陳蘇婷 李霞

摘要： 折現(xiàn) Hamilton-Jacobi 方程（簡稱 H-J 方程）作為接觸 H-J 方程的一種特殊形式 ， 對其研究具有深刻意義. 研究了折現(xiàn) H-J 方程在底空間非緊時粘性解的一個表達(dá)式 u （x; t）. 就一個具體的折現(xiàn) H-J 方程 ， 探討了在底空間非緊且>0 時 ， 在不同初值情形下 ， u （x; t）在時的收斂情況.

關(guān)鍵詞： Hamilton-Jacobi 方程;? 接觸系統(tǒng);? 粘性解

中圖分類號： O193??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.2022.02.002

The viscosity solution of the discounted Hamilton-Jacobi equation in non-compact space

CHEN Suting，? LI Xia

（School of Mathematical Sciences， Suzhou University of Science and Technology，Suzhou Jiangsu? 215009， China）

Abstract： The? discounted? Hamilton-Jacobi? equation （H-J? equation） is? a? special? form? of the? contact Hamilton-Jacobi equation; hence， study of the discounted H-J equation is important. In this article， we first study an expression of the viscosity solution u （x; t） for the discounted H-J equation in non-compact space. Then， we explore the convergence of the viscosity solution u （x; t） for a specific discounted H-J equation with? >0? in non-compact space for the initial value in different cases.

Keywords： Hamilton-Jacobi equation;? contact system;? viscosity solution

0? 引言

本文主要考慮如下演化折現(xiàn) Hamilton-Jacobi 方程（簡稱 H-J 方程）在t ！+1時粘性解的收斂情況：

（1）

式（1）中： g（x）2 C（M）; λ> 0.

H-J 方程起源于經(jīng)典力學(xué)、幾何光學(xué). 它作為一階非線性偏微分方程 ， 是海洋內(nèi)波動力學(xué)、流體力學(xué)和大氣動力學(xué)中非常重要的數(shù)學(xué)模型之一 ， 在哈密爾頓動力學(xué)、最優(yōu)控制理論、微分對策等方面都有著非常廣泛的應(yīng)用[1]. 由于解的激波的產(chǎn)生使得 H-J 方程的經(jīng)典光滑解不容易求出甚至不存在 ， 但許多應(yīng)用學(xué)科的發(fā)展卻需要解決這個問題 ， 因此在20世紀(jì)80年代初 ， Crandall 等[2]利用極值原理提出了 H-J 方程粘性解的概念 ， 推進(jìn)了偏微分方程弱解理論的發(fā)展. H-J 方程粘性解的長時間漸近行為分析是粘性解理論的一個重要研究方向， 其研究途徑主要有2 種：一種是基于變分法的弱 Kolmogorov Arnold Moser （KAM）方法. Mather[3-4]開創(chuàng)了利用變分法研究正定系統(tǒng) （Tonelli 系統(tǒng)）的 Mather 理論 ， 定義了各種變分意義下的極小不變集 ， 研究了它們的幾何性質(zhì)和拓?fù)湫再|(zhì). Fathi[5]所創(chuàng)立的弱 KAM 理論在 Tonelli 框架下通過 Lax-Oleinik 公式將哈密爾頓流與相應(yīng)的 H-J 方程的粘性解聯(lián)系起來 ， 從而將變分法與研究粘性解理論的偏微分方程（簡稱 PDE）方法交叉融合 ， 產(chǎn)生了一系列問題及新的思路方法. 另一種是 PDE方法. 1999年 ， Namah 等[6]在一般框架下通過 PDE 理論最先得到了收斂結(jié)果. Fathi[7]和 Davini 等[8]在 Aubry-Mather 理論的指導(dǎo)下結(jié)合 PDE 方法在 Tonelli 框架下證明了不同類型的收斂結(jié)果， 與文獻(xiàn)[6]不同的是， Fathi[7]用到了嚴(yán)格凸的框架. Roquejoffre[9]結(jié)合 PDE 方法和動力系統(tǒng)方法對上述假設(shè)進(jìn)行了弱化 ， 得到了類似的收斂結(jié)果.

以往的研究大多局限于不含未知函數(shù)的哈密爾頓系統(tǒng) ， 即H（x， Dxu）= 0. 而具有能量耗散的很大一類物理、力學(xué)系統(tǒng)需要用接觸哈密爾頓系統(tǒng) H（x， u， Dxu）= 0來表示. 接觸哈密爾頓系統(tǒng)近年來被廣泛應(yīng)用于耗散力學(xué)、非保守力學(xué)[10-12]等系統(tǒng)以及微觀動力學(xué)[13]、平衡統(tǒng)計力學(xué)[14]等領(lǐng)域. 對于接觸哈密爾頓系統(tǒng)動力學(xué)的研究 ， 也是通過變分法和 PDE 方法進(jìn)行的 ， 其中變分法有隱式變分法[15-17]和 Herglotz 變分法[18]兩種.

折現(xiàn)系統(tǒng)作為接觸哈密爾頓系統(tǒng)的一種特殊形式 ， 對其研究具有深刻意義 ， 可為揭示接觸哈密爾頓系統(tǒng)里的復(fù)雜現(xiàn)象提供直觀的解釋. 以往對折現(xiàn)系統(tǒng)的研究 ， 主要集中在底空間是緊空間的情形. 對于底空間非緊的接觸哈密爾頓系統(tǒng)的研究尚處于探索階段.EF971067-C086-4D8A-8AE0-9F55387244FD

對于折現(xiàn) H-J 方程 ， 先討論了在底空間非緊時 ， 其粘性解的一種表達(dá)式 ， 并以此為基礎(chǔ) ， 研究了在初值不同情形下粘性解的收斂情況 ， 這與底空間是緊集時有著不一樣的收斂情形.本文的主要結(jié)果如下：

設(shè)L（x， v）是定義在上的連續(xù)函數(shù) ， 滿足：

（1） L（x， v）關(guān)于v 超線性增長 ， 即對 ， 有.

（2）

存在 M>0 ， 且對于所有的， 有定理1—2.

定理1? 令， 其中 γ（t）= x .若有限且連續(xù) ， 則是折現(xiàn) H-J 方程 （1）的粘性解. 式中 ：u （x， t）= g（x）2 C（M）; H（x， p）=? sup? pv? L（x， v）g .

定理2? 若取H（x， p）=? p2?? p ， 則u （x， t）= y fM? u （x， y， t）. 式中 u （x， y， t）=? + e ? tg（y）.

1? 定理1 與定理2 的證明

在給出定理1 和定理2 的證明之前 ， 需要先給出一個引理.

定義集合AC（[0， t]， Rn）= fγ： [0， t]！ Rnjγ（t）是絕對連續(xù)曲線}.

引理1? 若 L（x， v）是Rn??? Rn上的連續(xù)函數(shù) ， 令

式中γ（t）= x ， 則

證明因為

式（2）中

β（s）：=γ（s? α）.

一方面， 由式（2）得

所以

即

u （x， t）? （s）∈A ;t];Rn）{ wt? e （s ?t）L （γ（s）， γ_（s））ds + e ? u （γ（t? α）， t? α）}.

另一方面， 對于任意的α（s） ， β（s）2 AC（[0， t]， Rn） ， 定義

由式（2）得

由β（s）的任意性得

進(jìn)一步得

因此， 命題得證.

定理1 的證明由引理1 可得

（3）

先證? u （x， t）為粘性下解： 取假設(shè).任取 v 2 Rn ， 令且， 再令. 因為， 且， 由式（3）， 有

則有

在式（4）兩邊同時除以α ， 并令 ， 可得

0? L（ ， v）? λ? （ ， t^）? Dx? （ ， t^）v? ?t? （ ， t^）.

由v 的任意性， 且

得

0?? λ? （ ， t^）? H （ ， Dx? （ ， t^））? ?t? （ ， t^）， （5）

于是可得

故u （x， t）為粘性下解.

再證 u （x， t）為粘性上解： 取? 2 C1（Rn??? R） ，? 2 Rn ， t^2 R ， 假設(shè)（u?? ?）（ ， t^）= max （u? ?） =0 .固定ε> 0 ， 且α >0 ， 由于u （ ， t^）有限， 可找到一個γ（s）2 AC（[0， t]， Rn） ， 使得

因為 u ? ? 且u （ ， t^）= ? （ ， t^） ， 有

? （ ， t^）+ εα> w? e （s ?t^）L （γ（s）， γ_（s））ds + e ?? （γ（t^? α）， t^? α），

于是

由于

H （γ（s）， Dx? （γ（s）， s））= （s）∈A ;t];Rn）{L （γ（s）， γ_（s））? γ_（s）Dx? （γ（s）， s）} ， （7）

因此， 將式（7）代入式（6）得

0? w? e （s ?t^）[ λ? （γ（s）， s）? H （γ（s）， Dx? （γ（s）， s））? ?t? （γ（s）， s）]ds? εα.? （8）

在式（8）兩邊同時除以α ， 并令α0 ， 由 L（x， v）關(guān)于 v 超線性增長 ， 可知 H（x， p）關(guān)于p 有限 ， 從而關(guān)于p 連續(xù)[5]. 由 H（x， p）的定義及關(guān)于 L（x， v）的假設(shè)（2）可知 H（x， p）關(guān)于x 連續(xù) ， 得

由ε的任意性知u （x， t）為粘性上解. 再由u （x， t）既是粘性下解又是粘性上解 ， 得u （x， t）是粘性解.

定理2 的證明由定理1 知

式中：γ（0）= y ;γ（t）= x .由 Legendre 變換 ， 得

由于 H（x， p）關(guān)于p 嚴(yán)格凸且 H（x， p）關(guān)于p 超線性增長 ， 因此 ， 由經(jīng)典變分理論 ， 固定端點的作用量函數(shù)u （x， t）的極值曲線滿足歐拉-拉格朗日方程

（e t? （γ（t）， γ_（t）））= e t? （γ（t）， γ_（t）），

即

dt e t （γ_（t）+ 1）= 0，

積分可得

γ（t）=? a e ? t?? t + b.EF971067-C086-4D8A-8AE0-9F55387244FD

式中a ， b 是常數(shù). 根據(jù)γ（0）= y 得b = y +? . 把b 代入γ（t）得

γ（t）=? a e ? t?? t + y + a = x，

解得 a =? .因此

故定理得證.

2?? t +1時u （x， t）的收斂情形分析

定理3? 取u （x， t）為定理2 中的粘性解，即u （x， t）= y fM { + e ? tg（y）}.

（1）若 M = R ， 當(dāng) g（y）有下界時 ， 則? lim? u （x， t）= 0. 式中：λ >0 ; u （x， t）是式（1）的粘性解;u =0是駐定方程λu+ p2?? p =0 的粘性解.

（2）若 M = R ， 取g（y）= y ， 則? lim? u （x， t）= 0. 式中：λ >0 ; u （x， t）是式（1）的粘性解.

（3）若 M = R ， 取 g（y）=? y2 ， 則對 8（x， t）2 M? [0， +1） ， 有 lim? u （x， t）= 1 .式中： λ> 0;u （x， t）是式（1）的粘性解.

證明由定理2 知， u （x， t）=? inf u （x， y， t）. 式中：

u （x， y， t）= + e ? tg（y）;

λ> 0 ; M = R . u （x， y， t） 有下界 ， 則u （x， y， t） 有下確界 ， 設(shè)下確界為m . 當(dāng)? jyj 充分大時 ， u （x， y， t）> m ， 所以 ， 下確界只能在 jyj ? A 時取到 ， 設(shè)在 y = y0處取到最小值 ， 此時 u （x， t）= + e ? tg（y0） ， 則 t? u （x， t）= 0 ， 因此無論 g（y）取何值 ， 只要 g（y）有下界 ， 都有 lim? u （x， t）= 0.

若取g（y）= y ， 則u （x， t）=? inf u （x， y， t）. 式中

u （x， y， t）=+ e ? ty.

則 u =?? + e ? t .令 u = 0 ， 解得 y = x + t?? . 當(dāng) y < x + t?? 時 ，? u < 0. 當(dāng) y > x + t?? 時 ， u > 0. 所以當(dāng) y = x + t??? 時 ， u 可取最小值. 將 y = x + t?? 代入 u? ， 得

式中：λ >0 ; M = R .當(dāng)t ！+1時 ， 有 u ！ 0 ， 因此u ！ 0.

若取g（y）=? y2 ， 則u （x， t）=? inf u （x， y， t）. 式中

u （x， y， t）=?? 2（e t?? 1）??? e ? ty2.? （9）

記式（9）中等號右邊y2項的系數(shù)為m ， 則

因為 λ（>0）充分小 ， 當(dāng) t ！+1時 ， 有 e t > 0 ， e t?? 1 >0 ， λ? 2< 0 ， （λ? 2）e t ！ 1 ， （λ? 2）e t+2< 0 ， 所以系數(shù) m <0 .從而對于任意給定的 （x， t）2 R? [0， +1） ，? inf u （x， y， t）= 1 ， 此時inf? u （x， y， t）不對應(yīng)演化方程?tu +λu + H（x， Dxu）= 0的粘性解.

注為了比較 ， 給出u （x， t）在底空間是緊集時的收斂情形.與底空間非緊時不同的是 ， 只要其初值連續(xù) ， 當(dāng)t ！+1時 ， u （x， t）！ 0 ， λ> 0.

令u （x， t）是式（1）的粘性解， 由定理2 知， u （x， t）=? inf u （x， y， t）. 式中：

u （x， y， t）= + e ? tg（y）;

λ> 0. 當(dāng) t ！+1時 ， 有e? t ！ 0 ，? ！0 .若 M 是緊的 ， 則存在 y0 2 M 使得 u （x， t）= u （x， y0， t） ， 因此t? u （x， t）= 0.

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（責(zé)任編輯：陳麗貞）EF971067-C086-4D8A-8AE0-9F55387244FD