陳夢娜

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,福建 漳州 363000）

眾所周知,連續(xù)函數(shù)列的極限函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù).因此,分析中的一個核心問題是：在連續(xù)函數(shù)列中添加什么條件才能保持極限函數(shù)的連續(xù)性？1841年,Weierstrass證明了函數(shù)列一致收斂是極限函數(shù)連續(xù)的充分條件.1878年,Dini給出了極限函數(shù)連續(xù)弱于一致收斂的充分條件.Arzela在文獻(xiàn)[1]中證明了極限函數(shù)連續(xù)的一個充要條件,在該條件下,緊致區(qū)間上實值連續(xù)函數(shù)列的極限函數(shù)是連續(xù)的,他將這一條件稱為“逐段一致收斂”,Borel[2]將此稱為“擬一致收斂”.Bartle[3]將Arzela 的結(jié)果推廣到拓?fù)淇臻g的實值連續(xù)函數(shù)網(wǎng).1948年,Alexandroff[4]研究了從拓?fù)淇臻g（不一定緊）到度量空間的函數(shù)列的極限函數(shù)連續(xù)性問題.函數(shù)列的α收斂性早在20世紀(jì)初已經(jīng)被研究.2008年,Gregoriades 等[5]引入函數(shù)列exhaustiveness的概念,它能夠刻畫函數(shù)列的α收斂和逐點收斂的關(guān)系.

統(tǒng)計收斂的概念最初由Fast[7]和Steinhaus[8]分別獨立引入,它是一般收斂的推廣.自引入后,統(tǒng)計收斂逐漸引起研究者的興趣.特別是20世紀(jì)80年代以來,統(tǒng)計收斂已成為人們研究的熱點問題之一.統(tǒng)計收斂在不同領(lǐng)域都有應(yīng)用,如數(shù)論[11]、可和性理論[12]、三角級數(shù)[13]、概率論[14]、測度論[15]、最優(yōu)化[16]等.借助統(tǒng)計收斂,Caserta 等[9]定義了函數(shù)列的統(tǒng)計exhaustiveness,統(tǒng)計α收斂和弱統(tǒng)計exhaustiveness,并證明了統(tǒng)計極限函數(shù)連續(xù)與函數(shù)列弱統(tǒng)計exhaustiveness等價的條件.

最近Papanastassiou[6]定義了函數(shù)列的半α收斂、半一致收斂和半exhaustiveness,揭示了在極限函數(shù)連續(xù)的條件下,函數(shù)列半α收斂和半一致收斂相互等價.在函數(shù)列半α收斂與半一致收斂的定義中,要求函數(shù)列(fn)n∈N逐點收斂于函數(shù)f.因此,一個自然的問題是:如果將“逐點收斂”改為“逐點統(tǒng)計收斂”,將會得到什么樣的結(jié)果?在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上,借助統(tǒng)計收斂,定義了函數(shù)列的統(tǒng)計半α收斂與統(tǒng)計半一致收斂.通過構(gòu)造例子說明,函數(shù)列的統(tǒng)計半α收斂區(qū)別于半α收斂、半α性質(zhì)、逐點統(tǒng)計收斂以及統(tǒng)計α收斂，統(tǒng)計半一致收斂區(qū)別于半一致收斂.證明了在統(tǒng)計極限函數(shù)連續(xù)的條件下,函數(shù)列的統(tǒng)計半α收斂與統(tǒng)計半一致收斂相互等價.

1 預(yù)備知識

本文中,YX表示空間X到空間Y的所有映射的集合,C(X,Y)表示空間X到空間Y的所有連續(xù)映射的集合.

定義1[6]設(shè)(X,d)和(Y,ρ)是度量空間,x∈X,?n∈N,fn∈YX.函數(shù)列(fn)n∈N在點x∈X處稱為半exhaustive,若?ε>0,?δ>0,使的?n∈N,?m∈N 且m≥n,當(dāng)y∈S(x,δ)時,有ρ(fm(y),fm(x))<ε.若函數(shù)列(fn)n∈N在X的每一點處都半exhaustive,則稱(fn)n∈N半exhaustive.

定義2[6]設(shè)(X,d)和(Y,ρ)是度量空間,x∈X,?n∈N,f,fn∈YX.若滿足以下兩個條件,則函數(shù)列(fn)n∈N在x∈X處稱為半α收斂于f.即

1)fn(x)→f(x);

2)?ε>0,?δ>0,使得?n∈N,?m∈N且m≥n,當(dāng)y∈S(x,δ)時,有ρ(fm(y),f(x))<ε.

若函數(shù)列(fn)n∈N在X的每一點處都半α收斂于f,則稱(fn)n∈N半α收斂于f.滿足定義2中條件2)的函數(shù)列稱為具有半α性質(zhì).

定義3[6]設(shè)X是拓?fù)淇臻g,(Y,ρ)是度量空間,?n∈N,f,fn∈YX.若滿足以下兩個條件,則函數(shù)列(fn)n∈N在x0∈X處稱為半一致收斂于f.即

1)fn(x0)→f(x0);

2)?ε>0,存在x0的鄰域V,使得?n∈N,?m∈N且m≥n,當(dāng)x∈V時,有ρ(fm(x),f(x))<ε.

若函數(shù)列(fn)n∈N在X的每一點處都半一致收斂于f,則稱(fn)n∈N半一致收斂于f.

定義4[9]設(shè)集合A是N的子集,對n∈N,令A(yù)(n)={k∈A:k≤n},若極限

存在,則稱δ(A)為A的漸進(jìn)密度.此時有δ(NA)=1-δ(A)成立.若δ(A)=1,則稱集合A是統(tǒng)計稠密的.設(shè)X是拓?fù)淇臻g,x∈X,(xn)n∈N為X中的序列,若對x的任意鄰域U,有δ({n∈N:xn?U})=0,則稱序列(xn)n∈N統(tǒng)計收斂于x,記作:

定義5[9]設(shè)(X,d)和(Y,ρ)是度量空間,?n∈N,fn∈YX.函數(shù)列(fn)n∈N在x∈X處稱為統(tǒng)計exhaustive,若?ε>0,存在δ>0 和統(tǒng)計稠子集M?N,使得當(dāng)y∈S(x,δ)且m∈M時,有ρ(fm(y),fm(x))<ε.若(fn)n∈N在X的每一點都統(tǒng)計exhaustive,則稱函數(shù)列(fn)n∈N統(tǒng)計exhaustive.

定義6[9]設(shè)(X,d)和(Y,ρ)是度量空間,?n∈N,f,fn∈YX.稱函數(shù)列(fn)n∈N統(tǒng)計α收斂于f,若對于每個x∈X,及X中收斂到x的序列(xn)n∈N,序列(fn(xn))n∈N統(tǒng)計收斂于f(x),記作：

定義7[9]設(shè)(X,d)和(Y,ρ)是度量空間,函數(shù)列(fn)n∈N?YX在x∈X處稱為統(tǒng)計弱exhaustive,若?ε>0,?δ>0,使得?y∈S(x,δ),存在N的統(tǒng)計稠子集My,當(dāng)n∈My時,有ρ(fn(y),fn(x))<ε.

2 主要結(jié)果及其證明

定義8設(shè)X是拓?fù)淇臻g,(Y,ρ)是度量空間,x∈X,?n∈N,f,fn∈YX.若滿足以下兩個條件,則函數(shù)列(fn)n∈N在x∈X處稱為統(tǒng)計半α收斂于f.即

1)fn(x)f(x);

2)?ε>0,存在x的鄰域U,使得?n∈N,?m∈N且m≥n,當(dāng)y∈U時,有ρ(fm(y),f(x))<ε.

若函數(shù)列(fn)n∈N在X的每一點處都統(tǒng)計半α收斂,則稱函數(shù)列(fn)n∈N統(tǒng)計半α收斂于f.

由定義知半α收斂的函數(shù)列一定是統(tǒng)計半α收斂的.下面的例子說明統(tǒng)計半α收斂函數(shù)列不一定是半α收斂.

例1存在統(tǒng)計半α收斂的函數(shù)列,其不是半α收斂的.

證明?n∈N,定義fn:R→R，有：

?x∈R,令f(x)=1,則函數(shù)列(fn)n∈N?RR統(tǒng)計半α收斂于f.事實上,?x∈R,fn(x)f(x).下證函數(shù)列(fn)n∈N滿足半α性質(zhì).對任意ε>0,取x的鄰域U=(x-1,x+1).?n∈N,取大于n的非平方數(shù)m,則?y∈U,有ρ(fn(y),f(x))=|1-1|=0<ε.故函數(shù)列(fn)n∈N統(tǒng)計半α收斂于f.另一方面,?x∈R,數(shù)列fn(x)不收斂于f(x),從而函數(shù)列(fn)n∈N不是半α收斂于f.

下面的例子說明具有半α性質(zhì)的函數(shù)列不一定是統(tǒng)計半α收斂.

例2存在具有半α性質(zhì)的函數(shù)列,其不是統(tǒng)計半α收斂.

證明?n∈N,定義fn:R→R，有

?x∈R,令f(x)=0,類似例1中的證明,易知函數(shù)列(fn)n∈N具有半α性質(zhì).?x∈R,數(shù)列fn(x)不統(tǒng)計收斂于0,所以函數(shù)列(fn)n∈N不統(tǒng)計半α收斂于f.

由定義知，統(tǒng)計半α收斂的函數(shù)列一定逐點統(tǒng)計收斂,但其逆命題不一定成立.下面的例子說明逐點統(tǒng)計收斂的函數(shù)列不一定統(tǒng)計半α收斂.

例3存在逐點統(tǒng)計收斂的函數(shù)列,其不是統(tǒng)計半α收斂.

證明?n∈N,定義fn:R→R，有

令f(x)=則函數(shù)列(fn)n∈N?RR逐點統(tǒng)計收斂于f.另一方面,(fn)n∈N在x=0 處不滿足半α性質(zhì).事實上,設(shè)0<ε< 1,δ>0,存在n∈N 使得<δ,對任意m∈N 且m≥n,那么取0的鄰域U=(-δ,δ),則y=∈U∩(,+∞),且

|fm(y)-f(0)|=|0-1|=1>ε.ρ(fm(y)，f(x))≤ρ(fm(y)，fm(x))+ρ(fm(x)，f(x))<ε,

所以函數(shù)列(fn)n∈N不統(tǒng)計半α收斂于f.

命題1若X,Y是度量空間,(fn)n∈N?YX,f∈YX.若函數(shù)列(fn)n∈N統(tǒng)計α收斂于f,則(fn)n∈N統(tǒng)計半α收斂于f.

證明由文獻(xiàn)[9]知,若(fn)n∈Nf,則?x∈X,fn(x)→sf(x)且函數(shù)列(fn)n∈N統(tǒng)計exhaustive.下證(fn)n∈N具有半α性質(zhì).由fn(x)→sf(x)知,?ε>0,存在N 的稠子集M1,當(dāng)n∈M1時,有ρ(fn(x),f(x))<由(fn)n∈N統(tǒng)計exhaustive 知,存在x的鄰域V和N 的稠子集M2,當(dāng)y∈V且n∈M2時,有ρ(fn(y),fn(x))<所以存在m∈M1∩M2?N,當(dāng)y∈V時，有

從而(fn)n∈N在x處統(tǒng)計半α收斂于f.由x的任意性知,函數(shù)列(fn)n∈N統(tǒng)計半α收斂于f.

上述命題的逆命題不一定成立,即統(tǒng)計半α收斂的函數(shù)列不一定統(tǒng)計α收斂.

例4存在函數(shù)列是統(tǒng)計半α收斂的,但不是統(tǒng)計α收斂.

證明?n∈N,定義函數(shù)fn:R→R,當(dāng)n為奇數(shù)時,fn(x)=當(dāng)n是偶數(shù)時,

令f(x)=0,顯然函數(shù)列(fn)n∈N統(tǒng)計逐點收斂到f.下證函數(shù)列(fn)n∈N具有半α性質(zhì).?ε>0,存在x的鄰域U,使得對任意n∈N,存在m取大于n的奇數(shù),當(dāng)y∈U時,有ρ(fm(y),f(x))=<ε.所以函數(shù)列(fn)n∈N統(tǒng)計半α收斂.另一方面,取xn=此時xn→0,而fn(xn)=1,并不逐點統(tǒng)計收斂于f(x)=0,所以函數(shù)列(fn)n∈N不統(tǒng)計α收斂于f.

綜上知,函數(shù)列的收斂關(guān)系如圖1所示.

圖1 函數(shù)列的收斂關(guān)系Fig.1 The relationships of convergence of sequences of functions

定義9設(shè)X是拓?fù)淇臻g,(Y,ρ)是度量空間,?n∈N,f,fn∈YX.若滿足以下兩個條件,則函數(shù)列(fn)n∈N在x0∈X處稱為統(tǒng)計半一致收斂于f.即

1)fn(x0)f(x0);

2)?ε>0,存在x0的鄰域V,使得?n∈N,?m∈N且m>n,當(dāng)x∈V時,有ρ(fm(x),f(x))<ε.

若函數(shù)列(fn)n∈N在X的每一點處都統(tǒng)計半一致收斂,則稱(fn)n∈N統(tǒng)計半一致收斂.

由定義知函數(shù)列半一致收斂一定是統(tǒng)計半一致收斂,但其逆命題不成立.

例5存在統(tǒng)計半一致收斂的函數(shù)列不是半一致收斂的.

證明?n∈N,設(shè)fn,f為例1 中定義的函數(shù),則函數(shù)列(fn)n∈N統(tǒng)計半一致收斂于f.事實上,?x∈X,fn(x)f(x).?ε>0,存在x的鄰域V,使得?n∈N,存在m取大于n的非平方數(shù),當(dāng)x∈V時,有ρ(fm(x),f(x))=|1-1|<ε;另一方面,fn(x)不收斂于f(x)=1,則函數(shù)列(fn)n∈N不半一致收斂于f.

接下來證明本文的主要結(jié)果.

定理1設(shè)X是拓?fù)淇臻g,(Y,ρ)是度量空間,f∈C(X,Y),(fn)n∈N?C(X,Y),則下列條件等價：

1)函數(shù)列(fn)n∈N統(tǒng)計半α收斂于f;

2)函數(shù)列(fn)n∈N統(tǒng)計半一致收斂于f.

若有1)或2)成立,則函數(shù)列(fn)n∈N半exhaustive且?x∈X,fn(x)f(x).

證明1)?2)由已知?x∈X,fn(x)f(x).由函數(shù)列(fn)n∈N的半α性質(zhì)知,?ε>0,存在x的鄰域V1,使得?n∈N,?m∈N 且m>n,當(dāng)y∈V1時,有ρ(fm(y),f(x))<又因為f連續(xù),存在x的鄰域V2,使得當(dāng)y∈V2時,有ρ(f(x),f(y))<令V=V1∩V2,則當(dāng)y∈V時,有

ρ(fm(y)，f(y))≤ρ(fm(y)，f(x))+ρ(f(x)，f(y))<ε.

從而(fn)n∈N在x處統(tǒng)計半一致收斂于f.由x的任意性知,函數(shù)列(fn)n∈N統(tǒng)計半一致收斂于f.

2)?1)由已知?x∈X,fn(x)→sf(x).因為函數(shù)列(fn)n∈N統(tǒng)計半一致收斂于f,?ε>0,存在x的鄰域U1使得?n∈N,?m∈N且m>n,當(dāng)y∈U1時,有ρ(fm(y),f(y))<又由f的連續(xù)性知,存在x的鄰域U2,使得,當(dāng)y∈U2時,有ρ(f(y),f(x))<取U=U1∩U2,當(dāng)y∈U時,有

ρ(fm(y)，f(x))≤ρ(fm(y)，f(y))+ρ(f(y)，f(x))<ε,

從而(fn)n∈N在x處統(tǒng)計半α收斂于f.由x的任意性知,函數(shù)列(fn)n∈N統(tǒng)計半α收斂于f.

因為1)與2)等價,不妨設(shè)條件2)成立.顯然有fn(x)f(x)成立.下證函數(shù)列(fn)n∈N半exhaustive.因為(fn)n∈N統(tǒng)計半一致收斂于f,?ε>0,存在x的鄰域W1使得?n∈N,?m∈N 且m>n,當(dāng)y∈W1時,有因為f是連續(xù)的,則存在x的鄰域W2,使得當(dāng)y∈W2時,有所以當(dāng)y∈W1∩W2時,有

ρ(fm(y)，fm(x))≤ρ(fm(y)，f(y))+ρ(f(y)，f(x))+ρ(f(x)，fm(x))<ε.

從而(fn)n∈N在x處半exhaustive.由x的任意性知,函數(shù)列(fn)n∈N半exhaustive.