安文龍，吳 璇，江松輝，朱一林

(西南石油大學 土木工程與測繪學院，四川 成都 610500)

0 引 言

超材料(metamaterials，META)為具有不尋常的電磁、光學、聲學、熱學和力學特性的新型人造材料，而這些特性在自然界中是不存在的.超材料這些特性使其在工業(yè)、軍事等領域具有十分廣闊的應用前景，因此，超材料被《Science》雜志評為二十一世紀前十年中的十大科技突破之一.

拉脹超材料(包括拉脹泡沫材料和如圖1所示的拉脹蜂窩材料)是自20世紀90年代起迅速發(fā)展起來的一類具有負泊松比效應的功能和結(jié)構(gòu)一體化的多孔材料[1-4].與常規(guī)材料相反，拉脹超材料在承受單軸拉伸(壓縮)載荷時，在與負載垂直的方向上發(fā)生膨脹(收縮).由于這一特殊的變形形式，相較于傳統(tǒng)的多孔材料，拉脹超材料在抗剪切、抗壓縮、抗沖擊、抗斷裂、能量吸收和減震等多方面具有更優(yōu)越的性能；并且，拉脹超材料還可表現(xiàn)出同向曲率的獨特物理性能[5].這些獨特的力學和物理特性使負泊松比材料在航空航天[6-8]、軍工[9-11]、汽車船舶[11-13]、生物醫(yī)學[14-16]、紡織品[17]、傳感器[18]和智能過濾器[19-20]等領域有廣泛的應用前景，因此吸引了眾多學者對其進行研究，其結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計和基礎力學性能分析已經(jīng)成為了材料和力學界關注的熱點話題.

自Lakes[21]于1987年首次成功制備了一種帶有凹型微結(jié)構(gòu)的泡沫材料以來，國內(nèi)外相關學者相繼研究、設計和制備出了眾多拉脹材料，包括層壓型纖維增強拉脹復合材料[22-23]、單基體的拉脹泡沫材料[24-25]和拉脹蜂窩材料.層壓型纖維增強拉脹復合材料容易出現(xiàn)界面脫黏破損，拉脹泡沫材料的微結(jié)構(gòu)很難控制，力學性能分散性很大，不容易獲得期望的效果.而拉脹蜂窩材料具有規(guī)則的元胞結(jié)構(gòu)，非常便于設計、優(yōu)化和制備，在航空航天和生物醫(yī)學行業(yè)有廣闊的應用前景，可作為制備飛機機翼的發(fā)動機葉片、鼻翼以及人造血管和生物植入件等的潛在材料.需要指出是，目前制造的拉脹結(jié)構(gòu)的基體材料多為高分子或者橡膠等彈性體材料[26-28]，彈性體基體材料力學性能很弱并且容易老化，限制了以其為基體的拉脹超材料的工程應用.而金屬材料力學性能一般都遠高于彈性體材料且性能穩(wěn)定.因此，以金屬材料為基體且具有周期性微結(jié)構(gòu)的拉脹蜂窩材料有更好的工程應用前景.

手性拉脹結(jié)構(gòu)是一種典型的二維拉脹蜂窩結(jié)構(gòu),其元胞結(jié)構(gòu)由中心圓環(huán)和與之相切的手臂組成，根據(jù)切點數(shù)目的不同，手性拉脹材料可分為三節(jié)點、四節(jié)點和六節(jié)點結(jié)構(gòu)[29].由于在變形時其形狀可以平穩(wěn)改變，且具有優(yōu)越的面外力學性能，手性拉脹結(jié)構(gòu)在制備柔性器件和吸能裝置領域具有很大的潛力[30].由手性拉脹結(jié)構(gòu)制備的元器件在服役時不可避免地會經(jīng)歷彈塑性大變形，而目前對手性拉脹材料的研究大都專注于彈性小變形框架，揭示基體材料的塑性變形行為對其拉脹性能影響的研究還未見報道.因此，本研究擬系統(tǒng)考察基體材料塑性模量對典型手性拉脹結(jié)構(gòu)(六節(jié)點手性結(jié)構(gòu)和三節(jié)點反手性結(jié)構(gòu))在彈塑性大變形時拉脹性能的影響，并揭示其變形機理，為拉脹結(jié)構(gòu)基體材料的選取以及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計提供指導.

1 數(shù)值方法

1.1 材料屬性

參照鋼材的性能，本研究所用基體材料的彈性模量E、泊松比ν和初始屈服應力σy分別取為210GPa，0.3和300MPa.為系統(tǒng)地考察材料塑性對結(jié)構(gòu)整體力學性能的影響，塑性模量Ep在0MPa(理想彈塑性)至210GPa(即基體材料等價于純彈性)之間進行了廣度取值.基體材料所用本構(gòu)模型為雙線性彈塑性本構(gòu)模型.

本研究的數(shù)值計算采用ABAQUS商用軟件完成，計算中所用的單元類型為CPE4二維平面應變單元，計算時考慮了幾何非線性的影響.

1.2 幾何尺寸

參照Alderson等[29]的研究，二維手性拉脹結(jié)構(gòu)的幾何尺寸可由圓環(huán)內(nèi)半徑r，手臂長度l以及壁厚t這3個面內(nèi)幾何參數(shù)來表示[6].六節(jié)點手性結(jié)構(gòu)和三節(jié)點反手性結(jié)構(gòu)的元胞結(jié)構(gòu)分別如圖1、圖2所示，二者的相對幾何尺寸分別為r∶l∶t=5∶25∶1.25(t=1.25 mm)及r∶l∶t=4.5∶20∶1(t=1 mm).需要指出的是，結(jié)構(gòu)材料的泊松比只與結(jié)構(gòu)元件的相對尺寸有關.

圖1 六節(jié)點結(jié)構(gòu)元胞結(jié)構(gòu)尺寸

圖2 三節(jié)點反手性結(jié)構(gòu)元胞結(jié)構(gòu)尺寸

假定材料的面外尺寸遠大于面內(nèi)尺寸，故有限元分析時采用了平面應變假設.

1.3 基于周期性邊界條件的均勻化方法

為簡化計算，本研究的分析只針對單一元胞結(jié)構(gòu)，采用基于ABAQUS軟件的有限元均勻化方法來考察手性拉脹材料的等效力學行為.為消除邊界條件的影響，計算時對元胞結(jié)構(gòu)施加了周期性邊界條件[7-8]，即,

(1)

(2)

(3)

式(2)和(3)中，V0和?V0分別為元胞在參考坐標系下的體積和邊界.

元胞的整體變形可由等效Biot應變[31]來度量，即，

(4)

式中1為二階單位張量.

借鑒Saccomandi等[32]的研究，等效泊松比可定義為，

(5)

(6)

2 結(jié)果與討論

通過基于ABAQUS軟件的均勻化方法，研究了兩種手性拉脹材料的面內(nèi)等效泊松比響應.為了獲得不同取向的性能，在數(shù)值計算時，保持加載方向不變，而元胞的取向(以圖1和2中的角度θ表征)以5°為增量從0°旋轉(zhuǎn)到360°.

2.1 六節(jié)點手性拉脹結(jié)構(gòu)

為考察塑性模量對六節(jié)點手性結(jié)構(gòu)整體力學性能的影響，首先研究了θ=0°時該結(jié)構(gòu)在不同塑性模量下的泊松比響應，其結(jié)果如圖3所示.首先分析基體材料為理想彈塑性的情況.由圖可知，當在A點(由等效Biot應變約為0.4%)之前，結(jié)構(gòu)拉脹性能有緩慢減弱的趨勢(泊松比的絕對值緩慢減小)；在A點之后，結(jié)構(gòu)的拉脹性能得到顯著增強(泊松比的絕對值明顯增大)，并且在大約6%的等效Biot應變范圍內(nèi)持續(xù)增強，但隨著變形的增加，拉脹性能增強的趨勢逐漸減弱;當?shù)刃iot應變達到一定程度后，拉脹性能開始減弱(泊松比的絕對值減小).

圖3 不同塑性模量下六節(jié)點拉脹材料的等效泊松比演化曲線(θ=0°)

為考察六節(jié)點手性結(jié)構(gòu)的變形機理，圖4進一步給出了基體材料為理想彈塑性材料時該結(jié)構(gòu)在不同變形程度時(圖3中點B、C、D、E對應的等效Biot應變分別為0.2%、1%、6%、9%)的等效塑性應變云圖.

圖4 基體材料為理想彈塑性材料時六節(jié)點手性結(jié)構(gòu)在不同變形程度時的等效應變云圖(θ=0°)

由圖可知，該結(jié)構(gòu)的拉脹性能主要源自變形時手臂的彎曲和中心圓環(huán)的轉(zhuǎn)動[33-34].進一步對比各點對應的泊松比和等效塑性應變云圖可知，基體材料的塑性變形可促進六節(jié)點手性結(jié)構(gòu)的拉脹性能，隨著塑性區(qū)的擴大和塑性應變的增加，結(jié)構(gòu)拉脹性能持續(xù)增強.當變形繼續(xù)增大時，手臂彎曲變形也在持續(xù)增大，引起了中心圓環(huán)的畸變，減弱了圓環(huán)的轉(zhuǎn)動效應，從而導致結(jié)構(gòu)的拉脹性能減弱.因此，基體材料的塑性變形在一定的變形范圍內(nèi)可促進六節(jié)點手性結(jié)構(gòu)的拉脹效應，這也揭示了圖3中反映的結(jié)構(gòu)的拉脹性能隨基體材料塑性模量的減小而增加的演化規(guī)律.

為觀察塑性模量對六節(jié)點手性結(jié)構(gòu)在整個面內(nèi)的拉脹性能的影響，圖5進一步給出了不同塑性模量、不同變形程度時結(jié)構(gòu)的面內(nèi)等效泊松比—取向角度的極坐標圖.

分析圖5可知，六節(jié)點手性結(jié)構(gòu)的面內(nèi)負泊松比響應為初始各向同性的(即圖像是一個標準的圓)，隨著變形的增加，負泊松比響應轉(zhuǎn)為各向異性，且圖像具有60°的旋轉(zhuǎn)對稱性.進一步比較圖5的3個圖像可知：1)當基體材料為純彈性時，結(jié)構(gòu)的面內(nèi)拉脹效應(負泊松比絕對值)均隨著變形的增加而減弱，趨勢與取向為θ=0°時一致(見圖3)；2)當基體為彈塑性材料時，結(jié)構(gòu)的面內(nèi)拉脹效應(負泊松比絕對值)隨著變形的增加呈現(xiàn)先增強后減弱的特征，趨勢與取向為θ=0°時保持一致(見圖3).因此，基體材料的塑性變形在一定的變形范圍內(nèi)可促進六節(jié)點手性結(jié)構(gòu)在整個面內(nèi)的拉脹效應.要獲得拉脹性能更好的六節(jié)點手性結(jié)構(gòu)，需盡可能使用屈服應力低且塑性模量小的材料.

2.2 三節(jié)點反手性拉脹結(jié)構(gòu)

為考察塑性模量對三節(jié)點反手性結(jié)構(gòu)整體力學性能的影響，研究了θ=0°(角度定義見圖2)時三節(jié)點反手性結(jié)構(gòu)在不同塑性模量下的泊松比響應，其結(jié)果如圖6所示.首先分析基體材料為理想彈塑性的情況.由圖6可知，在A點(等效Biot應變約為1.2%)之前，結(jié)構(gòu)拉脹性能有緩慢減弱的趨勢(泊松比的絕對值緩慢減小)；在A點之后，結(jié)構(gòu)的拉脹性能開始迅速減弱(泊松比的絕對值明顯減小)，并且在大約4%的等效Biot應變范圍內(nèi)持續(xù)減弱，但隨著變形的增加，拉脹性能減弱的趨勢逐漸減緩.當變形達到一定程度后，拉脹性能基本保持不變(泊松比的絕對值近似保持為常值).

圖6 不同塑性模量下三節(jié)點反手性拉脹材料的等效泊松比演化曲線(θ=0°)

為考察三節(jié)點反手性結(jié)構(gòu)的變形機理，圖7給出了基體材料為理想彈塑性材料，該結(jié)構(gòu)在不同變形程度時(圖6中點B、C、D、E對應的等效Biot應變分別為0.5%、2%、4%、9%)的等效塑性應變云圖.為便于觀測，圖7只取了元胞的1/6(圖2中的紅色三角形陰影部分)進行分析.由圖7可知，該結(jié)構(gòu)的拉脹性能同樣也源自變形時手臂的彎曲和中心圓環(huán)的轉(zhuǎn)動，但比較圖4和圖7可知，在相同基體材料同等變形條件下，三節(jié)點反手性結(jié)構(gòu)的手臂彎曲和中心圓環(huán)的轉(zhuǎn)動效應要弱于六節(jié)點手性結(jié)構(gòu)，因此圖6中體現(xiàn)的三節(jié)點反手性結(jié)構(gòu)的拉脹效應要弱于圖3中六節(jié)點反手性結(jié)構(gòu)的拉脹效應.

圖7 基體材料為理想彈塑性材料時三節(jié)點反手性結(jié)構(gòu)在不同變形程度時的等效應變云圖(θ=0°)

進一步對比各點對應的泊松比和等效塑性應變云圖可知，與六節(jié)點手性結(jié)構(gòu)相反，基體材料的塑性變形反而抑制了三節(jié)點反手性結(jié)構(gòu)的拉脹性能，并且隨著塑性區(qū)的擴大和塑性應變的增加，結(jié)構(gòu)拉脹性能持續(xù)減弱.這也揭示了圖6中所反映的結(jié)構(gòu)的拉脹性能隨基體材料塑性模量的減小而減小的演化規(guī)律.

為進一步觀察塑性模量對三節(jié)點反手性結(jié)構(gòu)在整個面內(nèi)的拉脹性能的影響，不同塑性模量、不同變形程度時結(jié)構(gòu)的面內(nèi)等效泊松比—取向角度的極坐標圖如圖8所示.分析圖8可知，三節(jié)點反手性結(jié)構(gòu)的負泊松比響應為初始各向同性，但隨著變形的增加，負泊松比效應轉(zhuǎn)為各向異性，且圖像具有60°的旋轉(zhuǎn)對稱性.

圖8 不同塑性模量時三節(jié)點反手性拉脹結(jié)構(gòu)的面內(nèi)負泊松比響應

進一步比較圖8的3個圖像可知，無論何種基體材料，結(jié)構(gòu)的面內(nèi)拉脹效應(負泊松比絕對值)均隨著變形的增加而減弱，當為彈塑性基體材料時，這種減弱的趨勢要大大快于彈性材料，減弱的趨勢也隨著塑性模量的減小而增加.因此，基體材料的塑性變形會抑制三節(jié)點反手性結(jié)構(gòu)在整個面內(nèi)的拉脹效應.要獲得拉脹性能更好的三節(jié)點手性結(jié)構(gòu)，需盡可能使用彈性性能好和塑性模量更大的材料.

3 結(jié) 論

本研究采用基于ABAQUS軟件的有限元均勻化方法，利用“Homtools”插件，系統(tǒng)考察了六節(jié)點手性拉脹和三節(jié)點反手性拉脹結(jié)構(gòu)在彈塑性大變形下的拉脹性能,得到了如下結(jié)論：

1)兩種拉脹結(jié)構(gòu)的負泊松比響應都是初始各向同性的，但隨著變形的增加，負泊松比響應轉(zhuǎn)為具有旋轉(zhuǎn)對稱性的各向異性，且旋轉(zhuǎn)角為60°

2)基體材料的塑性會促進六節(jié)點手性結(jié)構(gòu)的整個面內(nèi)的拉脹性能，但會抑制三節(jié)點反手性結(jié)構(gòu)的面內(nèi)拉脹性能.