潘柏松，林琮凱，項(xiàng)涌涌，文 娟，施羅杰

(浙江工業(yè)大學(xué) 特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310014)

0 引言

行星齒輪減速器具有體積小、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)比大、輸出扭矩大、效率高、輸出平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)，在空間機(jī)械臂、紡織機(jī)械、食品分料及灌裝系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用。不同使用場(chǎng)合對(duì)于減速器的使用要求也有所不同，但共同點(diǎn)是減速器需具有較高的傳動(dòng)精度，能夠使運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)、準(zhǔn)確。由于行星齒輪減速器工作過(guò)程中，各個(gè)齒輪的齒面沿齒廓方向上會(huì)出現(xiàn)不同程度的磨損，過(guò)度的齒面磨損會(huì)大幅降低傳動(dòng)精度，從而直接影響裝備的可靠性和使用壽命。因此，研究齒輪的動(dòng)態(tài)磨損情況，開(kāi)展?jié)M足期望傳動(dòng)精度可靠度和齒輪磨損要求的行星齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)，獲得最佳設(shè)計(jì)參數(shù)，對(duì)提升減速器傳動(dòng)精度、降低生產(chǎn)成本具有重要意義。

近年來(lái)，對(duì)于減速器傳動(dòng)精度的研究已取得諸多進(jìn)展。減速器的傳動(dòng)精度通過(guò)傳動(dòng)誤差來(lái)體現(xiàn)，齒輪靜態(tài)傳動(dòng)誤差主要來(lái)源于齒輪自身的加工誤差、軸的偏心以及齒輪內(nèi)孔同軸配合間隙偏心[1-3]。CHAARI等[4]建立了齒輪動(dòng)力學(xué)模型，將偏心誤差和齒形誤差作為激振力研究了誤差對(duì)行星齒輪動(dòng)力學(xué)的影響。VELEX等[5-6]建立了六自由度齒輪動(dòng)力學(xué)模型，分析了齒廓修形對(duì)于齒輪靜態(tài)傳動(dòng)誤差的影響。JIN等[7]通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了齒輪的偏心誤差和擺線輪的等距變形量對(duì)旋轉(zhuǎn)矢量(Rotate Vector, RV)減速器的傳動(dòng)誤差影響最大。上述文獻(xiàn)對(duì)減速器傳動(dòng)精度的研究未考慮磨損等動(dòng)態(tài)不確定性因素，難以準(zhǔn)確反映減速器真實(shí)工況下的傳動(dòng)精度，而動(dòng)態(tài)不確定性因素會(huì)對(duì)減速器的傳動(dòng)精度產(chǎn)生較大影響，本文研究考慮了齒輪動(dòng)態(tài)磨損這一典型動(dòng)態(tài)不確定性因素。國(guó)內(nèi)外學(xué)者已對(duì)減速器的齒輪動(dòng)態(tài)磨損量計(jì)算及磨損量預(yù)測(cè)進(jìn)行了大量研究。RAO等[8]和JANAKIRAMAN等[9]通過(guò)試驗(yàn)確定了不同工況下磨損系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式。KAHRAMAN等[10]通過(guò)有限元接觸分析計(jì)算了斜齒輪的磨損量，并確定了齒廓偏差對(duì)磨損量的影響。潘冬等[11]通過(guò)磨損步長(zhǎng)的準(zhǔn)靜態(tài)模型實(shí)現(xiàn)了對(duì)齒輪磨損的數(shù)值仿真，預(yù)測(cè)了直齒圓柱齒輪在不同工況下的磨損量。上述對(duì)于齒輪動(dòng)態(tài)磨損的研究普遍采用基于Archard磨損模型[12]的數(shù)值計(jì)算方法，該方法通過(guò)設(shè)定較小的時(shí)間步長(zhǎng)來(lái)保證數(shù)值計(jì)算精度，為了建立磨損與齒輪參數(shù)的關(guān)系，需要進(jìn)行大樣本模擬，將耗費(fèi)大量時(shí)間，本文在數(shù)值仿真的基礎(chǔ)上采用高斯過(guò)程對(duì)行星減速器齒輪磨損量實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)?？紤]齒輪動(dòng)態(tài)磨損后的減速器傳動(dòng)精度可靠度將隨時(shí)間變化，針對(duì)這類(lèi)時(shí)變可靠性問(wèn)題[13]，一般采用穿越率方法[14]和極值方法[15]進(jìn)行分析，在這兩類(lèi)方法的基礎(chǔ)上，有學(xué)者提出了PHI2法[16]、PHI2+法[17]、嵌套極值響應(yīng)面法[18]，但使用這些方法求解復(fù)雜模型的動(dòng)態(tài)可靠度時(shí)往往無(wú)法保證求解精度。

為此，本文綜合考慮行星齒輪減速器中各構(gòu)件的制造誤差、安裝誤差和齒距偏差、齒廓偏差及齒厚偏差等短周期誤差，以及運(yùn)行過(guò)程中存在的齒輪動(dòng)態(tài)磨損不確定性因素，對(duì)某二級(jí)2K-H型行星齒輪減速器傳動(dòng)精度時(shí)變可靠性分析和公差優(yōu)化設(shè)計(jì)展開(kāi)研究。綜合考慮各構(gòu)件制造誤差、安裝誤差以及齒距偏差、齒廓偏差和齒厚偏差等短周期誤差，建立行星齒輪減速器傳動(dòng)誤差模型，并基于高斯過(guò)程建立齒輪磨損預(yù)測(cè)模型，以預(yù)測(cè)減速器內(nèi)各齒輪的磨損量。建立考慮齒輪動(dòng)態(tài)磨損的二級(jí)2K-H型行星齒輪減速器傳動(dòng)精度時(shí)變可靠性模型，利用改進(jìn)的基于隨機(jī)過(guò)程離散化的時(shí)變可靠性分析方法對(duì)其進(jìn)行時(shí)變可靠性分析。以加工成本最低為優(yōu)化目標(biāo)、傳動(dòng)精度可靠度和齒輪磨損量為約束條件建立公差優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，利用序列二次規(guī)劃法對(duì)影響加工成本的誤差參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 行星齒輪減速器傳動(dòng)誤差分析

2K-H型行星齒輪減速器傳動(dòng)系統(tǒng)的構(gòu)件主要包括太陽(yáng)輪s、第i個(gè)行星輪ni、內(nèi)齒圈r和行星架c，某二級(jí)2K-H型行星齒輪減速器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。對(duì)于行星齒輪減速器，主要考慮各構(gòu)件的制造偏心誤差、安裝偏心誤差和齒輪的齒距偏差、齒廓偏差及齒厚偏差等對(duì)傳動(dòng)誤差的影響。在工程實(shí)際中，減速器各構(gòu)件的制造誤差和安裝誤差均具有隨機(jī)不確定性，本文將影響傳動(dòng)誤差的上述誤差因素均處理成隨機(jī)變量，通過(guò)計(jì)算各類(lèi)誤差的嚙合線當(dāng)量嚙合誤差，建立傳動(dòng)誤差模型[19]。

(1)

齒輪安裝偏心誤差由齒輪孔軸間隙ρ1、齒輪安裝處軸頸徑向跳動(dòng)ρ2及軸承徑向間隙ρ3組成，考慮以上3種誤差因素，齒輪安裝偏心誤差可以表示為:

(2)

式中：ρi(i=1,2,3)為服從正態(tài)分布的構(gòu)件跳動(dòng)量；γi為各跳動(dòng)量的相位角，是區(qū)間[0,2π]上均勻分布的隨機(jī)變量。

齒距偏差、齒廓偏差、齒厚偏差等短周期誤差因彼此之間有重疊，故將這些誤差的嚙合線當(dāng)量嚙合誤差合計(jì)為f，服從正態(tài)分布。

2K-H型行星齒輪減速器各構(gòu)件制造偏心誤差和安裝偏心誤差的嚙合線當(dāng)量嚙合誤差如表1所示，其中：e為嚙合線當(dāng)量嚙合誤差；β、γ分別為制造偏心誤差和安裝偏心誤差的初相位；ω、α分別為構(gòu)件角速度及齒輪副嚙合角；t為時(shí)間；φi為第i個(gè)行星輪相對(duì)于第1個(gè)行星輪的位置角；w、n分別表示外嚙合和內(nèi)嚙合。行星架制造偏心誤差包含在其他偏心誤差中，不重復(fù)考慮；內(nèi)齒圈固定在箱體上，不存在安裝偏心誤差。

表1 各類(lèi)誤差項(xiàng)及其嚙合線當(dāng)量嚙合誤差

減速器工作時(shí)存在的齒輪磨損可等效為齒距偏差、齒廓偏差、齒厚偏差等短周期誤差的增加量，因此在考慮齒輪磨損后齒輪副外、內(nèi)嚙合線上的當(dāng)量嚙合誤差分別為：

ew=eEsi+ewEni+eAsi+ewAni+ewAci+fs+fni+

Hs(t)+Hni(t);

(3)

en=eEri+enEni+enAni+enAci+fni+fr+

Hni(t)+Hr(t)。

(4)

式中Hs(t)、Hni(t)、Hr(t)分別為t時(shí)刻太陽(yáng)輪、行星輪、內(nèi)齒圈的磨損量。

單級(jí)行星齒輪減速器的傳動(dòng)誤差Δθk(單位：rad)可表示為太陽(yáng)輪和行星架之間的轉(zhuǎn)角誤差，

(5)

式中：Δθk為轉(zhuǎn)角誤差；θ為轉(zhuǎn)角；rb為基圓半徑；i為傳動(dòng)比。

對(duì)于多級(jí)行星齒輪減速器，傳動(dòng)誤差可表示為:

(6)

式中：Δθout為多級(jí)行星齒輪轉(zhuǎn)角誤差；ikj為第k級(jí)到輸出端的傳動(dòng)比。

2 齒輪嚙合磨損量數(shù)值計(jì)算及預(yù)測(cè)

齒輪磨損造成輪齒齒厚減薄，隨著工作時(shí)間增長(zhǎng)，磨損加重，齒厚減薄量增加，傳動(dòng)精度可靠度也隨之降低，因此對(duì)齒輪磨損量進(jìn)行定量分析是減速器傳動(dòng)精度可靠性分析的前提。磨損過(guò)程通常包含磨合階段、穩(wěn)定磨損階段和劇烈磨損階段[20]，在穩(wěn)定磨損階段，磨損率近似為常數(shù)。對(duì)于行星齒輪減速器，由于其精度較高、潤(rùn)滑條件良好，認(rèn)為其處于穩(wěn)定磨損階段。

2.1 齒輪嚙合磨損量計(jì)算模型

齒廓表面的接觸磨損可用Archard磨損模型進(jìn)行計(jì)算[21]，接觸面上某一點(diǎn)的磨損量可表示為:

(7)

式中：h為齒面上某點(diǎn)的磨損深度；k為磨損系數(shù)；s為相對(duì)滑動(dòng)距離；p為嚙合點(diǎn)法向載荷。

2.2 磨損量數(shù)值計(jì)算

基于Hertz接觸理論將齒廓嚙合點(diǎn)處等效為兩圓柱體彈性接觸，簡(jiǎn)化后的齒輪嚙合模型如圖2所示，兩圓柱體長(zhǎng)為Δl，其接觸半寬為:

(8)

式中：W′為單位長(zhǎng)度上的載荷；R′為等效半徑；E′為等效彈性模量。其中:

(9)

(10)

式中：R1、R2分別為嚙合點(diǎn)處主、從動(dòng)輪的曲率半徑；E1、E2分別為主、從動(dòng)輪的彈性模量；v1、v2分別為主、從動(dòng)輪的泊松比。

2.2.1 磨損系數(shù)

磨損系數(shù)k是一個(gè)與材料、表面粗糙度、潤(rùn)滑條件和傳動(dòng)系統(tǒng)負(fù)載都密切相關(guān)的參數(shù)，通過(guò)統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到了磨損系數(shù)k的回歸公式[9]：

(11)

式中L、G、S分別為量綱一載荷、量綱一潤(rùn)滑劑壓力—粘度系數(shù)、量綱一綜合粗糙度。其中：

(12)

G=αE′;

(13)

(14)

(15)

式中Rq1、Rq2分別為相互嚙合的兩齒輪的表面粗糙度。

2.2.2 相對(duì)滑動(dòng)距離

兩齒輪嚙合原理如圖3所示，主、從動(dòng)輪標(biāo)號(hào)用j表示(j=1,2)。圖中，ωj為主、從動(dòng)輪的角速度；K為齒輪副嚙合點(diǎn)；N1和N2為理論嚙合線；B1和B2為實(shí)際嚙合線；raj為主、從動(dòng)輪的齒頂圓半徑；α為標(biāo)準(zhǔn)壓力角；αaj為主、從動(dòng)輪的齒頂圓壓力角；αKj為嚙合點(diǎn)在主、從動(dòng)輪上的壓力角；vKj為主、從動(dòng)輪在嚙合點(diǎn)處的線速度；vsK為嚙合點(diǎn)處的相對(duì)滑動(dòng)速度；mn為齒輪模數(shù)。

主、從動(dòng)輪在嚙合點(diǎn)處線速度為:

(16)

由于主、從動(dòng)輪在嚙合點(diǎn)處沿公法線方向的速度相等，嚙合點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度為:

(17)

相對(duì)滑動(dòng)距離

(18)

式中tin、tout分別為齒面上某點(diǎn)進(jìn)入、退出嚙合的時(shí)刻。

2.2.3 嚙合點(diǎn)法向載荷

為了獲得行星齒輪減速器中相互嚙合輪齒之間的嚙合力，需對(duì)行星齒輪減速器的平移扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值求解。本文采用集中參數(shù)法建模，該動(dòng)力學(xué)模型如圖4所示，圖中：OXY為靜坐標(biāo)系，ψni為第i個(gè)行星輪的位置角；Oxy為隨行星架以其理論角速ωc等速旋轉(zhuǎn)的動(dòng)坐標(biāo)系；Onixniyni為各行星輪原點(diǎn)坐標(biāo)系；令j=s、ni、c、r，xj、yj分別為x、y方向上的平移自由度，uj為扭轉(zhuǎn)自由度，kjx、kjy分別為x、y方向上的軸承支承剛度；ksni、krni、csni、crni分別為太陽(yáng)輪、內(nèi)齒圈與行星輪嚙合時(shí)的嚙合剛度、嚙合阻尼。

太陽(yáng)輪—行星輪、行星輪—內(nèi)齒圈齒輪副嚙合線上的嚙合力分別為:

(19)

(20)

式中：δsni、δrni分別為太陽(yáng)輪—行星輪、太陽(yáng)輪—內(nèi)齒圈齒輪副的相對(duì)嚙合位移；f(·)為齒側(cè)間隙函數(shù)。

采用變步長(zhǎng)四階Runge-Kutta法[22]求解非線性方程組，可求得各齒輪副的嚙合力Fsni、Frni。當(dāng)嚙合點(diǎn)處于雙齒嚙合區(qū)時(shí)，單對(duì)輪齒的法向載荷可以根據(jù)式(21)和式(22)來(lái)確定：

Fsni=Fsni1+Fsni2;

(21)

Frni=Frni1+Frni2。

(22)

對(duì)于式(21)和式(22)中的Fsni1、Fsni2、Frni1、Frni2，其表達(dá)式分別為：

hs(y+pb)-hni(y+pb)];

(23)

hs(y+pb)-hni(y+pb)];

(24)

hr(y+pb)-hni(y+pb)];

(25)

hr(y+pb)-hni(y+pb)]。

(26)

在嚙合力Fsni1、Fsni2、Frni1或Frni2作用下各個(gè)輪齒的接觸半寬為:

(27)

式中:j=s,r；k=1,2。

根據(jù)Hertz接觸理論，其應(yīng)力分布如圖5所示，則各嚙合點(diǎn)的法向載荷為:

(28)

式中x為嚙合中心到嚙合點(diǎn)的距離。

2.2.4 嚙合點(diǎn)處的總磨損量

根據(jù)式(7)可計(jì)算出齒面上任意一點(diǎn)在一個(gè)嚙合周期內(nèi)的磨損量

(29)

由于齒輪磨損，齒面間的接觸壓力也會(huì)隨之改變。當(dāng)齒面上任意一點(diǎn)的磨損量超過(guò)設(shè)定的閾值εq時(shí)，需重構(gòu)齒面，并對(duì)嚙合點(diǎn)法向載荷重新求解；當(dāng)總磨損量超過(guò)最大許用磨損量ε后，結(jié)束計(jì)算。規(guī)定輪齒經(jīng)過(guò)n次嚙合后進(jìn)行一次齒廓重構(gòu)，相鄰兩次齒廓重構(gòu)之間為一個(gè)重構(gòu)周期，q為齒廓重構(gòu)次數(shù)，hq為一個(gè)重構(gòu)周期內(nèi)的累積磨損量，H為總磨損量。其中：

(30)

(31)

2.2.5 磨損量數(shù)值計(jì)算結(jié)果分析

現(xiàn)以某二級(jí)2K-H型行星齒輪減速器為例進(jìn)行齒輪磨損量數(shù)值仿真，其基本參數(shù)和誤差參數(shù)分布分別如表2和表3所示，運(yùn)行工況為輸入端轉(zhuǎn)速n=600 r/min，輸入端扭矩T=50 N·m。

表2 二級(jí)2K-H型行星齒輪減速器基本參數(shù)

表3 隨機(jī)變量Y各參數(shù)分布

根據(jù)表2和表3的參數(shù)和上文數(shù)值求解方法獲得不同工作時(shí)間下齒輪磨損量如圖6所示，橫坐標(biāo)為齒廓上各點(diǎn)到齒輪軸心的距離，即半徑，從圖中可以看出各齒輪節(jié)圓處磨損量最小，齒根和齒頂處磨損較嚴(yán)重，且齒根較齒頂處磨損更嚴(yán)重，符合實(shí)際情況。

考察不同運(yùn)行工況對(duì)齒輪磨損量的影響，以第一級(jí)太陽(yáng)輪工作500 h之后的磨損量為例，輸入端轉(zhuǎn)速分別為300 r/min、600 r/min、900 r/min，輸入端扭矩分別為25 N·m、50 N·m、75 N·m，不同轉(zhuǎn)速和扭矩下的齒輪磨損量分別如圖7和圖8所示。

根據(jù)圖7，當(dāng)輸入端扭矩一定時(shí)，磨損量隨轉(zhuǎn)速增大而增加，說(shuō)明減速器高速工作時(shí)齒輪磨損量更大；根據(jù)圖8，當(dāng)輸入端轉(zhuǎn)速一定時(shí)，磨損量隨扭矩增大而增加，說(shuō)明減速器重載工況下磨損量更大。

2.3 磨損量預(yù)測(cè)模型

齒輪磨損是一個(gè)磨損量累積過(guò)程，求解總磨損量時(shí)包含多次積分與求和過(guò)程；此外，為了保證數(shù)值計(jì)算的精度，齒廓重構(gòu)的間隔需盡可能短，而齒廓重構(gòu)后重新求解嚙合點(diǎn)法向載荷使得求解過(guò)程更加復(fù)雜，若僅使用上文數(shù)值仿真方法計(jì)算磨損量將耗費(fèi)很長(zhǎng)時(shí)間。而高斯過(guò)程(Gaussian Process, GP)是一種十分適用于非線性回歸問(wèn)題的概率方法，可用于從訓(xùn)練集學(xué)習(xí)輸入輸出之間的映射關(guān)系[23]，因此可通過(guò)高斯過(guò)程回歸模型預(yù)測(cè)減速器使用壽命內(nèi)各齒輪的磨損量，根據(jù)既有研究[24]，本文所考慮的齒輪磨損量服從正態(tài)分布。

(32)

將噪聲ε考慮到wsⅠ中，可建立一般的高斯過(guò)程回歸模型

wsⅠ=f(ssⅠ)+ε。

(33)

式中噪聲ε服從高斯分布，其均值為0，方差為σ2，即ε～N(0,σ2)。因ε和f(ssⅠ)相互獨(dú)立，且兩者均服從高斯分布，故wsⅠ也服從高斯分布，則wsⅠ的分布為

(34)

(35)

根據(jù)貝葉斯估計(jì)原理和聯(lián)合高斯分布的條件概率特性，將已知各時(shí)刻的第一級(jí)太陽(yáng)輪磨損量作為訓(xùn)練樣本，則第一級(jí)太陽(yáng)輪磨損量預(yù)測(cè)模型為:

(36)

類(lèi)似地，第一級(jí)行星輪、內(nèi)齒圈和第二級(jí)太陽(yáng)輪、行星輪、內(nèi)齒圈的磨損量預(yù)測(cè)模型分別為:

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

以圖6中各齒輪最大磨損量為高斯過(guò)程訓(xùn)練集建立齒輪磨損預(yù)測(cè)模型，并以95%置信區(qū)間檢驗(yàn)齒輪磨損量預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性，可得各齒輪最大磨損量預(yù)測(cè)值與仿真值的對(duì)比如圖9所示，可見(jiàn)各仿真值均落在95%置信區(qū)間內(nèi)，故可將該模型用于齒輪磨損量的預(yù)測(cè)。

3 考慮齒輪磨損的行星齒輪減速器傳動(dòng)精度時(shí)變可靠性分析

時(shí)變可靠性指的是產(chǎn)品能夠在各條件均隨時(shí)間變化的前提下，在特定時(shí)間內(nèi)能夠完成確定功能的概率[17]。根據(jù)式(3)～式(6)，建立考慮齒輪磨損的二級(jí)2K-H型行星齒輪減速器傳動(dòng)精度時(shí)變可靠性的功能函數(shù)：

(42)

(43)

本文采用改進(jìn)的基于隨機(jī)過(guò)程離散化的時(shí)變可靠性分析方法(iTRPD)[25]計(jì)算傳動(dòng)精度可靠度。將設(shè)計(jì)使用期[0,Tt]分為m個(gè)相等時(shí)段，時(shí)間步長(zhǎng)為Δt=Tt/m，齒輪磨損隨機(jī)過(guò)程X(t)被離散為m個(gè)磨損量隨機(jī)變量Xi(i=1,2,…,m)，則傳動(dòng)精度可靠度表示為：

(44)

通過(guò)線性化Nataf變換[26]將減速器各構(gòu)件的誤差隨機(jī)變量空間(Xi,Y)轉(zhuǎn)換為獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量空間(Ui,V)，可得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的功能函數(shù)g′(Ui,V,ti)，傳動(dòng)精度可靠度改寫(xiě)為：

(45)

將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化后的功能函數(shù)g′(Ui,V,ti)在最大可能點(diǎn)(MMP)處線性展開(kāi)，則式(45)變?yōu)椋?/p>

(46)

式中:βi為g′(Ui,V,ti)的可靠度指標(biāo)；αU,i、αV,i分別為Ui、V的梯度向量。

(47)

Li和Lj的相關(guān)系數(shù)可以用ρi,j來(lái)表示，則有:

(48)

式中αU,i,k為αU,i中的第k個(gè)元素。當(dāng)k≠k′時(shí)，若齒輪磨損隨機(jī)過(guò)程相互獨(dú)立，則ρ(Ui,k,Uj,k′)=0，因此式(48)又可簡(jiǎn)化為:

(49)

式中隨機(jī)變量Ui,k、Uj,k分別由齒輪磨損隨機(jī)變量Xk(ti)和Xk(tj)轉(zhuǎn)化而來(lái)，轉(zhuǎn)化后兩隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)不變。若Xk(t)為高斯隨機(jī)過(guò)程，則

ρ(Ui,k,Uj,k)=ρ(Xk(ti),Xk(tj))=Ck(ti,tj)。

(50)

式中Ck(·)為Xk(t)的自相關(guān)函數(shù)。根據(jù)一階可靠性分析方法，傳動(dòng)精度可靠度為:

Ps(0,Tt)=Φm(β,ρ)。

(51)

式中Φm(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。

以第1章中的二級(jí)2K-H型行星齒輪減速器為對(duì)象，分析傳動(dòng)精度可靠性模型，可得圖10所示的二級(jí)2K-H型行星齒輪減速器傳動(dòng)精度可靠度變化曲線。當(dāng)工作時(shí)間t達(dá)到預(yù)期壽命2 500 h時(shí)，其傳動(dòng)精度可靠度為89.52%，而一般要求傳動(dòng)精度可靠度需達(dá)到95%以上，故其傳動(dòng)精度可靠度偏低，需進(jìn)一步優(yōu)化提高傳動(dòng)精度可靠度。

4 考慮齒輪磨損的行星齒輪減速器公差優(yōu)化設(shè)計(jì)

針對(duì)減速器的傳動(dòng)精度可靠度偏低，需對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，進(jìn)一步提高傳動(dòng)精度可靠度；此外，不同精度等級(jí)要求下，齒輪的各項(xiàng)誤差的公差數(shù)值是不同的，公差值越小意味著齒輪加工成本越高。在滿足齒輪精度等級(jí)要求的前提下，以傳動(dòng)精度可靠度和齒輪磨損量為約束條件，通過(guò)公差優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)各項(xiàng)誤差的公差合理分配以降低加工成本。

4.1 傳動(dòng)精度靈敏度分析

為了減少優(yōu)化設(shè)計(jì)中設(shè)計(jì)變量的數(shù)量，提升優(yōu)化求解效率，需通過(guò)靈敏度分析獲得各項(xiàng)誤差對(duì)減速器傳動(dòng)誤差的貢獻(xiàn)度大小，將貢獻(xiàn)度較大的誤差項(xiàng)作為設(shè)計(jì)變量。本文通過(guò)減速器傳動(dòng)誤差對(duì)各項(xiàng)誤差Δej=(eEsi,ewEni,enEni,eEri,eAsi,ewAni,enAni,ewAci,enAci,fs,fni,fr)求偏導(dǎo)，以獲得各項(xiàng)誤差對(duì)傳動(dòng)精度的靈敏度[27]，即

(52)

靈敏度歸一化后相應(yīng)的靈敏度系數(shù)為:

(53)

則傳動(dòng)精度靈敏度分析結(jié)果如圖11所示，可見(jiàn)傳動(dòng)誤差與eEri、ewEni、enEni、eEsi及fni這幾項(xiàng)誤差項(xiàng)顯著相關(guān)。

4.2 公差優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

(1)根據(jù)靈敏度分析結(jié)果確定設(shè)計(jì)變量。將eEri、ewEni、enEni、eEsi及fni這幾項(xiàng)誤差項(xiàng)公差作為設(shè)計(jì)變量。

(2)建立目標(biāo)函數(shù)。將各構(gòu)件的加工成本總和作為優(yōu)化目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)可以表示為:

(54)

式中：C(Ti)為各構(gòu)件加工成本的總和；Ti=[T1,T2,…,Tn]為各類(lèi)誤差項(xiàng)的公差；a1、a2、a3為齒輪加工成本—公差模型的系數(shù)，a1=3.866，a2=69.92，a3=67.78[28]。

(3)建立約束函數(shù)。以傳動(dòng)精度可靠度和齒輪磨損量為約束條件，要求當(dāng)減速器工作到預(yù)期使用壽命時(shí)，傳動(dòng)精度可靠度不低于期望可靠度Ps0，則傳動(dòng)精度可靠度約束為:

g(X,d)=g(X(t),Y,t)=Ps(0,Tt)-Ps0≥0。

(55)

以磨損率最大的第一級(jí)太陽(yáng)輪的磨損量均值μHsⅠ(t)來(lái)獲得達(dá)到齒輪磨損閾值的時(shí)間t0，則齒輪磨損量約束為:

H(X,d)=H(t0)=μHsⅠ(t0)-HsⅠ0≤0。

(56)

式中HsⅠ0為齒輪磨損量標(biāo)準(zhǔn)值。

根據(jù)上述分析，行星齒輪減速器齒輪公差優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型描述為:

minC(Ti)。

s.t.

g(X,d)=Ps(0,Tt)-Ps0≥0;H(X,d)=μHsⅠ(t0)-HsⅠ0≤0;

δimin≤Ti≤δimax。

(57)

式中δimin、δimax分別為公差Ti的下限和上限。

4.3 公差優(yōu)化設(shè)計(jì)算例

以第1章中的二級(jí)2K-H型行星齒輪減速器為對(duì)象，采用序列二次規(guī)劃法[29]求解優(yōu)化模型。設(shè)計(jì)變量的公差范圍如表4和表5所示，要求減速器在達(dá)到預(yù)期壽命2 500 h時(shí)傳動(dòng)精度可靠度不低于99%；齒輪磨損量標(biāo)準(zhǔn)值取為齒厚的25%即HsⅠ0=0.4 mm。

表4 第Ⅰ級(jí)各類(lèi)誤差項(xiàng)公差取值范圍 μm

表5 第Ⅱ級(jí)各類(lèi)誤差項(xiàng)公差取值范圍 μm

求解公差優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，獲得如表6和表7所示的優(yōu)化結(jié)果。

表6 第Ⅰ級(jí)各類(lèi)誤差項(xiàng)公差優(yōu)化前后結(jié)果 μm

表7 第Ⅱ級(jí)各類(lèi)誤差項(xiàng)公差優(yōu)化前后結(jié)果 μm

經(jīng)優(yōu)化后加工成本從363元降至349.2元，相對(duì)降低了3.8%。根據(jù)表6和表7所示的公差優(yōu)化結(jié)果，獲得如圖12所示的優(yōu)化前后減速器傳動(dòng)精度可靠度隨時(shí)間變化的曲線，可見(jiàn)經(jīng)優(yōu)化后減速器傳動(dòng)精度可靠度下降趨勢(shì)較優(yōu)化前更緩；當(dāng)工作時(shí)間達(dá)到預(yù)期壽命2 500 h時(shí)，傳動(dòng)精度可靠度為99.33%，較優(yōu)化前提高了10.96%；當(dāng)減速器傳動(dòng)精度可靠度降至99%時(shí)，對(duì)應(yīng)的工作時(shí)間為2 579.7 h，其工作壽命相對(duì)預(yù)期工作壽命增加了79.7 h。經(jīng)過(guò)公差優(yōu)化設(shè)計(jì)后，既降低了加工成本，又進(jìn)一步提高了傳動(dòng)精度可靠度，達(dá)到了優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文將行星齒輪減速器中各構(gòu)件的制造誤差、安裝誤差及齒距偏差、齒廓偏差、齒厚偏差等短周期誤差表征為嚙合線當(dāng)量誤差，同時(shí)對(duì)齒輪磨損這一隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值仿真，并利用高斯過(guò)程建立了齒輪磨損預(yù)測(cè)模型以預(yù)測(cè)減速器預(yù)期壽命內(nèi)各齒輪的磨損量，推導(dǎo)了考慮動(dòng)態(tài)磨損量的行星齒輪減速器傳動(dòng)誤差模型和傳動(dòng)精度可靠性模型?？紤]齒輪動(dòng)態(tài)磨損的可靠性模型能夠反映工程實(shí)際中磨損對(duì)傳動(dòng)精度的影響，與實(shí)際情況是相符的。

使用改進(jìn)的基于隨機(jī)過(guò)程離散化時(shí)變可靠性分析方法對(duì)減速器的傳動(dòng)精度可靠度進(jìn)行求解，發(fā)現(xiàn)減速器工作初期可靠度下降速度較為平緩，當(dāng)工作一定時(shí)間后，可靠度出現(xiàn)明顯下降，及至不能達(dá)到允許傳動(dòng)誤差。

建立了以加工成本最低為優(yōu)化目標(biāo)、傳動(dòng)精度可靠度和齒輪磨損量為約束條件的公差優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，并采用序列二次規(guī)劃法進(jìn)行優(yōu)化。算例表明，經(jīng)優(yōu)化后：加工成本從363元降至349.2元，相對(duì)降低了3.8%；在達(dá)到減速器預(yù)期壽命時(shí)，傳動(dòng)精度可靠度從89.52%升至99.33%，提高了10.96%。未來(lái)可從時(shí)變可靠性計(jì)算效率的提升方面開(kāi)展研究。