邵凌云

圓錐曲線是高考數(shù)學(xué)中的重要考點(diǎn).圓錐曲線問題的命題方式有很多種，如求圓錐曲線的方程、求點(diǎn)到圓錐曲線的最小距離、求參數(shù)的取值范圍、判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等.而解答圓錐曲線問題常用到兩個技巧：運(yùn)用平面幾何知識以及方程思想.下面結(jié)合實(shí)例來進(jìn)行探討.

一、運(yùn)用平面幾何知識

對于一些與距離、面積、三角形、平行四邊形、圓有關(guān)的圓錐曲線問題，我們常常需借助平面幾何知識來解題.在解題時，可先根據(jù)題意繪制出相應(yīng)的幾何圖形，以便明確點(diǎn)、直線、曲線的位置關(guān)系，然后將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，通過研究三角形、平行四邊形、圓等平面圖形的性質(zhì)以及邊角關(guān)系，從而建立關(guān)系式，求得問題的答案.

例1.拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過 F 且斜率為 的直線與拋物線在 x 軸上方的部分相交于點(diǎn) A，AK⊥ l，垂足為 K，則△AFK 的面積是（? ）.

A.4 ?B.3? C.4 D.8

解：由直線的斜率為 可知直線的傾斜角為

，從而可得∠KAF = ，

所以根據(jù)三角形的面積公式可得 S△AKF=AK ?AF sin ，

由拋物線性質(zhì)可得AK =AF ，

由圖可得xA=OF +FM =OF +AF ，由焦半徑公式可得：AF 所以xA=OF +xA+1，解

得xA=3，從而可得AF =xA+1=4，

所以 S△AKF=AF 2 sin=4 .

因此答案為C.

要求得△AFK 的面積，我們需借助三角形的面積公式求得△AFK 的面積的表達(dá)式，求得三角形的一個夾角后便可將問題轉(zhuǎn)化為求 AF 的長度問題，借助拋物線、直角三角形的性質(zhì)以及點(diǎn)、線段的位置關(guān)系求得 AF 的長度，從而求得問題的答案.

二、運(yùn)用方程思想

方程思想是解答圓錐曲線問題的重要方法，尤其是在解答定值問題、直線與曲線位置關(guān)系問題、參數(shù)問題、交點(diǎn)問題時，運(yùn)用方程思想可使問題快速獲解.在運(yùn)用方程思想解題時，需先根據(jù)題意將直線與曲線的方程聯(lián)立，通過消元構(gòu)造一元二次方程，然后運(yùn)用韋達(dá)定理、方程的判別式，或通過解方程求得問題的答案.

例2.若 A，B 為橢圓C：+y2=1的左右兩個頂

點(diǎn)，過點(diǎn)（1，0）的直線 l 交橢圓于 M，N 兩點(diǎn)（M，N與A， B不重合） ，證明直線 AM 與直線 BN 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 定值.

解：

首先設(shè)出直線l 的方程以及 M、 N 的坐標(biāo)，再將直線與曲線的方程聯(lián)立得到一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理求得 y1+y2、y1y2的表達(dá)式，進(jìn)而得到直線 AM 與直線 BN 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，最后通過化簡證明其橫坐標(biāo)為定值4.

相比較而言，方程思想在解答圓錐曲線問題中的應(yīng)用較為廣泛，但是運(yùn)用平面幾何知識來解答圓錐曲線問題，可減少運(yùn)算量，簡化解題過程.解答圓錐曲線問題的手段還有很多種，如設(shè)而不求、采用點(diǎn)差法等.圓錐曲線問題的綜合性和抽象性較強(qiáng)，同學(xué)們在解題時需學(xué)會變通，靈活選擇合適的手段進(jìn)行求解.

（作者單位：江蘇省阜寧中學(xué)）