可以利用組合知識來求解.

例2.求在(a -2b -3c)10的展開式中含有 a3b4c3的項的系數(shù).

解析:

利用組合知識解題時,需從每個因式中選取一項作乘法運算,且對每一項的字母及其前面的系數(shù)、符號需一起選取.

三、賦值

賦值法是指將某些滿足題意的值賦給某個變量,并將其代入題設(shè)中進(jìn)行求解.由于二項式與其展開式是恒等關(guān)系式,它對能夠使變量有意義的任意值都成立,故賦值法是研究二項展開式系數(shù)的和的常用方法.

例3.已知(2x -1)5=a0x5+a1x4+ ???+a4x +a5,求a0+a1+???+ a5的值.

解:

我們需先根據(jù)二項式展開式的通項公式,明確相應(yīng)系數(shù)的特征,再進(jìn)行賦值.解答本題的關(guān)鍵是得到a0+a1+???+ a5=a0-a1+a2-a3+a4-a5,從而令 x =-1,求得系數(shù)的和.

通過對上述三個“妙招”的闡釋,同學(xué)們對二項式定理問題及其解法會有更加深入的了解,相信通過練習(xí),并不斷總結(jié)經(jīng)驗和教訓(xùn),同學(xué)們能熟練掌握求解二項式定理問題的三種方法,并能靈活應(yīng)對各類二項式定理問題.

(作者單位:江蘇省鹽城市大岡中學(xué))

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