華 博, 毛忠陽, 康家方,*, 劉錫國, 魏靖怡

(1. 海軍航空大學(xué)航空通信教研室, 山東 煙臺 264001; 2. 中國人民解放軍91980部隊(duì), 山東 煙臺 264001; 3. 中國人民解放軍91876部隊(duì), 河北 秦皇島 066206)

0 引 言

由于偽隨機(jī)序列具有良好的相關(guān)特性,因此基于偽隨機(jī)噪聲(pseudo-random noise, PN)序列的同步方法在數(shù)字通信系統(tǒng)中有廣泛的應(yīng)用。常用的同步算法包括最大似然(maximum likelihood, ML)、匹配濾波、延遲鎖相環(huán)、離散傅里葉變換(discrete Fourier transform, DFT)/快速傅里葉變換(fast Fourier transform, FFT)等方法。最大似然法也稱全并行捕獲法,工作原理是將接收信號與個不同相位的本地PN碼同時相關(guān),同時檢測得到個相關(guān)值,選擇相關(guān)值最大的一路作為本地同步PN碼,從而實(shí)現(xiàn)接收信號的解調(diào)解擴(kuò)。這種方法的缺點(diǎn)也很明顯,為同時獲得個相關(guān)值,接收端需要使用個相關(guān)器,增大了接收端設(shè)備的體積,而且同步精度也只能達(dá)到1/2碼片寬度。匹配濾波法是將本地PN碼作為濾波器的抽頭系數(shù),當(dāng)接收信號經(jīng)過濾波時,若接收信號與濾波器的PN碼相位一致,則會產(chǎn)生一個尖峰脈沖,利用門限檢測出尖峰脈沖,即可作為同步指示信號。匹配濾波的優(yōu)點(diǎn)是建立同步時間短,但由于實(shí)際硬件資源的限制,抽頭系數(shù)不能太長。雖然這些方法都能實(shí)現(xiàn)同步,但是忽略了數(shù)字通信系統(tǒng)的采樣過程會惡化PN碼同步精度。

1995年Cheng等在分析全數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)轉(zhuǎn)換跟蹤環(huán)時指出,當(dāng)采樣速率與碼片速率之比(簡稱采樣比)為整數(shù)時,同步精度受限于采樣時間間隔,并首次提出非等量采樣(non-commensurate sampling, NCS)的概念,即采樣比為非整數(shù)。隨后Quirk等指出,雖然NCS后每個碼片包含的采樣點(diǎn)數(shù)不再相同,但是采樣點(diǎn)相對于碼片的位置具有周期性,并在研究NCS技術(shù)對PN碼跟蹤環(huán)路影響的基礎(chǔ)上,給出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差方差的表達(dá)式,但沒有進(jìn)一步說明如何選取最優(yōu)采樣比?？嘛F等針對NCS采樣率的選取策略,給出了定量性能評估指標(biāo)及計算方法,利用評估指標(biāo)完成數(shù)字接收機(jī)的設(shè)計,但未給出PN碼跟蹤環(huán)路的時間鑒別力與采樣頻率之間的解析表達(dá)式,因此,在設(shè)計數(shù)字接收機(jī)時,仍需要花費(fèi)大量時間利用評估指標(biāo)對其相關(guān)參數(shù)進(jìn)行調(diào)試。Xu等定性分析了采樣比與同步精度之間的關(guān)系,并提出了基于單位增量的NCS采樣率選取方法,不過該方法僅對采樣比有寬松的要求,對相關(guān)長度的要求較嚴(yán)格,這增加了系統(tǒng)設(shè)計的難度。Jin等分析了影響數(shù)字接收機(jī)同步精度的主要因素——S曲線零偏置,提出了通過補(bǔ)償零偏置以消除相關(guān)曲線不對稱帶來的時延估計誤差;并提出了通過獲取特殊采樣比實(shí)現(xiàn)零偏置自抵消,從而實(shí)現(xiàn)無補(bǔ)償?shù)男诺罆r延估計。然而,零偏置補(bǔ)償算法不僅會增加計算量,還會引入新的誤差,導(dǎo)致同步精度的下降;同時特定的采樣比并不容易在硬件上實(shí)現(xiàn)。隨后Jin等研究了熱噪聲對弱信號跟蹤性能的影響,將NCS技術(shù)與亞奈奎斯特采樣技術(shù)相結(jié)合,在不降低系統(tǒng)性能的情況下,實(shí)現(xiàn)對時延的高精度估計。

Yang等推導(dǎo)出NCS技術(shù)下的PN碼離散自相關(guān)函數(shù),研究了采樣比、積分周期以及相關(guān)間隔對離散自相關(guān)函數(shù)的影響,分析了不同采樣比與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系,提出了與典型載噪比(carrier to noise ratio, CNR)相適應(yīng)的采樣率,但是整個分析過程中僅考慮了少數(shù)幾個采樣率,結(jié)論不具有普適性。Ma等將S曲線零偏置的最大值和標(biāo)準(zhǔn)偏差作為NCS同步性能評估指標(biāo),利用評估指標(biāo)尋找零偏置最大值和標(biāo)準(zhǔn)差同時達(dá)到最小的采樣比,即為滿足多種約束條件的最優(yōu)采樣比。

現(xiàn)有研究報道主要是對NCS與同步精度關(guān)系的表述,旨在利用各種評價指標(biāo)或約束條件尋找最佳采樣率,而實(shí)際上滿足多種約束條件的采樣率并不多。同時,大多評估準(zhǔn)則僅考慮了在理想情況下的NCS采樣比的同步性能,但實(shí)際中各種因素如信道噪聲、PN碼周期、接收機(jī)前端濾波器帶寬等都會影響PN碼同步精度,從而增加數(shù)字接收機(jī)的設(shè)計難度。因此,關(guān)于如何快速判斷NCS采樣率所具備的同步精度,擺脫各種評估準(zhǔn)則或約束條件的限制,降低數(shù)字接收機(jī)設(shè)計的難度,是一個重要的研究方向。本文通過推導(dǎo)NCS條件下PN序列相關(guān)函數(shù)解析表達(dá)式,探索影響NCS采樣比同步精度的根本因素,提出NCS采樣比選取的簡易方法。同時,引入最大絕對誤差和均方誤差(mean square error, MSE)作為衡量NCS條件下PN碼同步性能的指標(biāo),并分析PN碼周期、接收機(jī)前端濾波器等因素對同步精度的影響。

1 等量采樣技術(shù)同步性能分析

為了從接收信號中提取數(shù)據(jù)或定時信息,必須知道接收信號與本地模板信號之間的相對相位,并通過調(diào)整本地模板信號,使得兩者相位一致,這個過程稱為同步。在數(shù)字通信系統(tǒng)中常以PN序列作為同步頭,利用其良好的相關(guān)特性實(shí)現(xiàn)同步,而在進(jìn)行同步之前必須先對接收信號“數(shù)字化”處理。一般情況下接收機(jī)采用的采樣率都是碼片速率的整數(shù)倍,將這種采樣方式稱之為等量采樣。對于任意初始同步偏差,其采樣點(diǎn)位置與碼片之間的關(guān)系,如圖1所示。

圖1 等量采樣過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of equal sampling process

在圖1中,實(shí)線為模擬信號,為同步偏差。從圖1中可知,當(dāng)0<<,接收信號與本地信號的所有采樣點(diǎn)幅值均不發(fā)生變化,導(dǎo)致相關(guān)函數(shù)始終保持不變。因此,等量采樣技術(shù)會限制數(shù)字接收機(jī)的同步精度。即便采樣間隔非常小,仍然存在無法辨別的同步偏差。在數(shù)學(xué)上,這種同步偏差可以用相關(guān)形狀的“階梯”現(xiàn)象來解釋。為便于分析,且不失一般性,假設(shè)接收信號是未經(jīng)采樣的周期為的PN序列,不考慮載波偏差的影響,可將接收信號表示為

(1)

式中:為PN序列的碼片周期;表示第個幅值為±1的碼片;()為持續(xù)時間為的單位脈沖;()為高斯白噪聲,其功率譜密度為2。

(2)

當(dāng)0<<時,接收端相關(guān)器輸出的歸一化相關(guān)函數(shù)可以表示為

(3)

其中,相關(guān)積分時間=·。結(jié)合式(2)和式(3)可知,接收端相關(guān)器輸出的歸一化相關(guān)函數(shù)是同步偏差的單值線性函數(shù)。因此,值的變化可以準(zhǔn)確反映在相關(guān)函數(shù)()的變化中。但在數(shù)字通信系統(tǒng)中,接收機(jī)將以固定的時鐘對()進(jìn)行采樣,采樣后的信號可以表示為

(4)

其中,=為采樣間隔;為經(jīng)采樣后的同步偏差,即=+?,而?為剩余同步偏差。因此,采樣后的相關(guān)器輸出的相關(guān)函數(shù)為

(5)

其中,矩形脈沖()的歸一化自相關(guān)函數(shù)為

(6)

聯(lián)立式(3)、式(5)、式(6)可得接收端相關(guān)器輸出的歸一化相關(guān)函數(shù)為

(7)

由式(7)可知,數(shù)字接收機(jī)的同步精度與采樣總點(diǎn)數(shù)和同步偏差的采樣點(diǎn)數(shù)有關(guān)。當(dāng)采樣率越高時,采樣點(diǎn)數(shù)、越大,剩余同步偏差?越小,通過相關(guān)函數(shù)對同步偏差的估計越準(zhǔn)確,從而利于提高信號同步精度。假設(shè)在相同的采樣率下,存在同步偏差<,經(jīng)過采樣=+?,=+?,根據(jù)式(7)可得1=2,顯然由于采樣過程的影響,導(dǎo)致不同的同步偏差出現(xiàn)相同的相關(guān)輸出。當(dāng)同步偏差=100時,不同等量采樣比條件下的相關(guān)函數(shù),如圖2所示。

圖2 等量采樣下的相關(guān)函數(shù)Fig.2 Correlation function under equal sampling

從圖2中可知,對于遠(yuǎn)小于采樣間隔的同步偏差,PN序列的相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)階梯狀變化,即不同的同步偏差可能有相同的相關(guān)函數(shù)值,這會嚴(yán)重影響系統(tǒng)完成同步,造成接收機(jī)無法正確解調(diào)解擴(kuò)。雖然通過提高采樣率,可以提高系統(tǒng)同步精度,但當(dāng)需要達(dá)到1%甚至0.1%碼片寬度的同步精度時,采樣率要達(dá)到碼片速率的100倍、1 000倍甚至更高,這會消耗大量的硬件資源。因此,如何以較低的采樣率實(shí)現(xiàn)較高的PN碼同步精度是降低硬件資源消耗的關(guān)鍵,NCS技術(shù)為解決這一問題提供了新的思路。

2 NCS技術(shù)同步性能分析及選取準(zhǔn)則

當(dāng)采樣率與碼片速率的比值不是整數(shù)時,PN碼同步精度將不再受采樣間隔的限制,這種采樣方式被稱為NCS。經(jīng)NCS技術(shù)處理的信號,其單個碼片內(nèi)的采樣點(diǎn)位置分布不再固定,為量化這種情況,假設(shè)每個碼元符號內(nèi)的單個采樣點(diǎn)距符號邊沿的距離(稱為采樣點(diǎn)相位偏移量)為,如圖3所示。

圖3 NCS示意圖Fig.3 Schematic diagram of NCS

(,0)=-(-((,0)-1))=(,0)-

(8)

其中,(,0)表示第個碼片第1個采樣點(diǎn)的位置索引。從式(8)可知,任意(,0)都滿足不等式0≤(,0)<,而采樣點(diǎn)位置索引滿足關(guān)系式:

(9)

若將式(9)中采樣比表示成最簡分式,即=,且與為互質(zhì)整數(shù),則當(dāng)=時,聯(lián)立式(8)、式(9)可得

(10)

由式(10)可知,偏移量具有周期性,其循環(huán)周期為,這意味著在個碼片后(,0)將重復(fù)出現(xiàn)。將第個碼片中采樣點(diǎn)分布表示為

(,)=(-(,0))+(,0)

(11)

因此,在NCS條件下,接收信號為

(12)

由式(3)可知,對于采樣后PN序列的自相關(guān)函數(shù)本質(zhì)是采樣點(diǎn)幅值的乘加運(yùn)算。因此,對于采樣后的矩形脈沖信號,可以認(rèn)為其自相關(guān)值就是采樣點(diǎn)總數(shù)減去極性互異的采樣點(diǎn)數(shù)。若時延′=+?′,其中∈。當(dāng)>0時,矩形脈沖的自相關(guān)函數(shù)為

(13)

(14)

由式(13)可知,經(jīng)NCS后的矩形脈沖,其自相關(guān)函數(shù)與偏移量有關(guān)。因此,對于接收信號而言,NCS條件下的同步偏差可以表示為=++Δ,其中0≤Δ<,為使整數(shù)≥1的最大偏移量。在不考慮循環(huán)周期內(nèi)首個碼片的偏移量時,循環(huán)周期內(nèi)其余偏移量呈單調(diào)遞減分布。因此,當(dāng)0<≤時,結(jié)合式(3)、式(13)可得,NCS時PN序列的相關(guān)函數(shù)可以表示為

(15)

(16)

除了偏移量會對相關(guān)函數(shù)產(chǎn)生影響,PN序列周期、偏移量循環(huán)周期也會對相關(guān)函數(shù)產(chǎn)生影響。由式(15)中可知,當(dāng)PN序列周期遠(yuǎn)小于偏移量循環(huán)周期時,意味著經(jīng)采樣后的序列中不存在偏移量循環(huán)周期。因此,其相關(guān)函數(shù)可以表示為

(17)

通過對比發(fā)現(xiàn),經(jīng)歸一化后的′()與式(7)相同,這表明當(dāng)PN序列周期遠(yuǎn)小于循環(huán)周期時,NCS技術(shù)將不具備高精度同步能力。

當(dāng)采樣比固定時,偏移量代表了該采樣比所能達(dá)到的最高同步精度,但由于的隨機(jī)性,無法通過理論計算來獲得該采樣比的同步精度,只能通過實(shí)驗(yàn)的方法檢測其同步精度,而這一過程往往需要消耗大量的時間。但從式(10)、式(15)中可知,偏移量的大小與偏移量循環(huán)周期有關(guān),結(jié)合圖3可知,NCS技術(shù)的實(shí)質(zhì)是利用循環(huán)周期將原整數(shù)倍采樣間隔進(jìn)一步細(xì)分成等份,使同步精度再提高倍,即

(18)

(19)

(20)

圖4 定量評估指標(biāo)Fig.4 Quantitative evaluation indicators

綜上所述,隨著采樣比的增加,PN碼同步誤差逐漸降低,但是當(dāng)采樣比恰好等于碼片速率的整數(shù)倍時,接收機(jī)同步誤差會陡然增大。從局部變化看,同步誤差的起伏變化毫無規(guī)律,這種變化是由NCS采樣比的精度因子決定的。

3 NCS同步性能仿真分析

為進(jìn)一步分析NCS采樣比的同步精度,驗(yàn)證理論分析的正確性,結(jié)合數(shù)值分析,對NCS技術(shù)的同步性能進(jìn)行仿真分析。仿真條件及參數(shù)設(shè)置如下:

調(diào)制方式:BPSK調(diào)制;

同步方式:匹配濾波同步;

碼片周期:=1;

同步偏差:=100;

偽隨機(jī)序列:1 023位序列。

3.1 NCS同步精度

合適的NCS采樣比對系統(tǒng)同步性能有著重要的影響,根據(jù)第2節(jié)分析,NCS采樣比可分為兩種情況:① 精度因子小于預(yù)設(shè)時延;② 精度因子大于預(yù)設(shè)時延。因此,分別取不同類型的采樣比:4、4.23、4.5、5.5,對其相關(guān)函數(shù)進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同采樣比下的相關(guān)函數(shù)Fig.5 Correlation function under different sampling ratios

從圖5中可知,采樣比之間的差值并不大,但是相關(guān)函數(shù)存在明顯的區(qū)別。當(dāng)采樣比=4時,相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)明顯的“階梯”狀;當(dāng)采樣比=423時,相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)理想三角形;而采樣比=425的相關(guān)函數(shù)再次呈現(xiàn)“階梯”狀；當(dāng)采樣比繼續(xù)增加到5.5時相關(guān)函數(shù)的“階梯”狀愈加明顯,說明單純增加NCS采樣率并不一定能提高同步精度,而盲目地選取NCS采樣率會增加系統(tǒng)的設(shè)計難度。根據(jù)式(18)可得,采樣比4.23、4.25、5.5的精度因子分別為0.002 5、0.062 5、0.1,通過對比發(fā)現(xiàn),只有采樣比4.23的精度因子小于1/100的同步偏差,結(jié)合圖5的相關(guān)函數(shù)可知,只有當(dāng)精度因子小于預(yù)定的同步偏差,NCS采樣比才能達(dá)到預(yù)期同步精度。因此,精度因子可以作為選取NCS采樣比的重要依據(jù)。

對于通信系統(tǒng)而言,信道噪聲是必須考慮的因素。一般情況下,信道噪聲被認(rèn)為是服從零均值的正態(tài)分布,在沒有信道噪聲影響下,PN碼的同步精度完全取決于循環(huán)周期。信道噪聲會改變PN碼的相關(guān)函數(shù),從而對同步過程產(chǎn)生一定影響。因此,在同步偏差分別為100和/1 000的情況下,對不同類型采樣比的同步精度進(jìn)行仿真,為便于觀察,僅標(biāo)注具有分辨力的采樣比,仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同采樣比下的同步精度Fig.6 Probability of synchronous acquisition under different sampling ratios

從仿真結(jié)果可知,當(dāng)同步偏差為/100,采樣比分別為4.01、4.093、4.714 3、5.01、5.093、5.714 3時,同步精度隨著信噪比的增加而增加;當(dāng)同步偏差為/1 000,除采樣比4.01和5.01的同步精度降低到0.1,其他采樣比的同步精度均未發(fā)生變化。這是因?yàn)椴蓸颖?.01和5.01的精度因子分別為0.002 5、0.002,兩者的精度因子均小于1%,而大于0.1%,因此,這兩種采樣比能分辨/100同步偏差,但不能分辨/1 000同步偏差。仿真結(jié)果進(jìn)一步說明,NCS采樣比的同步偏差分辨能力與精度因子有直接關(guān)系,精度因子可以作為NCS采樣比選取的可靠依據(jù)。

3.2 PN碼周期及接收機(jī)前端濾波器對同步精度的影響

根據(jù)NCS條件下的PN序列相關(guān)函數(shù)表達(dá)式可知,當(dāng)PN序列周期小于碼相位偏移量循環(huán)周期時,PN序列的相關(guān)函數(shù)會發(fā)生變化,當(dāng)PN序列周期過小時,將會影響NCS采樣下的PN序列同步精度。因此,對周期為15、63、255、1 023的序列的最大絕對誤差進(jìn)行仿真,仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同碼長下的最大絕對誤差Fig.7 Maximum absolute error under different code lengths

從仿真結(jié)果可知,在整體變化上,不同碼長下的最大絕對誤差的變化趨勢相同;在相同NCS采樣比的條件下,最大絕對誤差隨著序列長度的增加而降低,當(dāng)采樣比為4.23,長度為15、63、255、1 023的序列對應(yīng)的最大絕對誤差分別為0.041、0.034、0.009 1、0.007 1,通過比較可知,只有在碼長為255和1 023時,同步最大絕對誤差值才小于1%。而根據(jù)第2節(jié)的理論分析,采樣比4.23的偏移量循環(huán)周期為100。因此,只有當(dāng)PN碼序列的長度超過循環(huán)周期時,NCS采樣比才實(shí)現(xiàn)高精度同步。

綜上所述,PN碼序列周期影響了偏移量循環(huán)周期,當(dāng)PN序列的周期過短時,偏移量循環(huán)周期將不存在,從而降低NCS技術(shù)對微小同步偏差的分辨能力。因此,采用周期較長的PN碼序列有助于降低同步誤差,提高同步性能。

當(dāng)PN序列具有無限長的周期和理想的自/互相關(guān)特性時,其相關(guān)函數(shù)是一個等腰三角形,但實(shí)際信號的發(fā)射與接收都需要進(jìn)行帶限濾波處理,在經(jīng)過接收機(jī)前端濾波器處理后,接收信號變成帶限信號,本地解擴(kuò)信號未經(jīng)過濾波器處理,是一個無限帶寬的信號,對兩個信號做互相關(guān)處理時,其相關(guān)函數(shù)將會發(fā)生改變,從而對同步精度產(chǎn)生影響。因此,對不同帶寬下的PN碼同步最大絕對誤差進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同帶寬下最大絕對誤差Fig.8 Maximum absolute error under different bandwidths

從仿真結(jié)果可知,不同帶寬下的最大絕對誤差存在一定差異,濾波器帶寬=的最大絕對誤差明顯大于=2的最大絕對誤差,但隨著采樣比的增加,這種差距逐漸縮小。這主要是帶限濾波器降低了接收信號功率,改變了PN序列相關(guān)函數(shù),與理想相關(guān)函數(shù)相比,經(jīng)濾波的相關(guān)函數(shù)趨于平滑,而且濾波器帶寬越窄相關(guān)函數(shù)越平滑,從而造成最大絕對誤差值增大。不過,帶限濾波器并沒有改變NCS采樣序列的精度因子,當(dāng)采樣比>7時,不同帶寬下的最大絕對誤差值相差僅0.004,說明當(dāng)采樣比提高到一定程度,PN序列的同步精度將會得到改善,因此可以通過提高NCS采樣比來降低接收機(jī)前端濾波器的影響。

4 結(jié)束語

本文推導(dǎo)出了NCS技術(shù)下的PN序列相關(guān)函數(shù)的解析表達(dá)式,研究發(fā)現(xiàn)不是所有的NCS采樣比都具備高精度同步性能,提出了基于精度因子的NCS采樣比快速選取方法。理論分析和仿真結(jié)果表明：① 碼相位偏移量循環(huán)周期是決定NCS采樣比同步精度的關(guān)鍵因素,循環(huán)周期是NCS采樣比最簡分式中的分母,循環(huán)周期越大,所能實(shí)現(xiàn)的同步精度越高,當(dāng)采樣比是無理數(shù)時,理論上能實(shí)現(xiàn)無限精度,但實(shí)際受PN序列長度的限制,并不能實(shí)現(xiàn)無限精度;② 碼相位偏移量循環(huán)周期并不能直接作為選取NCS采樣比的依據(jù),因?yàn)镹CS技術(shù)的實(shí)質(zhì)是在原整數(shù)倍采樣間隔的基礎(chǔ)上,更進(jìn)一步將采樣間隔細(xì)分成等份,從而使同步精度再提高倍,因此,將這兩個參數(shù)相結(jié)合得到新的參量——精度因子,利用精度因子作為NCS采樣比選取的依據(jù),當(dāng)精度因子小于預(yù)設(shè)的同步偏差時,PN序列的同步精度才能達(dá)到預(yù)期效果;③ 接收機(jī)前端濾波器通過改變PN序列的相關(guān)函數(shù),從而對同步精度產(chǎn)生影響,但可以提高采樣率來抵消前端濾波器的影響。本文提出的精度因子,可以快速判斷不同采樣比的同步精度,省去了繁瑣的評估準(zhǔn)則和約束條件,縮短了通信系統(tǒng)的設(shè)計周期。NCS技術(shù)的應(yīng)用將以較低的硬件資源消耗獲得較高的同步精度,為數(shù)字通信系統(tǒng)的設(shè)計提供理論指導(dǎo)。