劉曉萍

摘要：三位老師執(zhí)教的《小數(shù)四則運算（復習）》一課，雖然導入不同、教學結構不同、計算的樣例不同、課堂生成的處理方式不同，但都呈現(xiàn)了讓學生在聯(lián)系中感受數(shù)學的發(fā)展，在融通算法與算理中參悟數(shù)學的思維，在追溯知識的脈絡中洞見數(shù)學未來的樣態(tài)。這三節(jié)課的教學引發(fā)了關于“數(shù)的運算”教學的進一步思考，即一致性依賴單元內容的整合，結構化基于多維聯(lián)系的視野，真理解源于思想方法的通透。

關鍵詞：小數(shù)四則運算;同課異構;一致性;結構化;真理解

本文系江蘇省蘇州市教育科學“十四五”規(guī)劃課題“核心內容視角下小學數(shù)學育人價值及其實現(xiàn)研究”（編號：2021/LX/02/272/11）的階段性研究成果。在2021年“蘇州市初教課改展示活動（數(shù)學專場）”中，特級教師徐斌開設了《小數(shù)四則運算（復習）》一課，并與兩位青年骨干教師同課異構。從觀察者的角度看三節(jié)課：導入不同、教學結構不同、計算的樣例不同、課堂生成的處理方式不同。換位學習者的視角，三節(jié)課都呈現(xiàn)了讓學生在聯(lián)系中感受數(shù)學的發(fā)展，在融通算法與算理中參悟數(shù)學的思維，在追溯知識的脈絡中洞見數(shù)學未來的樣態(tài)。

其實，運算的學習，始終伴隨著學生的數(shù)學學習，其重要性不言而喻，尤其運算中蘊含著豐富的數(shù)學思想，如序、守恒、對應、算法等，都可以體現(xiàn)數(shù)學的本質。鮑建生，周超.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009：236?？蓪τ谖迥昙壣蠈W期的學生來說，經(jīng)歷了蘇教版小學數(shù)學教材若干知識點的學習，以及單元整理與練習之后，小數(shù)四則運算技能已初步形成。那么，臨近期末再次復習是否還有必要？其育人價值何在？又該如何實現(xiàn)其育人價值呢？帶著這些疑惑，先簡要回顧三節(jié)課的精彩片段，再嘗試剖析其帶給我們的教學啟示。

一、評析三節(jié)課的“不同”與“同”

（一）復習，可不同源，卻要同流

對于運算教學，在期末復習階段，我們應該跳出純粹的運算訓練和技能掌握，關注學生的運算思維發(fā)展和數(shù)學素養(yǎng)形成，從而促進學生對數(shù)學本質的理解。

吳敏老師在教學伊始，帶著學生回看教材目錄，重溫本學期學過的幾個計算單元：小數(shù)加法和減法、小數(shù)乘法和除法，順勢出示部分課題：四則運算—整數(shù)—小數(shù)。

施惠芳老師則以回顧各個年級的運算學習發(fā)端教學，并和學生談話：對這樣的安排，你有什么想法？整數(shù)學了四年，小數(shù)卻只要學一學期，你又有什么想法？學生在師生交流與分享中洞察：教材知識循序漸進，學習過程從簡單到復雜，運算間有聯(lián)系。

徐斌老師以“本學期我們接觸到的最多的知識是什么？”的提問導入課堂。學生回答“小數(shù)”。徐老師追問：“關于小數(shù)，本學期學習了哪些知識？”學生回答“加、減、乘、除，小數(shù)的性質，近似數(shù)，小數(shù)的意義”。

隨著不同的導入，課堂呈現(xiàn)了不同的思維樣態(tài)，然而，教學意圖竟流向一致，學與教共同關注了小數(shù)與整數(shù)的關聯(lián)、算法與運算意義的關聯(lián)、當下的思考與過往學習經(jīng)驗的關聯(lián)。比如，三位老師都拋出了相似的問題：為什么積的小數(shù)位數(shù)是乘數(shù)小數(shù)位數(shù)之和？為什么小數(shù)乘法豎式是末尾對齊？小數(shù)加、減法數(shù)位對齊的目的是什么？而且，為了幫助學生明晰這些問題，都以數(shù)形結合的方式求得直觀化理解。

（二）復習，可不同法，卻要同理

復習，不是把各相關知識點簡單鏈接，更不是基于內容的簡單疊加，而要站在學的角度，依據(jù)知識間的內在規(guī)律和聯(lián)系，對教學內容進行有效拆分、合并與重組，在比較中洞見本質，在梳理中連線織網(wǎng)。

吳敏老師創(chuàng)設了購買各種點心的情境，分別需要用加、減、乘、除運算解決系列問題。學生于其中懂得了小數(shù)四則運算的意義和整數(shù)四則運算是同一回事。隨后，通過計數(shù)器圖示動畫，直觀呈現(xiàn)了小數(shù)加、減法和整數(shù)加、減法都是拿掉或撥上相同數(shù)位上的珠子，都要做到相同計數(shù)單位的數(shù)相加、減。接著，繼續(xù)用直觀的方式，讓學生明白小數(shù)乘法轉化成整數(shù)乘法計算，結果的表達方式雖有不同，但實質還是數(shù)若干個計數(shù)單位。

施惠芳老師用聯(lián)系的觀點，首先梳理加法源于“部分+部分=整體”，減法是加法的逆運算，乘法是多個相同部分連加的簡便計算，除法既是乘法的逆運算，也可看作連減，從而讓學生強烈感受到加法是最基本的運算，派生了其他三種運算;其次比較整數(shù)四則運算筆算與小數(shù)四則運算筆算的異同，從而讓學生發(fā)現(xiàn)不論是哪種形態(tài)的計算，其道理、方法都指向計算單位的累加或遞減與均分。

在徐斌老師的課堂中，學生分四個階段感受、領悟“不管是做加、減法時小數(shù)點對齊，還是做乘、除法時轉化成整數(shù)，都和計數(shù)單位有關系”。第一階段，追溯小數(shù)產生的源頭，即不夠分了，整數(shù)擴張到了分數(shù)、小數(shù)，小數(shù)是十進分數(shù)。第二階段，涂色表示0.1、0.01、0.001后，以簡單口算題組練習（0.1+0.1，0.1+0.01，0.1-0.01，1-0.01，0.1×2， 0.1×0.2，0.1÷2，0.1÷0.2），配合課件展示計算即數(shù)計數(shù)單位，初步溝通三類計算與計數(shù)單位的關聯(lián)。第三階段，在筆算中深入理解，不管加減還是乘除，也不管要求小數(shù)點對齊，還是將乘數(shù)、除數(shù)視作或化作整數(shù)，本質都是計數(shù)。第四步，拓展練習，在規(guī)律探索與實際應用中，靈活算、解釋算。

盡管三位老師選取了不同的素材、不同的教學手段，呈現(xiàn)了學生習得知識形式的不同、具體計算程序的不同，但通過運算意義的聯(lián)系、計算原理的聯(lián)系，通過將四則運算融通為“加”，通過將各種算法融通為處理計數(shù)單位，學生不但生發(fā)了精彩的觀念，而且基于過往的思維經(jīng)驗，不斷抵達未來，洞察未知：分數(shù)如何四則運算。其實，無理數(shù)、虛數(shù)的運算，何嘗不是如此。

二、幾點教學啟示

本次同課異構活動，是新一輪修訂版義務教育數(shù)學課程標準（以下簡稱“修訂版課標”）頒布之前的一次關于小數(shù)四則運算的復習專題研討，是對修訂版課標征求意見稿中提到的“讓學生感悟運算的一致性”觀點從理念走向實踐的一次積極嘗試。

（一）一致性依賴單元內容的整合

修訂版課標對“數(shù)與代數(shù)”領域有這樣的要求：“體會數(shù)的運算本質上的一致性，形成運算能力和初步的推理意識?！辈⒃谖?、六年級的“教學提示”部分進一步指出：“數(shù)的運算教學應注重對整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)四則運算的統(tǒng)籌，進一步感悟運算的一致性，從整體上理解和掌握運算的算理和算法，認識計算方法的共性與差異?！?/p>

修訂版課標中所言的“整體上理解”，即讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學在本質上呈現(xiàn)“一致性”。所以，三位老師設計教學時沒有為教小數(shù)而教小數(shù)，都將小數(shù)的四則運算與整數(shù)的四則運算進行比較;沒有為計算而計算，都將計算置于意義之中;也沒有為程式化的法則而法則，都將法則返回到算理進行解釋。當然，復習課這樣的處理，也考驗學生在整數(shù)、小數(shù)四則運算的新授中，有沒有經(jīng)歷過算理和算法的探索過程，有沒有感悟到數(shù)的運算以及運算之間的關系;還考驗教師過往教學整數(shù)、小數(shù)的意義時，能否體現(xiàn)數(shù)都是用計數(shù)單位數(shù)出來的思想。隨著反思的進一步深入，數(shù)與運算的教學就應該視作一個大單元，通盤考量，每一次認識新數(shù)的教學，每一次運算的教學，都需要從“計數(shù)單位”這個核心概念介入，從而讓復習課在溫故中以一致性統(tǒng)領。

再進一步，小學數(shù)學其他板塊的內容，也需要作出單元整合，找到統(tǒng)領數(shù)學一致性的核心概念。然后基于此，從不同的側面豐富數(shù)學概念的外延，從外延的回溯中辨析數(shù)學概念的內涵，讓學生在內容與方法的一致性中，學習有條理的思維，樹立學好數(shù)學的信心。這樣，學生在復習中才會收獲舉一反三的本領，學習才會向寬度、深度、廣度延伸，才能為后續(xù)學習提供足夠駕馭未知的能力。

（二）結構化基于多維聯(lián)系的視野

修訂版課標中所言的“整體上理解”，還要讓學生學會建構知識的結構。其實，小學數(shù)學“數(shù)的運算”內容自成結構體系，主要涉及運算的意義及四則運算間的關系，加、減、乘、除筆算法則，運算定律和運算性質，運用數(shù)的運算解決實際問題等。為了在復習中實現(xiàn)運算結構的自洽，三位老師摒棄了傳統(tǒng)教學中“做一題，講一題，查缺補漏”的方法，讓學生或在看教材目錄或在回顧以往所學中，將近階段所學與久遠階段所學聯(lián)系起來，讓學生在解釋整數(shù)如何加、減、乘、除中，想到小數(shù)加、減、乘、除是否做的是同一回事。而且，三位老師不約而同地先進行數(shù)的意義復習，在此基礎上展開相應的運算教學，并將數(shù)的運算教學與解決實際問題有機聯(lián)系在一起。

正是聯(lián)系，讓知識點生長出了維度。就運算關系而言，加法是減法和乘法的基礎，加法和減法是互逆的;乘法是加法的簡便算法;乘法又是除法的基礎，乘法和除法是互逆的;除法還是減法的簡算。就運算法則而言，既然加是相同計數(shù)單位的累加，那減就是相同計數(shù)單位累加的反向操作，乘是相同計數(shù)單位的多次累加，除是相同計數(shù)單位多次累加的反向操作。

不同的運算方式各具特點，各有能發(fā)揮其特點的適用范圍，但相互之間存在著十分重要的關聯(lián)。其中，口算是探索筆算和估算方法的前提和基礎，是一種重要的運算方法，筆算過程又是若干個簡單口算的組合與應用;估算結果可以用來檢驗筆算結果的合理性，筆算結果又能反過來強化對估算意義和價值的認可。

當然，小數(shù)四則運算也會在整數(shù)四則運算的基礎上做適度的改變。結構改變主要有三種方式：增加、調整和重建。增加是在既有結構中不改變先前的架構而增加新知識;調整的目的是使結構較為自動化;而重建結構則是為了獲得更深層的理解與頓悟。鮑建生，周超.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009：128。例如，小數(shù)除法，如果被除數(shù)、除數(shù)是小數(shù)位數(shù)不同的數(shù)，則無須將這兩個小數(shù)都化成整數(shù)，只要將除數(shù)化成整數(shù)即可，這可看作結構的增加。又如，0.1×0.1，兩個乘數(shù)的計數(shù)單位都是十分之一，但是乘積的計數(shù)單位是0.01。這樣，當一位小數(shù)乘一位小數(shù)時，就可以把這些小數(shù)視作整數(shù)，最后數(shù)出的就是整數(shù)乘積個001。這也就能解釋為什么筆算小數(shù)乘法的法則是：數(shù)出乘數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點。這可看作結構的重建、結構的改變，是為了讓數(shù)學具有開放性，而開放的結構也讓更多的知識點產生了聯(lián)系。

（三）真理解源于思想方法的通透

學生數(shù)學知識的積累和數(shù)學能力的發(fā)展是一個螺旋上升的過程，所以，數(shù)學教學需要具有延續(xù)性和統(tǒng)一性，需要教師在教學的過程中幫助學生做好有效銜接。史寧中教授所著的《基本概念與運算法則——小學數(shù)學教學中的核心問題》一書中提到：“從自然數(shù)開始，每擴充一次數(shù)的集合都是為了滿足某種運算的需要?！笔穼幹?基本概念與運算法則——小學數(shù)學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013：91。小數(shù)四則運算的復習，三位老師跳出了純粹的運算訓練，帶領學生回到知識的源頭去思考問題，讓運算浸潤到意義中。更重要的是，學生通過復習，領悟：計算都是數(shù)相同的計算單位，其背后都是運算律在支撐;計算不僅是算，還是依據(jù)交換律、結合律、分配律在做推理，是為運算。

學生脫離背景，拋開具體量，只用計數(shù)單位這個工具去思考算，無疑通透了抽象的思想方法;學生用運算律去解釋為什么可以這樣數(shù)，還為算得更靈活打開了通道，無疑通透了推理的思想方法。正是抽象與推理，開啟了學生思考數(shù)學的一般路徑，也為數(shù)學的形式化、數(shù)學證明奠定了堅實的基礎。

總之，站在期末復習的節(jié)點，學生需要多在不同中看見相同，即洞察“一致性”。為此，探討小數(shù)四則運算的復習，并透過三位老師的教學對教學內容進行有效拆分、合并與重組，其實質體現(xiàn)了以學習為中心。徐斌老師說：“這是一次‘知網(wǎng)搜索文獻為0’的同課異構活動，但通過對小數(shù)幾個相關單元的復習，看到了學生基于學科更好生長的教育價值與契機。三節(jié)課的實踐，似乎為我們找到了打破復習課耗時低效、缺乏系統(tǒng)的良方——心中有學生，知識有結構，通聯(lián)見本質，教育應無痕。”