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利用向量方法解決平面幾何問題

2022-04-05 13:48彭明清
關(guān)鍵詞:共線評析平行

彭明清

向量既是幾何對象也是代數(shù)對象,因而成為數(shù)形結(jié)合的橋梁,也成為溝通代數(shù)與幾何的有力工具。利用向量解決平面幾何問題,可以從向量的兩種運算——基底運算和坐標(biāo)運算人手,建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題,然后通過向量的運算,研究幾何元素間的關(guān)系。下面從多個角度分析平面幾何中的向量方法。

一、垂直問題

例1 求證:三角形的三條高線交于一點。

證明:如圖l,在△ABC中,AD⊥ BC,BE⊥AC,AD與BE交于點H,連接CH。下面只需證明CH⊥AB即可。

評析:平面幾何中的兩條線段的垂直問題,可轉(zhuǎn)化為平面向量中的兩個向量的數(shù)量積為0來解決。在證明過程中,可利用向量加法的三角形法則(首尾銜接法),將所求向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

二、平行問題

例2 已知直角坐標(biāo)平面上的四個點A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),求證四邊形ABCD是等腰梯形。

評析:線段平行問題可轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的向量共線問題來解決。通過向量的運算,尋求兩個向量的共線(平行)關(guān)系。

評析:利用向量的基底運算,將線段的長度問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題來解決。

評析:利用平面向量基本定理和向量的線性運算是解答本題的關(guān)鍵。

評析:解答與角有關(guān)的向量問題,要有意識地建立向量的數(shù)量積關(guān)系,再將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化成向量的模與向量夾角的余弦關(guān)系,這樣可進(jìn)一步研究角的有關(guān)問題。

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