蘇大明

我們在日常生活中，經(jīng)常會看到一些看似平常卻很神奇的現(xiàn)象，汽車、火車的輪子都是圓形的，卻能在地面上平穩(wěn)地行駛，這是因為各個輪子的軸離地面接觸點的距離總是相等的.工人們把一箱重物放在一些斷面直徑相等的圓棍或圓管上移動（如圖1），可以達到既省力又平穩(wěn)的效果，這是因為圓不管怎樣滾動，圓的任何一對平行切線的距離總是相等的.我們把與一個定點的距離等于定長的所有點組成的曲線稱為等寬曲線，因而圓也是等寬曲線.顯然，等寬曲線的每個方向上的最高點和最低點之間的距離相等.魯洛克斯曲邊三角形也是等寬曲線.

魯洛克斯三角形（如圖2）又稱“勒洛三角形”“萊洛三角形”“圓弧三角形”，是一種特殊三角形，指分別以正三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，如圖3，由這三段圓弧組成的曲邊三角形稱為魯洛克斯三角形.魯洛克斯三角形的特點是：在任何方向上都有相同的寬度，即能在距離等于其圓弧半徑（等于正三角形的邊長）的兩條平行線間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩直線都接觸.這一特點是魯洛克斯（F.Reu?leaux）在研究機械分類時發(fā)現(xiàn)的.

邊長為a 的魯洛克斯三角形的寬度為a，直徑為 a 的圓的寬度也為a，我們稱這種性質(zhì)為等寬性.用兩條平行線去夾圓弧三角形，會有兩種情況出現(xiàn)，第一種情況：如圖4，兩條平行線中一條與邊相切，一條過頂點，連接 AD，則 AD ⊥ l2（切線垂直于過切點的半徑），則兩平行線的距離為 AD =a;第二種情況：如圖5，兩條平行線分別過兩頂點，此時 l1與弧 AB 相切于 B，l2與弧 AC 相切于 C，所以 BC⊥ l1，BC⊥ l2，故兩平行線的距離為 BC =a .綜上，圓弧三角形具有等寬性.

同寬度的魯洛克斯三角形與圓具有一些相同的性質(zhì)：

（1）作為寬度為 a 的等寬曲線，魯洛克斯三角形或圓上任意兩點間的距離不會超過a .

（2）將將它們放在一個邊長為a 的正方形內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，與正方形的每條邊都有且僅有一個公共點（圖6、圖7），且兩條對邊的公共點的連線是互相垂直的.

（3）它們有相同的周長.邊長為a 的魯洛克斯三角形的周長為3× =πa，直徑為 a 的圓的周長為πa .

由于萊洛三角形在一邊長為其寬度的正方形內(nèi)轉(zhuǎn)動時，四個點與正方形的四條邊接觸（不一定相切）且接觸點的位置是不斷改變的（如圖8、圖9），機械學(xué)家萊洛也發(fā)現(xiàn)了圓弧三角形，并設(shè)計出了方孔鉆頭.

這種圓弧三角形的鉆頭鉆出來的不是標準的正方形，而是如圖10所示的圓角正方形.因為萊洛三角形的中心即正三角形的中心（三角形三條中線的交點），所以，當(dāng)萊洛三角形鉆頭轉(zhuǎn)動時，它的中心也不像圓孔鉆那樣固定不變，如圖11.

實際上，任何等寬曲線都可以在邊長等于曲線寬度的正方形內(nèi)緊密無間而自由地轉(zhuǎn)動;反之，可以在正方形內(nèi)緊密而自由地轉(zhuǎn)動的曲線也是等寬曲線.

受魯洛克斯三角形的啟發(fā)，我們可得到更多的等寬曲線.如以正五邊形 ABCDE 的五個頂點為圓心，以對角線 AC =a 之長為半徑畫五段圓弧，就可以作出一個圓弧五邊形，它便是一個寬度為a 的等寬曲線（如圖12、13所示）.類似地，還可作出圓弧七邊形、圓弧九邊形……得到各種“萊洛多邊形”，它們都是等寬曲線.

魯洛克斯的等寬曲線上有“尖點”，即在兩條圓弧相交處形成了角的頂點.可以按下面的方法得到?jīng)]有任何“尖點”的新等寬曲線：把等邊三角形的各邊向兩個方向延長相等的一段;以3個頂點為圓心畫圓弧，使得3個內(nèi)角所對的圓弧的半徑，等于邊長與延長線的長度的和;內(nèi)角的對頂角所對的圓弧的半徑，等于延長線的長.由這樣的六條圓弧組成的等寬曲線就沒有“尖點”，因此光滑得多了（如圖14、15）.

數(shù)學(xué)家巴比埃在1860年發(fā)現(xiàn)了一個定理：所有寬度為a 的等寬曲線都有相同的周長πa，也即是都等于直徑為 a 的圓的周長（讀者不妨加以證明）.

值得注意的是，等寬曲線不只限于圓弧等寬曲線，人們已發(fā)現(xiàn)了完全不包含圓弧的等寬曲線，那是一類特殊的“卵形曲線”.因此我們可以說等寬曲線還有許多離奇奧妙的性質(zhì)和用途等待我們?nèi)パ芯堪l(fā)掘.