袁昶旭

我們知道，雙曲線的離心率 e 是反映雙曲線幾何特征的一個(gè)重要數(shù)值.而求雙曲線的離心率，關(guān)鍵是抓住圓錐曲線的定義、性質(zhì)，弄清題目中蘊(yùn)含的幾何意義，建立關(guān)于a、 b、 c 的等量關(guān)系式，再將其合理變形，求得雙曲線的離心率e = .下面結(jié)合例題來(lái)探討一下如何求雙曲線的離心率.

例1.已知雙曲線的右準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線相交于 A ， B 兩點(diǎn)，且 F 是雙曲線的右焦點(diǎn)，若以 AB 為直徑的圓過(guò) F 點(diǎn)，求雙曲線的離心率.

解：設(shè)雙曲線的方程為，右準(zhǔn)線與 x 軸相交于點(diǎn) M，

由以 AB 為直徑的圓過(guò) F 點(diǎn)，A，B 兩點(diǎn)也關(guān)于x 軸對(duì)稱可得MA=MB=MF ，且雙曲線的漸近線方程為 y =± x，

于是MA=yA= xA- ?，即 c - = ?，

化簡(jiǎn)得a =b，

則 e = = = ，

故所求雙曲線的離心率為.

在本題中，我們利用已知的幾何關(guān)系及雙曲線的漸近線方程、準(zhǔn)線方程，建立了關(guān)于a、 b、 c 的等量關(guān)系式，從而求得雙曲線的離心率.雙曲線的漸近線方程、準(zhǔn)線方程均是與a、 b、 c 相關(guān)的式子，因此在求雙曲線的離心率時(shí)，同學(xué)們要重點(diǎn)關(guān)注雙曲線的漸近線方程、準(zhǔn)線方程，建立關(guān)于a，b，c 的關(guān)系式，便能輕易求出雙曲線的離心率.

例2.已知雙曲線 x2-y2=1（a >0，b >0）的左、右

焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.若點(diǎn) A 在雙曲線上，且∠F1AF2=90°，AF1=3AF2，求雙曲線的離心率.

解：因?yàn)锳F1=3AF2，①

由雙曲線定義得AF1-AF2=2a，②

由①②得AF1=3a，AF2=a .

又|F1F2|=2c，∠F1AF2=90°，

則|F1F22=AF12+AF2|2，即（2c）2=（3a）2+a2，得5a2=2c2，所以 =.

題目中給出了兩個(gè)焦半徑（曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的距離）之間的關(guān)系，由此便可直接根據(jù)雙曲線的定義來(lái)解題.而根據(jù)雙曲線的定義即可建立關(guān)于a，c 的等式，也就能根據(jù)雙曲線中b2=c2-a2的關(guān)系式求得雙曲線的離心率.因此，在解題時(shí)，要注意把握雙曲線的定義，建立關(guān)于雙曲線的焦半徑的關(guān)系式，這便為我們求離心率奠定了基礎(chǔ).

例3.如圖，若某雙曲線 C 的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60°，求此雙曲線的離心率.

解：設(shè)雙曲線方程為x

則F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），B1（0，b），B2（0，-b）.

由圖可知 c >b，所以∠B1F1B2=60°，

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性知，∠B1F1O =30°，

在 Rt△F1B1O 中，c = b ，

將其平方得c2=3（c2-a2），得 =，即 = ，

所以雙曲線的離心率是.

從已知條件中可獲知直角三角形的內(nèi)角度數(shù)，這便為后面解題提供了重要依據(jù)，然后結(jié)合圖形進(jìn)行分析，探討雙曲線的對(duì)稱性、各個(gè)點(diǎn)的位置以及關(guān)系，便可建立關(guān)于a、 c 的關(guān)系式，再通過(guò)運(yùn)算便可求得雙曲線的離心率.在求雙曲線的離心率時(shí)，要注重分析雙曲線的幾何性質(zhì)，構(gòu)造焦點(diǎn)三角形，便可建立關(guān)于a 、 b、 c 的式子，從而達(dá)到解題目的.

總之，要求雙曲線的離心率，要重點(diǎn)研究雙曲線的漸近線方程、準(zhǔn)線方程、焦半徑、焦點(diǎn)三角形、幾何性質(zhì)，從中挖掘出與a、 b、 c 相關(guān)的關(guān)系式，才能為求得雙曲線的離心率鋪平道路.

（作者單位：江蘇省鹽城市新洋高級(jí)中學(xué)）