李寧,劉志勇,王娜,*,楊壘

1.中國(guó)科學(xué)院 新疆天文臺(tái),烏魯木齊 830011

2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 天文與空間科學(xué)學(xué)院,北京 100083

射電望遠(yuǎn)鏡在不同頻率觀測(cè)時(shí),要求指向精度與對(duì)應(yīng)頻率的半功率波束寬(Half-Power Beam Width,HPBW)正相關(guān),而拋物面天線的半功率波束寬約等于觀測(cè)波長(zhǎng)與射電望遠(yuǎn)鏡天線口徑的比值。因此天線口徑的增大及觀測(cè)頻率的提高對(duì)天線指向精度提出了更高的需求,如擬建的110 m 口徑奇臺(tái)射電望遠(yuǎn)鏡(Qi Tai radio Telescope,QTT),要求觀測(cè)100 GHz頻率電磁波時(shí)的最終指向精度達(dá)到1.5″。與此同時(shí),天線口徑增大帶來(lái)的問(wèn)題為實(shí)現(xiàn)天線高指向精度帶來(lái)新的挑戰(zhàn)。

天線伺服系統(tǒng)是一種典型的高精度運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng),其控制精度常受到諸如陣風(fēng)、重力及冰雪等載荷、結(jié)構(gòu)柔性、未建模動(dòng)態(tài)、摩擦死區(qū)、齒隙等非線性因素的制約。而天線口徑的增大不僅使天線受到重力及陣風(fēng)等載荷的影響增大,還導(dǎo)致系統(tǒng)機(jī)械諧振頻率的降低,限制了系統(tǒng)的響應(yīng)速度,又使得系統(tǒng)控制性能受到非線性摩擦的影響更為突出。除此之外,天線長(zhǎng)時(shí)間觀測(cè)運(yùn)轉(zhuǎn)造成的設(shè)備磨損老化以及溫度梯度造成系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng),使得系統(tǒng)不確定性對(duì)天線指向性能的影響更加明顯。分析可知,以上因素對(duì)天線指向控制的影響主要表現(xiàn)為2種情形：①磨損老化以及溫度梯度使天線伺服系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化；②陣風(fēng)、摩擦等以擾動(dòng)的形式作用于天線的伺服系統(tǒng)。因此降低天線系統(tǒng)的不確定以及擾動(dòng)對(duì)天線伺服系統(tǒng)輸出的不利影響,是實(shí)現(xiàn)天線高指向精度的前提。常用方法是在伺服控制中引入相應(yīng)補(bǔ)償策略或利用先進(jìn)控制算法進(jìn)行主動(dòng)控制,從而提高系統(tǒng)的控制性能。

比例-積分-微分(PID)控制是天線伺服控制常用的控制方法,然而當(dāng)性能指標(biāo)提高時(shí),PID 控制明顯不能滿足控制需求,因此基于非線性PID、迭代學(xué)習(xí)-模糊PID、線性二次型高斯(LQG)、、定量反饋理論(QFT)以及自抗擾控制(ADRC)等先進(jìn)控制算法被用于提升系統(tǒng)的控制性能,此外,在傳統(tǒng)線性控制的基礎(chǔ)上引入速度、加速度前饋的方法也被用于提高天線的跟蹤精度。正如文獻(xiàn)[14,18]指出,PI簡(jiǎn)單可靠,但控制性能有限；LQG 與能夠很好地提升控制性能,但當(dāng)參數(shù)發(fā)生攝動(dòng)時(shí),由于LQG 對(duì)系統(tǒng)模型有很強(qiáng)的依賴性,使得LQG的控制性能變化較大,使用混合靈敏度控制的性能指標(biāo)也發(fā)生了較大變化。相較于,由于對(duì)系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)具有較好的魯棒性,因此二階ADRC的控制性能變化不大,但其上升時(shí)間等暫態(tài)性能差點(diǎn)。分析發(fā)現(xiàn)控制設(shè)計(jì)通常對(duì)具有加性或乘性不確定的系統(tǒng)求解滿足一定魯棒性能的高階控制器,因此能獲得良好的暫態(tài)特性,而對(duì)其他問(wèn)題則顯得保守。LADRC 由于其控制器結(jié)構(gòu)優(yōu)勢(shì),能夠觀測(cè)和補(bǔ)償與認(rèn)知模型不相符的不確定和擾動(dòng)(即總擾動(dòng)),從而提高了系統(tǒng)性能的魯棒性。因此為提升天線伺服系統(tǒng)的控制性能,有必要綜合兩者的優(yōu)點(diǎn)來(lái)設(shè)計(jì)天線伺服系統(tǒng)的控制器。

1 射電望遠(yuǎn)鏡伺服系統(tǒng)建模

典型射電望遠(yuǎn)鏡天線的伺服系統(tǒng)由方位和俯仰2個(gè)伺服子系統(tǒng)組成,通過(guò)電機(jī)驅(qū)動(dòng)2個(gè)子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)天線的指向。方位軸和俯仰軸在幾何上相互正交,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上具有相似性,因此只需對(duì)其中一個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行建模分析。

圖1為雙反射面射電望遠(yuǎn)鏡天線的方位伺服系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型。天線方位系統(tǒng)的徑向臂通常有2組,其中組為驅(qū)動(dòng)天線方位運(yùn)轉(zhuǎn)的驅(qū)動(dòng)力臂,組為起平衡作用的平衡臂,圖中為示意僅畫出一組驅(qū)動(dòng)力臂。每一組力臂上的電機(jī)帶動(dòng)滾輪轉(zhuǎn)動(dòng),從而實(shí)現(xiàn)天線的方位指向,組驅(qū)動(dòng)力臂在電機(jī)選型和結(jié)構(gòu)組成上完全相同。圖中：、分別表示包括主面、副面撐腿和副面等上部結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角位移；、、分別為包括天線A-型架在內(nèi)的主面下部結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)剛度、阻尼系數(shù)以及角位移；、分別為電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角位移；、分別為滾輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角位移；、分別表示電機(jī)和滾輪之間的扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼系數(shù)；、分別表示滾輪驅(qū)動(dòng)部位的旋轉(zhuǎn)慣量和角位移；、分別為下部結(jié)構(gòu)與驅(qū)動(dòng)力臂間的扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼。

圖1 射電望遠(yuǎn)鏡方位模型描述Fig.1 Azimuth model for radio telescope

由圖1中所示物理量寫出系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能以及耗散能：

設(shè)滾輪和輪軌的半徑比為,則有=,取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)向量為=[],系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程以及歐拉-拉格朗日方程分別為

其中：、、、分別表示系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣以及廣義輸入力,=1,2,…,4表示廣義坐標(biāo)分量的編號(hào)?；?jiǎn)式(5),有

系統(tǒng)的輸入量為

式中：表示電機(jī)的輸出力矩；表示力矩的輸入矩陣；為控制輸入量。整理系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程有

進(jìn)一步記作

式中：表示系統(tǒng)矩陣；表示系統(tǒng)控制輸入矩陣；代表系統(tǒng)輸出矩陣；為系統(tǒng)的直通項(xiàng)。該狀態(tài)方程對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 基于回路成形的混合靈敏度H∞主控制器

典型反饋控制的結(jié)構(gòu)框圖如圖2 所示。圖中：表示反饋控制器；表示被控對(duì)象；、、、、分別表示系統(tǒng)的參考輸入指令、輸出響應(yīng)、跟蹤誤差、控制輸入量以及量測(cè)噪聲。假定被控對(duì)象確定,也不受外擾影響,整個(gè)控制系統(tǒng)只受量測(cè)噪聲影響,對(duì)標(biāo)稱模型求解滿足性能指標(biāo)要求的控制器。

圖2 帶有加權(quán)輸出的反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Block diagram of feedback control system with weighting outputs

該控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)()、跟蹤誤差傳遞函數(shù)()、控制器輸出傳遞函數(shù)()、系統(tǒng)輸出響應(yīng)傳遞函數(shù)()分別為

跟蹤誤差傳遞函數(shù)不僅表示了系統(tǒng)從輸入到跟蹤誤差的頻域響應(yīng),也表示了系統(tǒng)對(duì)輸出擾動(dòng)的抑制能力,及系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)()；控制器輸出傳遞函數(shù)也稱為控制靈敏度函數(shù)(),表示控制器輸出的頻域響應(yīng)；輸出響應(yīng)傳遞函數(shù)也稱補(bǔ)靈敏度函數(shù)(),表示系統(tǒng)對(duì)輸入?yún)⒖贾噶罡櫟念l域特性,也可以表示從量測(cè)噪聲到系統(tǒng)輸出的傳遞函數(shù)。若要求系統(tǒng)的跟蹤誤差、控制信號(hào)、系統(tǒng)對(duì)量測(cè)噪聲的響應(yīng)在相應(yīng)頻率上小于某一給定值,可以分別對(duì)相應(yīng)傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)加權(quán)函數(shù)()、()和(),使得歸一化后輸入到加權(quán)輸出、、的傳遞函數(shù)的最大奇異值小于給定值(一般為1),進(jìn)而可以設(shè)計(jì)基于回路成形思想的控制器。而傳遞函數(shù)的最大奇異值等于其范數(shù),因此設(shè)計(jì)指標(biāo)可記為

由于是對(duì)3 個(gè)靈敏度函數(shù)進(jìn)行范數(shù)設(shè)計(jì),因此該設(shè)計(jì)方法也稱為混合靈敏度設(shè)計(jì)。對(duì)式(15)作下分式變換,得到傳遞矩陣

因此混合靈敏度控制問(wèn)題可以表述為,設(shè)計(jì)控制器,使得：① 閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定；②閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣的范數(shù)小于給定值。

選擇合適的加權(quán)函數(shù)后再使用MATLAB軟件中的mixsyn 函數(shù)即可解得滿足標(biāo)稱系統(tǒng)指標(biāo)要求的控制器。由此可知基于回路成形認(rèn)識(shí)的混合靈敏度控制設(shè)計(jì)具有非常直觀的解釋,對(duì)標(biāo)稱模型來(lái)說(shuō)是一種非常有效的控制設(shè)計(jì)方法。盡管關(guān)于混合靈敏度控制的常見(jiàn)視角是抑制被控對(duì)象某種假設(shè)的不確定,如逆乘性不確定()、乘性不確定()、加性不確定(),但正如文獻(xiàn)[20]所言,該假設(shè)的前提是系統(tǒng)的不確定滿足范數(shù)有界,性能可由閉環(huán)傳遞函數(shù)的范數(shù)測(cè)量；此外,當(dāng)系統(tǒng)存在不確定時(shí),雖然基于抑制系統(tǒng)不確定視角設(shè)計(jì)的控制器能得到可接受的控制性能,但攝動(dòng)后的系統(tǒng)控制性能較標(biāo)稱性能必然會(huì)發(fā)生變化。因此本文從回路成形的視角理解混合靈敏度控制設(shè)計(jì)方法并用于對(duì)標(biāo)稱模型設(shè)計(jì)主控制器,為保證基于標(biāo)稱模型設(shè)計(jì)的控制性能,需要對(duì)因參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)造成的系統(tǒng)輸出變化進(jìn)行額外補(bǔ)償。

2.2 系統(tǒng)擾動(dòng)/不確定的觀測(cè)與補(bǔ)償

考慮嚴(yán)真(=0)被控對(duì)象,當(dāng)系統(tǒng)受到輸入擾動(dòng),且系統(tǒng)存在參數(shù)不確定(簡(jiǎn)單起見(jiàn),假設(shè)系統(tǒng)未受到輸出參數(shù)不確定)及非線性特性,即如下情形

式中：、、為 辨 識(shí) 得 到 的 系 統(tǒng) 參 數(shù)；(,)為系統(tǒng)的不可線性化部分,對(duì)式(17)變形有

辨識(shí)得到的標(biāo)稱模型的狀態(tài)方程為

可見(jiàn),(-y)的產(chǎn)生主要由(Δx+Δ u++(,))造成,直接確定(Δx+Δ u++(,))是一件完全不可能的事,然而方便的是確定其對(duì)系統(tǒng)輸出的影響。因此基于等效輸入擾動(dòng)(EID)的思想,假設(shè)對(duì)于任意的時(shí)間,總是存在一個(gè)等效的輸入擾動(dòng),滿足如下?tīng)顟B(tài)方程

使用GESO 觀測(cè)的等效輸入擾動(dòng)可以補(bǔ)償輸入擾動(dòng)、系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)及非線性部分對(duì)系統(tǒng)輸出造成的影響,實(shí)際上,還可以補(bǔ)償任意影響系統(tǒng)輸出的擾動(dòng)和不確定?；贕ESO 的擾動(dòng)/不確定觀測(cè)和補(bǔ)償?shù)慕Y(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。

圖3 基于廣義擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的擾動(dòng)/不確定觀測(cè)補(bǔ)償結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Block diagram of disturbance/uncertainty estimation and attenuation based on generalized extended state observer

3 仿真與分析

本文以某35 m 口徑天線的方位軸傳遞函數(shù)為研究對(duì)象,其傳遞函數(shù)為

利用混合靈敏度設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)滿足如下性能指標(biāo)的控制器：

1)上升時(shí)間小于2 s。

2)超調(diào)量小于20%。

3)調(diào)節(jié)時(shí)間小于4 s。

確定權(quán)函數(shù)的常用公式是

式中：表示靈敏度函數(shù)的峰值,一般要求小于2；表示靈敏度函數(shù)帶寬；表示允許的穩(wěn)態(tài)誤差。

為了構(gòu)造要求的穩(wěn)定度,使得/的比值等于穩(wěn)定裕度,并且取為補(bǔ)靈敏度函數(shù)的帶寬；為保證為真函數(shù)且滿足一定的高頻抑制能力,在分子中添加/項(xiàng),表示對(duì)高頻信號(hào)的抑制度。通常要求小于一個(gè)常數(shù)。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)綜合分析,得到如下權(quán)函數(shù)

將GESO 的極點(diǎn)配置到系統(tǒng)控制帶寬的整數(shù)倍,得到如下觀測(cè)器增益

最終的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖4所示。其中主控制器用于實(shí)現(xiàn)標(biāo)稱系統(tǒng)的性能,GESO 用于對(duì)系統(tǒng)的不確定和受到的擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)和補(bǔ)償。

圖4 最終的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.4 Block diagram of final control system

由第1節(jié)射電望遠(yuǎn)鏡伺服系統(tǒng)建模結(jié)果可知系統(tǒng)參數(shù)的不確定可以表示成系統(tǒng)互質(zhì)因子型不確定,因此考慮系統(tǒng)參數(shù)(19.712,111.736,6.54,151,580,1 370)發(fā)生攝動(dòng),考察2個(gè)極限攝動(dòng)對(duì)象的單位階躍響應(yīng)。性能指標(biāo)有上升時(shí)間(Rising Time)、超調(diào)量(Overshoot)、調(diào)節(jié)時(shí)間(Settling Time)以及絕對(duì)誤差時(shí)間積分值(ITAE)。對(duì)比使用控制器與使用-GESO 控制器時(shí)系統(tǒng)性能指標(biāo)的變化。

首先考慮參數(shù)未發(fā)生攝動(dòng)的情況,仿真結(jié)果見(jiàn)圖5。由圖5可知2種控制器作用下的系統(tǒng)響應(yīng)完全一致,這表明由于無(wú)參數(shù)攝動(dòng)造成響應(yīng)誤差,因此GESO 沒(méi)有起作用。

圖5 2種控制器分別作用下的響應(yīng)曲線Fig.5 Response curves under action of two controllers respectively

再次考慮系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)的情況,當(dāng)參數(shù)攝動(dòng)5%時(shí),使用控制器和-GESO 控制器的仿真結(jié)果分別如圖6(a)、圖7(a)所示,對(duì)應(yīng)的上升時(shí)間-調(diào)節(jié)時(shí)間,超調(diào)量-ITAE 的散點(diǎn)圖見(jiàn)圖6(b)、圖6(c)、圖7(b)、圖7(c)所示。去除極端點(diǎn)后,由圖中數(shù)據(jù)給出表1所示4個(gè)性能指標(biāo)的變化范圍(最大值-最小值)以及-GESO/性能指標(biāo)的分散比值。為方便比較,表1中也給出文獻(xiàn)[18]中展示的相同攝動(dòng)情況下的傳統(tǒng)整數(shù)階PID的控制指標(biāo)的變化范圍。由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知參數(shù)攝動(dòng)時(shí)使用控制器和-GESO 控制器都能獲得滿足要求的性能指標(biāo),而使用-GESO 控制的各項(xiàng)性能指標(biāo)變化范圍更小,-GESO 的指標(biāo)分散度最大為指標(biāo)分散度的66.7%,最小僅為40%,因而獲得更好的控制性能。雖然PID控制的上升時(shí)間變化范圍較小,但其他3項(xiàng)指標(biāo)的變化范圍均比和-GESO 的大。此外,文獻(xiàn)[18]中PID 控制為了取得較小的上升時(shí)間和要求的調(diào)節(jié)時(shí)間,使得控制系統(tǒng)的超調(diào)量超過(guò)天線伺服控制要求的最大超調(diào)量,實(shí)際中這樣的控制器不能應(yīng)用于真實(shí)天線伺服控制系統(tǒng)。

表1 使用不同控制策略的性能指標(biāo)變化范圍Table 1 Variation range of performance indexes using different control strategies

最后分析參數(shù)攝動(dòng)5%時(shí)系統(tǒng)對(duì)輸入擾動(dòng)的抑制能力,主要考慮天線系統(tǒng)受到階躍擾動(dòng)和隨機(jī)擾動(dòng)2種。

首先,分析系統(tǒng)受到階躍輸入擾動(dòng)的情況,結(jié)果如圖6(d)、圖7(d)所示。由圖6(d)可知設(shè)計(jì)的控制器只是在一定程度上抑制了擾動(dòng),但不能完全抑制輸入擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)輸出的影響,而圖7(d)表明-GESO 控制器不僅可以做到無(wú)凈差抑制擾動(dòng),而且能更快地實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)不確定和受到擾動(dòng)的觀測(cè)和抑制。

圖6 使用H∞控制器的仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results using H∞controller

圖7 使用H∞-GESO 控制器的仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results using H∞-GESO controller

其次,分析系統(tǒng)受到隨機(jī)輸入擾動(dòng),用以模擬天線伺服系統(tǒng)受到的風(fēng)荷擾動(dòng)。天線系統(tǒng)一段時(shí)間內(nèi)受到的風(fēng)荷可以表示成平均風(fēng)和陣風(fēng)的組合,因而可以用階躍信號(hào)表示作用于天線系統(tǒng)的平均風(fēng),用隨機(jī)平穩(wěn)序列表示系統(tǒng)受到的陣風(fēng)載荷,陣風(fēng)載荷可通過(guò)高斯白噪聲和Davenport功率譜得到。作用于天線主反射面的風(fēng)荷在主面上形成風(fēng)壓,進(jìn)而形成影響系統(tǒng)方位、俯仰輸出的力矩,因此可以將風(fēng)致力矩轉(zhuǎn)換到天線伺服系統(tǒng)速度環(huán),等效為速度環(huán)的輸入擾動(dòng)。圖8為系統(tǒng)抑制輸入隨機(jī)擾動(dòng)的結(jié)果,同樣為比較,本文給出PID 控制的結(jié)果。由圖8可知,雖然隨機(jī)風(fēng)對(duì)伺服系統(tǒng)一直有影響,但遠(yuǎn)不如平均風(fēng)對(duì)系統(tǒng)的影響大。雖然使用PID 控制可以抑制風(fēng)載作用,但相較和-GESO,PID 對(duì) 隨 機(jī) 輸 入 擾 動(dòng) 的抑制效果相對(duì)更差。

圖8 隨機(jī)擾動(dòng)抑制結(jié)果Fig.8 Simulation results of random-disturbance rejection

同時(shí),由圖6(d)和圖7(d)也可以看到,單獨(dú)使用控制的結(jié)果能更快到達(dá)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值,而使用-GESO 控制的結(jié)果雖然呈現(xiàn)1‰的波動(dòng),但能收斂到0值。分析可知原因在于GESO對(duì)擾動(dòng)的持續(xù)調(diào)節(jié)所致,也是分散控制器設(shè)計(jì)方法的不足,相信還有較本文控制性能更優(yōu)的控制器設(shè)計(jì)方法。

4 結(jié) 論

本文研究了射電望遠(yuǎn)鏡天線系統(tǒng)參數(shù)不確定和外部擾動(dòng)影響時(shí)射電望遠(yuǎn)鏡天線伺服系統(tǒng)的控制性能。

1)理論分析表明：無(wú)論對(duì)于系統(tǒng)的參數(shù)不確定,高階未建模部分還是外部擾動(dòng),均可將其等效為輸入擾動(dòng)(EID),設(shè)計(jì)廣義擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(GESO)對(duì)其進(jìn)行觀測(cè),進(jìn)而補(bǔ)償其對(duì)系統(tǒng)輸出的影響。

2)仿真結(jié)果表明,無(wú)論對(duì)于系統(tǒng)參數(shù)的不確定,還是系統(tǒng)受到的輸入階躍擾動(dòng)或隨機(jī)擾動(dòng),單獨(dú)使用混合靈敏度控制器可以獲得滿足性能指標(biāo)要求的控制性能,而使用-GESO 控制器可以獲得較單獨(dú)使用控制器更優(yōu)的控制性能,其性能指標(biāo)的分散度僅為指標(biāo)分散度的66.7%及以下,因而更好地保證了射電望遠(yuǎn)鏡的指向穩(wěn)定度和指向精度。

致 謝

感謝在本文寫作過(guò)程中提供建議的聞成、王艷、馮金平三位博士。