曾穎琪 唐明

摘要： 基于雙層網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建了一個(gè)具有不同時(shí)間演化尺度的耦合傳播模型—噪聲投票-SIR （Susceptible- Infected-Recovery）傳播耦合模型.該模型可以用微觀馬爾可夫鏈數(shù)值分析方法來描述.大量的蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這一數(shù)值分析方法的準(zhǔn)確性. 研究發(fā)現(xiàn) ， 耦合模型中發(fā)生了相變類型的跨越現(xiàn)象：當(dāng)意見形成過程中的噪聲比較小的時(shí)候 ， 消息傳播規(guī)模和正（+）意見比例隨著傳播速率的變化發(fā)生不連續(xù)相變 ， 與此同時(shí)還出現(xiàn)了磁滯回線和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象 ， 并能觀察到全局意見共識(shí)的形成;當(dāng)噪聲較大時(shí) ， 兩個(gè)動(dòng)力學(xué)過程的序參量隨傳播速率的改變發(fā)生連續(xù)相變.

關(guān)鍵詞：雙層網(wǎng)絡(luò);? 時(shí)間演化尺度;? 耦合傳播;? 相變;? 跨越現(xiàn)象

中圖分類號(hào)： TP393??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.2022.02.006

Coupled propagation dynamics of different time evolution scales on double-layer networks

ZENG Yingqi1 ，? TANG Min1，2

（1. School of Communication and Electronic Engineering， East China Normal University，Shanghai? 200241， China;2. School of Physics and Electronic Science，East China Normal University， Shanghai? 200241， China）

Abstract： Using? double-layer? networks，? we? constructed? a? coupled? propagation? model （Noisy? Voter - Susceptible-Infected-Recovery） with different time evolution scales. This coupled spreading process can be characterized by numerical analysis method of microscopic Markov chain theory. We verified the accuracy of the proposed numerical analysis method using a large number of Monte Carlo simulation experiments. We found a crossover phenomenon of the phase transition type in the coupled model. Specifically， when the noise in the opinion formation process is relatively small， the information propagation scale and the proportion of positive opinions change discontinuously with the information transmission rate. At the same time， the hysteresis loop and bistability phenomenon appear， in which the phenomenon of global consensus can be observed. When the noise is large， the order parameters of these two dynamic processes vary continuously with the transmission rate.

Keywords： double-layer? networks;?? time? evolution? scales;?? coupled? propagation;?? phase transition; crossover phenomenon

0? 引言

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)研究[1-2]是網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的研究重點(diǎn)之一 ， 包括滲流[3-4]、同步[5]、意見形成[6]、疾病和消息傳播[7]等 ， 它揭示了物理、人類社會(huì)和生物演化過程中的新現(xiàn)象 ， 同時(shí)也加深了人們對(duì)許多復(fù)雜系統(tǒng)的具體功能及其演化機(jī)制的了解.最近的研究表明 ， 孤立的動(dòng)力學(xué)過程無法完全描述實(shí)際復(fù)雜系統(tǒng)的各種現(xiàn)象和機(jī)制[8-11]. 事實(shí)上 ， 許多復(fù)雜系統(tǒng)是由多個(gè)相互作用的子系統(tǒng)構(gòu)成的 ， 這些復(fù)雜系統(tǒng)可以用多層網(wǎng)絡(luò)來描述 ， 如多個(gè)社交平臺(tái)相互作用的多層社交網(wǎng)絡(luò)、多種交通途徑協(xié)同耦合的多層交通網(wǎng)絡(luò)等.在多層網(wǎng)絡(luò)上 ， 不同網(wǎng)絡(luò)層的動(dòng)力學(xué)過程的類型通常不同 ， 如不同傳染病相互影響彼此在人群中的傳播過程[12-14]、由不同動(dòng)力學(xué)過程描述的大腦神經(jīng)系統(tǒng)和營養(yǎng)傳輸系統(tǒng)之間的相互作用[15]. Soriano-Pa?os 等[16]在 2019年提出了一個(gè)基于多層網(wǎng)絡(luò)的耦合動(dòng)力學(xué)模型 ， 該模型考慮了人群意見同步過程和消息傳播之間的相互作用.對(duì)多層網(wǎng)絡(luò)上耦合動(dòng)力學(xué)過程的研究是至關(guān)重要的 ， 這將有助于建模、預(yù)測(cè)和控制真實(shí)的復(fù)雜系統(tǒng)[17-19].

以往關(guān)于多層網(wǎng)絡(luò)上耦合動(dòng)力學(xué)的研究 ， 大多假設(shè)了不同網(wǎng)絡(luò)層上動(dòng)力學(xué)過程的時(shí)間演化尺度是一致的 ， 如關(guān)于流行病的危機(jī)意識(shí)和流行病傳播過程的時(shí)間演化尺度是相同的;而對(duì)于不同時(shí)間演化尺度的耦合動(dòng)力學(xué)研究還未得到人們的廣泛關(guān)注.人類社會(huì)中 ， 人群意見共識(shí)的形成過程和消息傳播過程是相互影響的[20]. 由于它們的時(shí)間演化尺度不同 ， 人們一直未能深入了解它們之間相互作用所帶來的影響. 以民主選舉事件為例 ， 當(dāng)民眾進(jìn)行某選舉投票時(shí) ， 一方面 ， 民眾通常會(huì)受到與候選人相關(guān)消息的影響;另一方面 ， 民眾更傾向于所傳播的他們感興趣的消息.更為重要的是 ， 在現(xiàn)代社交媒體上消息傳播的速度是非?？焖俚?， 往往1 d 左右就經(jīng)歷了從產(chǎn)生、爆發(fā)到消亡的整個(gè)過程;然而民眾對(duì)政治意見的改變大多是一個(gè)較慢長的變化過程， 如2016年英國脫歐公投和2016年美國總統(tǒng)選舉等事件.鑒于此 ， 本文基于雙層網(wǎng)絡(luò) ， 構(gòu)建了一個(gè)具有不同時(shí)間演化尺度的相互耦合傳播模型—噪聲投票-SIR（Noisy Voter–Susceptible-Infected-Recovery， NV-SIR）傳播耦合模型;同時(shí)發(fā)展了一套微觀馬爾可夫鏈（Microscopic Markov Chain Approach， MMCA）數(shù)值分析方法來描述此模型;在大規(guī)模合成雙層網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行的大量蒙特卡洛（Monte Carlo， MC）模擬實(shí)驗(yàn) ， 驗(yàn)證了此數(shù)值分析方法的準(zhǔn)確性.

1? 模型

為了描述多個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)相互影響的物理機(jī)制 ， 本文考慮了1 個(gè)有著 M =2層的多層網(wǎng)絡(luò) ， 表示節(jié)點(diǎn)間不同的關(guān)系[21-22]. 如圖 1（a）所示 ， 在 A 層考慮意見形成的動(dòng)力學(xué)過程 ， 它是由噪聲投票（NV）模型驅(qū)動(dòng)[23] ， 將其稱之為投票層. 噪聲投票模型在經(jīng)典投票模型[24]的基礎(chǔ)上引入噪聲概念. 在 B 層 ， 研究了在線上社交系統(tǒng)中的消息傳播動(dòng)力學(xué)過程 ， 這一過程遵循經(jīng)典的 SIR 傳播模型[25] ， 將其稱之為信息層.

如圖 1（a）所示 ， 在 A 層網(wǎng)絡(luò)中 ， 每個(gè)節(jié)點(diǎn)可能處于2種狀態(tài)中的一種：正（+）意見狀態(tài)或負(fù)（?）意見狀態(tài). 這兩種狀態(tài)之間可以相互轉(zhuǎn)化 ， 轉(zhuǎn)化的動(dòng)力一方面來自鄰居的影響 ， 另一方面來自噪聲激發(fā)的翻轉(zhuǎn). 本文用 v 表示這兩種狀態(tài)自發(fā)地相互轉(zhuǎn)換的速率 ， 亦可稱之為噪聲參數(shù);用 h 表示節(jié)點(diǎn)受到鄰居影響的程度， 亦可稱之為相互作用參數(shù)或耦合強(qiáng)度.例如， “+”意見狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)以v 的速率轉(zhuǎn)化為意見相反的“–”意見狀態(tài) ， 并且還會(huì)以鄰居中相反意見的比例乘相互作用參數(shù)（h）的速率翻轉(zhuǎn). 在 B 層網(wǎng)絡(luò)中 ， 每個(gè)節(jié)點(diǎn)可能是3 種狀態(tài)中的某一種 ： S （Susceptible）狀態(tài)、I （Infected）狀態(tài)和 R （Recovery）狀態(tài). 將 S狀態(tài)節(jié)點(diǎn)定義為不知道消息的節(jié)點(diǎn);定義 I狀態(tài)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)活躍用戶（傳播者）， 這些用戶將消息擴(kuò)散到其他人群;定義 R狀態(tài)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是對(duì)傳播消息失去興趣的用戶. 本文用 b 表示 S 狀態(tài)節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為 I狀態(tài)的速率 ， 亦可稱之為傳播速率;用μ表示 I狀態(tài)節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為 R 狀態(tài)的速率 ， 亦可稱之為恢復(fù)速率.

用鄰接矩陣 A =（aij）和B =（bij）分別表示支持 NV 過程和 SIR 過程的網(wǎng)絡(luò). 如果在 A 層或 B 層中節(jié)點(diǎn)i 和j 之間存在連邊 ， 則aij = 1或bij = 1 ， 否則aij = 0或bij = 0. 動(dòng)力學(xué)狀態(tài)量 Pi+（t）表示節(jié)點(diǎn) i 的 A 層代理意見為“+ ”的概率 ， 它是隨時(shí)間變化的 ， Pi+（t）∈ [0， 1]. 由于“+”意見狀態(tài)和“–”意見狀態(tài)是對(duì)立的 ， B 層對(duì) A 層的影響函數(shù)在兩種翻轉(zhuǎn)概率中有細(xì)微差別： h ? hξ （t）或h ? hξ i （t） ， 其中 ， 符號(hào)?表示 A 層的參數(shù) h 受到 B 層的影響 ， ξ（t）是節(jié)點(diǎn) i 在 A 層處于“ –” 意見時(shí) B 層對(duì) A 層的影響函數(shù). A 層中節(jié)點(diǎn)i 的狀態(tài)由“–”意見→“+”意見的概率和由“+”意見→“–”意見的概率分別為

（1）

其中 ， kA，i表示節(jié)點(diǎn)i 在 A 層的度值大小 ， ξ i （t）是節(jié)點(diǎn)i 在 A 層處于“+ ”意見時(shí) B 層對(duì) A 層的影響函數(shù). 使用動(dòng)力學(xué)狀態(tài)量 Si（t）、Ii（t）、Ri（t）分別表示節(jié)點(diǎn) i 的 B 層代理為 S 狀態(tài)的概率、 I 狀態(tài)的概率、 R 狀態(tài)的概率 ， 它們是隨時(shí)間變化的 ， Si（t）， Ii（t）， Ri（t）∈[0， 1].對(duì)于節(jié)點(diǎn)i 來說 ， 其是否變?yōu)榛钴S用戶不僅僅取決于參數(shù)β 的大小 ， 還受到該節(jié)點(diǎn)在投票層意見的影響β ?βψi （t） ， 其中 ， 符號(hào)?表示 B 層的控制參數(shù)β受到 A 層的影響 ， ψi （t）是 A層節(jié)點(diǎn)i 對(duì) B層節(jié)點(diǎn)i 的影響函數(shù). 首先， 在網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)地選擇一些節(jié)點(diǎn)作為傳播種子的節(jié)點(diǎn) ， 其他的節(jié)點(diǎn)都是 S 狀態(tài). 每個(gè)時(shí)間步 S狀態(tài)節(jié)點(diǎn)以βψi （t）的速率被它的 I狀態(tài)鄰居勸服 ， 與此同時(shí)每一個(gè) I狀態(tài)節(jié)點(diǎn)會(huì)以μ的速率恢復(fù)成 R 狀態(tài).

如圖 1（b）、圖 1（c）所示 ， 本文引入了一種描述時(shí)間尺度不同的動(dòng)力學(xué)過程之間相互作用的耦合方法：假設(shè) B 層網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)過程演化速度比 A 層快 ， 即投票層的更新速度遠(yuǎn)小于信息層 ， 每當(dāng) A 層網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)更新一次 ， B 層網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)就演化到穩(wěn)定或終結(jié)的狀態(tài). 因此對(duì)于 A 層的投票過程 ， 只會(huì)受 B 層上消息擴(kuò)散的最終局面的影響.

接下來考慮不同層的動(dòng)力學(xué)過程之間相互作用的影響. 如圖 1（d）所示 ， iA 表示 A 層節(jié)點(diǎn) i， iB 表示 B 層節(jié)點(diǎn) i， 函數(shù)ψi （t）表示 A層節(jié)點(diǎn)i 對(duì) B層節(jié)點(diǎn)i 的影響. 考慮到 A 層節(jié)點(diǎn)意見的對(duì)稱性 ， 不妨設(shè)定消息的擴(kuò)散依賴于 A 層的“+ ”意見 ， 并且“+”意見共識(shí)的形成依賴于消息擴(kuò)散.詳細(xì)的層間影響函數(shù)的值如表 1所示.

由表1可知 ， 如果 iA 的狀態(tài)是 “– ”意見 ， 那么根據(jù)衰減因子 0? ?? 1降低消息擴(kuò)散的能力 ， ψi （t）= 1? ?; 反之則加強(qiáng)其能力 ， ψi （t）= 1+ ?. 類似的 ， 函數(shù)ξ （t）和ξ i （t）表示iB 的狀態(tài)對(duì)iA 的影響：如果節(jié)點(diǎn) i 在 A 層、B 層的聯(lián)合狀態(tài)為[+S] ， 則由 “+”意見→“– ”意見翻轉(zhuǎn)的趨勢(shì)被增強(qiáng)為ξ i （t）= 1+?;如果聯(lián)合狀態(tài)是[?S] ， 則由“–”意見→“+”意見翻轉(zhuǎn)的趨勢(shì)被削弱為ξ （t）= 1? ?.

2? 方法

2.1? 微觀馬爾可夫鏈數(shù)值分析方法[26-27]

根據(jù)第1 章介紹的模型 ， 分別在投票層層面和信息層層面建立2 個(gè)微觀狀態(tài)馬爾可夫鏈 ， 其中 ， 投票層是主鏈 ， 信息層是子鏈. 圖 2所示為 NV-SIR 耦合動(dòng)力學(xué)聯(lián)合狀態(tài)在雙層網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)時(shí)間步的轉(zhuǎn)移概率樹. 下面分別討論主鏈和子鏈的演化方程的構(gòu)建過程.

2.1.1? 微觀馬爾可夫鏈的子鏈方程

在信息層方面 ， 節(jié)點(diǎn)i 在 t 時(shí)刻可能處于子鏈中6 種聯(lián)合狀態(tài)中的某一種：持“+”意見并且不知道消息[+S];持“–”意見并且不知道消息[?S];持“+”意見并且活躍地傳播消息[+I];持“–”意見并且活躍地傳播消息[?I];持“+”意見并且傳播過消息[+R];持 “– ”意見并且傳播過消息[?R]. 用 Pi+S （t）、 Pi? S （t）、Pi+I （t）、 Pi? I （t）、Pi+R （t）、Pi? R （t）分別表示節(jié)點(diǎn)i 處于這6 種聯(lián)合狀態(tài)的概率 ， 同時(shí)使用狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率樹來描述子鏈中各個(gè)聯(lián)合狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移路徑 ， 如圖2（a）所示.各個(gè)聯(lián)合狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率方程：在 t 時(shí)刻持“+”意見的節(jié)點(diǎn)i 不被鄰居說服傳播消息的概率q （t）和持“–”意見不被其鄰居說服的概率q i （t）. 方程具體為

（2）

其中 ， Pj（I） = Pj+I + P 利用方程（2）和圖2（a）所示的方案 ， 可以為節(jié)點(diǎn)i 的耦合過程建立微觀馬爾可夫鏈的子鏈方程 ， 具體為

其中 ， τ是消息傳播過程的時(shí)間尺度 ， 通常取τ→ +∞ ， 表示其遠(yuǎn)大于意見形成過程的演化速度.我們把在“+”意見和“–”意見影響下的消息傳播過程演化至終態(tài)后 ， 節(jié)點(diǎn) i 處于 R 狀態(tài)的概率分別記為 Q （t）和Q i （t）.

2.1.2? 微觀馬爾可夫鏈的主鏈方程

在投票層方面 ， 節(jié)點(diǎn)i 在 t 時(shí)刻可能處于主鏈中4 種聯(lián)合狀態(tài)中的某一種：持“+”意見并且不知道消息[+S];持“–”意見并且不知道消息[?S];持“+”意見并且傳播過消息[+R];持“–”意見并且傳播過消息[?R]. 用 Pi+S （t）、 Pi? S （t）、Pi+R （t）和Pi? R （t）分別表示節(jié)點(diǎn)i 處于這4 種聯(lián)合狀態(tài)的概率.各個(gè)聯(lián)合狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率方程：節(jié)點(diǎn) i 的聯(lián)合狀態(tài)[+S]→[?S]在 t 時(shí)刻的轉(zhuǎn)移概率r iS （t）、[+R]→ [?R]的轉(zhuǎn)移概率r iR （t）、[?S]→ [+S]的轉(zhuǎn)移概率r S （t）和[?R]→ [+R]的轉(zhuǎn)移概率r R （t）. 方程具體為

（4）

其中 ， Pj+ = Pj+S + Pj+R ; kA，i 表示節(jié)點(diǎn) i 在 A 層的度值大小. 利用方程（2）? 方程（4）和圖2（b）所示的方案， 我們可以為節(jié)點(diǎn)i 的耦合過程建立微觀馬爾可夫鏈的主鏈方程 ， 具體為

主鏈中的1次數(shù)值迭代相當(dāng)于子鏈演化至終態(tài)（各個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)概率不再發(fā)生變化）.值得注意的是 ， 每一次開啟子鏈迭代時(shí)需要對(duì)信息層的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)進(jìn)行初始化 ， 見圖2（b）中的標(biāo)注.隨機(jī)地選取極少量種子節(jié)點(diǎn)作為初始傳播者 ， 在概率上就表現(xiàn)為 ， 令網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的 P 設(shè)定成極小的數(shù)值.

2.2? 蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)

本文在模型蒙特卡洛模模擬實(shí)驗(yàn)過程中引入了穩(wěn)態(tài)-終態(tài)動(dòng)力學(xué)的多輪次方法[28-29]. 具體實(shí)驗(yàn)步驟如下.

1）首先 ， 初始化投票層節(jié)點(diǎn)的意見狀態(tài)（通常是持“+”意見或“–”意見的節(jié)點(diǎn)數(shù)量各占5 成 ， 或者使某方占優(yōu)勢(shì)）.

2）然后 ， 在信息層上以投票層的意見共識(shí)為背景驅(qū)動(dòng)消息傳播過程.隨機(jī)地選取極少量節(jié)點(diǎn)作為初始傳播者 ， 其他的節(jié)點(diǎn)都是 S 狀態(tài). 每個(gè)時(shí)間步 S狀態(tài)節(jié)點(diǎn)以βψi （t）的速率被它的 I狀態(tài)鄰居勸服 ， I 狀態(tài)節(jié)點(diǎn)會(huì)以μ的速率恢復(fù)成 R 狀態(tài).

3）當(dāng)信息層的傳播過程抵達(dá)終態(tài)之后 ， 網(wǎng)絡(luò)中將不會(huì)再存在 I狀態(tài)節(jié)點(diǎn).我們驅(qū)動(dòng)投票層的意見形成過程 ， 該層每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變化都會(huì)受到信息層的影響. 特別是 ， 投票層的節(jié)點(diǎn)在每個(gè)輪次至多改變一次意見（演化一步）.

4）重復(fù)執(zhí)行步驟2）–步驟3）直至投票層和信息層的系統(tǒng)序參量穩(wěn)定.由于“+”意見和“–”意見的對(duì)稱性 ， 不妨設(shè)定：投票層的序參量為持“+”意見節(jié)點(diǎn)的比例;信息層的序參量為消息的最終傳播規(guī)模， 即 R 狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的占比.

3 ?結(jié)果

為了驗(yàn)證本文提出的 MMCA 數(shù)值分析方法的準(zhǔn)確性 ， 本文考慮了1 個(gè)規(guī)模 N =210的雙層網(wǎng)絡(luò)：投票層和信息層的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)均是無標(biāo)度（Scale-Free， SF）[30]網(wǎng)絡(luò) ， 節(jié)點(diǎn)的度 d 是自然數(shù) k 的概率為P （d = k）∝? ， 通常取γ= 3 ， 平均度?k?= 12 ， 將其稱之為 SF-SF 雙層網(wǎng)絡(luò). 為了不失一般性 ， 本文設(shè)定 ， 投票層的參數(shù)h =1 ， 信息層的消息傳播過程的恢復(fù)速率μ= 1; 然后在這種大規(guī)模合成網(wǎng)絡(luò)上對(duì)比 MMCA 數(shù)值分析和蒙特卡洛（MC）模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果.在 MMCA 數(shù)值分析和 MC 模擬實(shí)驗(yàn)中 ， 設(shè)定雙層網(wǎng)絡(luò)演化的仿真步長均為0.01.

3.1? 不連續(xù)相變向連續(xù)相變類型的轉(zhuǎn)變以及多穩(wěn)態(tài)區(qū)域的出現(xiàn)

本文進(jìn)一步研究了系統(tǒng)序參量作為β的函數(shù)隨β增加的變化趨勢(shì) ， 結(jié)果見圖 3. 圖3（a）、圖3（b）所示的是 ， 初始“+”意見個(gè)體比例為50%系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的“+”意見個(gè)體比例ρ+ =?? Pi+和消息傳播規(guī)模ρR =?? P 的 MMCA 數(shù)值分析穩(wěn)態(tài)值 ， 在不同意見形成過程的v 值條件下隨β改變的趨勢(shì). 現(xiàn)在分別解釋它們的物理意義：ρ+衡量的是在意見形成網(wǎng)絡(luò)層中“+”意見在人群中的占比 ， 是社會(huì)輿論和民意最直觀的體現(xiàn);ρR 表示消息在人群中的最終傳播范圍 ， 該值越大消息的影響力就越廣. 當(dāng)v 值從0.20逐漸增加到0.36時(shí) ， NV-SIR 耦合模型發(fā)生相變類型的轉(zhuǎn)變：當(dāng)v 值比較小的時(shí)候 ， 消息傳播規(guī)模和“+”意見比例隨著傳播速率的變化發(fā)生不連續(xù)相變;當(dāng) v 值較大時(shí) ， 2個(gè)動(dòng)力學(xué)過程的序參量隨傳播速率的改變發(fā)生連續(xù)相變. 例如 ， 圖 3（a）、圖 3（b）中v =0.20時(shí)的線段 ， 消息傳播規(guī)模和“+”意見比例在閾值βc = 0.3的左右兩側(cè)發(fā)生了不連續(xù)的跳變.

圖 3（c）、圖 3（d）也為不連續(xù)相變的發(fā)生提供了另一個(gè)強(qiáng)有力的證據(jù)：磁滯回線和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象.本文固定噪聲為1 個(gè)較小的v =0.02 ， 然后對(duì)比了2 個(gè)序參量的 MMCA 數(shù)值分析結(jié)果（藍(lán)色和紅色線段）和 MC 模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果（黑色圓圈和方塊散點(diǎn)）.通過從β= 0增加（紅色線段和黑色圓圈散點(diǎn)）參數(shù)β ， 或從β= 1減少（藍(lán)色線段和黑色方塊散點(diǎn)）參數(shù) b 來計(jì)算和模擬這些序參量的穩(wěn)態(tài)值. 在過程實(shí)現(xiàn)中 ， 把當(dāng)前參數(shù)β獲得的穩(wěn)態(tài)結(jié)果作為下一個(gè)參數(shù)β實(shí)驗(yàn)的初始條件（絕熱近似方法）.本文發(fā)現(xiàn) ， 伴隨著不連續(xù)相變 ， 磁滯回線和多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象出現(xiàn)了. 當(dāng)系統(tǒng)的序參量處于比較高水平（低水平）的時(shí)候 ， 如果逐漸減少（增加）控制參數(shù) ， 比如β ， 獲得的2 條發(fā)生偏移的序參量曲線就是磁滯回線. 根據(jù)MMCA 數(shù)值分析結(jié)果和 MC 模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果， 發(fā)現(xiàn)以不同的β值作為出發(fā)點(diǎn)時(shí)（從β= 0增加或從β= 1減少）， 這些序參量的穩(wěn)態(tài)曲線表現(xiàn)出磁滯回線的特征 ， 并且可能同時(shí)存在2種穩(wěn)定的狀態(tài). 雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象出現(xiàn)的原因：系統(tǒng)在較小噪聲情況下 ， 投票層動(dòng)力學(xué)的演化過程主要受信息層的影響. 比較高的初始“+ ”意見比例能增強(qiáng)信息層的傳播過程 ， 更高的傳播范圍通過層間耦合作用的正反饋增強(qiáng)投票層“ +”意見共識(shí)的形成;相反 ， 較低的初始“+ ”意見比例可以抑制信息層的傳播 ， 不利于投票層逐漸形成“+ ”意見共識(shí). 從而 ， 較大（較?。┑某跏肌? ”意見比例將會(huì)導(dǎo)致不同的穩(wěn)定狀態(tài). 因此 ， 在絕熱近似的模擬過程中 ， 隨著傳播速率β的逐漸增大（向前）或減?。ㄏ蚝螅?， 不同的初始條件令系統(tǒng)在不同的臨界點(diǎn)發(fā)生相變現(xiàn)象 ， 即產(chǎn)生了磁滯回線現(xiàn)象.在磁滯區(qū)域 ， 對(duì)應(yīng)不同的β ， 系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)不同的穩(wěn)態(tài)狀態(tài).

這意味著 ， 當(dāng)社會(huì)意見共識(shí)的演化主要遵循“少數(shù)服從多數(shù)”的原則時(shí) ， 系統(tǒng)的意見共識(shí)和消息影響范圍會(huì)隨著消息傳播速率β的變化發(fā)生雪崩式級(jí)聯(lián)反應(yīng);當(dāng)意見共識(shí)過程主要依賴個(gè)體自發(fā)的隨機(jī)改變意見這條原則時(shí) ， 意見共識(shí)和消息影響范圍在閾值附近隨β緩慢且連續(xù)地變化.

3.2? MMCA 數(shù)值分析與 MC 模擬實(shí)驗(yàn)相圖對(duì)比

在圖 4中 ， 繪制的是 MMCA 數(shù)值分析與 MC 模擬實(shí)驗(yàn)相圖的對(duì)比 ， 分別考察了這兩種系統(tǒng)序參量作為參數(shù)v 和參數(shù)β的函數(shù) ， 其中 ， 圖 4（a）、圖 4（b）展示了 MMCA 數(shù)值分析的結(jié)果 ， 圖 4（c）、圖 4（d）展示了200次 MC 模擬實(shí)驗(yàn)的平均結(jié)果. 這兩種系統(tǒng)序參量分別是 ， 在圖 4（a）、圖 4（c）中展示了持“ +”意見的節(jié)點(diǎn)比例ρ+ ， 在圖 4（b）、圖 4（d）中展示了消息傳播規(guī)模ρR .通過從β =0 增加參數(shù)β 來計(jì)算和模擬這些序參量的穩(wěn)態(tài)值.

MMCA 數(shù)值分析和 MC 模擬實(shí)驗(yàn)在整個(gè)相空間有很好的一致性 ， 相對(duì)誤差小于2%.由圖4 發(fā)現(xiàn) ， 當(dāng) v 較小時(shí) ， “+ ”意見節(jié)點(diǎn)比例ρ+ ， 一方面可能遠(yuǎn)高于50%并且造成全局“+”意見共識(shí);另一方面可能接近0 從而造成“– ”意見全局共識(shí) ， 是否全局“+ ”意見共識(shí)取決于傳播速率β的大小.從β= 0增加參數(shù)β來計(jì)算和模擬這些序參量的穩(wěn)態(tài)值時(shí) ， 與較大噪聲相比需要較大的β值才能使意見共識(shí)發(fā)生翻轉(zhuǎn). 當(dāng) v 較大時(shí) ， 無論消息是否爆發(fā) ， ρ+的值都在50%附近 ， 此時(shí)不存在明顯的全局意見共識(shí)的傾向. 因此 ， 本文得出：意見形成過程的噪聲較小時(shí) ， 系統(tǒng)存在明顯的全局意見共識(shí) ， 無論是“+ ”意見還是“– ”意見;當(dāng)噪聲較大時(shí) ， 全局意見共識(shí)的趨勢(shì)并不明顯 ， 因?yàn)椤? ”意見節(jié)點(diǎn)比例非常接近50%.

4? 結(jié)論

人類社會(huì)中 ， 人群意見共識(shí)的形成過程和消息傳播過程是相互影響的 ， 并且它們的時(shí)間演化尺度不同.基于雙層網(wǎng)絡(luò) ， 本文構(gòu)建了一個(gè)具有不同時(shí)間演化尺度的耦合傳播模型—噪聲投票-SIR 傳播耦合模型. 本文發(fā)展了一套微觀馬爾可夫鏈數(shù)值分析方法來描述雙層網(wǎng)絡(luò)上的不同時(shí)間尺度耦合傳播動(dòng)力學(xué)過程. 通過在 SF-SF 雙層網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行的大量蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn) ， 驗(yàn)證了本文所提出的 MMCA 數(shù)值分析方法的準(zhǔn)確性. 本文研究發(fā)現(xiàn) ， 噪聲投票-SIR 傳播耦合模型發(fā)生了相變類型的轉(zhuǎn)變現(xiàn)象：當(dāng)意見形成的噪聲比較小的時(shí)候 ， 消息傳播規(guī)模和“+”意見比例等序參量會(huì)隨著傳播速率的變化發(fā)生不連續(xù)相變 ， 并存在磁滯回線和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象;當(dāng)噪聲較大時(shí) ， 2個(gè)動(dòng)力學(xué)過程的序參量會(huì)隨傳播速率的改變而發(fā)生連續(xù)相變.

本文提出的分析框架可為不同時(shí)間演化尺度的相互耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的研究提供理論借鑒 ， 所獲得的研究結(jié)果有助于人們對(duì)真實(shí)世界中人群意見共識(shí)形成過程與消息傳播過程之間相互作用的了解.本文創(chuàng)新性：在結(jié)合實(shí)際物理場(chǎng)景和一定的假設(shè)的前提下 ， 將投票類動(dòng)力學(xué)和疾病/消息傳播類模型耦合起來 ， 建立了一個(gè)全新的雙層耦合網(wǎng)絡(luò)模型;根據(jù)實(shí)際場(chǎng)景 ， 考慮了兩種動(dòng)力學(xué)不同的時(shí)間演化尺度 ， 其相比此前大部分時(shí)間演化尺度一致的假設(shè)工作具有更強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義. 更進(jìn)一步 ， 展望未來的工作 ， 可以深入結(jié)合實(shí)際場(chǎng)景的真實(shí)數(shù)據(jù) ， 通過挖掘意見形成過程和消息傳播過程之間更深層次的相互影響機(jī)制 ， 從而構(gòu)建出更為合理的耦合傳播模型.

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（責(zé)任編輯：李藝）