周潛，歐宜貴，鄧新春，黃振，黃玉蘭

（1.湖南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課部，湖南 長(zhǎng)沙 410000；2.海南大學(xué)理學(xué)院，海南 海口 570228）

當(dāng)前，我國處在對(duì)新冠肺炎疫情內(nèi)防擴(kuò)散、外防輸入的重要階段。因我國新冠肺炎疫情較早出現(xiàn)在湖北省，文章研究湖北省的新冠肺炎疫情相關(guān)數(shù)據(jù)，評(píng)估其發(fā)展進(jìn)程和不同防控措施的效果，對(duì)未來有針對(duì)性地確定防控措施及資源調(diào)配提供參考。

目前，眾多學(xué)者針對(duì)各類疫情展開了廣泛的研究，其主要研究方法可分為四類。第一，基于確定性SIR 動(dòng)力學(xué)模型思想的應(yīng)用研究。喻孜等對(duì)經(jīng)典SIR 模型進(jìn)行修正，利用時(shí)變參數(shù)對(duì)新冠肺炎疫情發(fā)展進(jìn)行預(yù)測(cè)，并分析了防控措施對(duì)疫情發(fā)展的影響［1］；Yang et al.應(yīng)用SEIR 模型，采用多重?cái)M合確定模型參數(shù)，對(duì)新冠肺炎疫情發(fā)展進(jìn)行了綜合預(yù)測(cè)［2］；Tang et al.基于新型冠狀病毒的臨床特征、傳染性特征以及相關(guān)干預(yù)措施，對(duì)倉室模型進(jìn)行了拓展，證明強(qiáng)化密切接觸者的追蹤、隔離可有效降低新冠肺炎疫情的傳播風(fēng)險(xiǎn)［3］；Jia et al.基于SEIR 模型，針對(duì)我國對(duì)新冠肺炎疫情的群體隔離政策進(jìn)行了建模，說明了隔離措施的有效性和必要性，同時(shí)分析了疫苗介入對(duì)疫情控制的影響［4］。第二，基于隨機(jī)性傳染病模型思想的應(yīng)用研究。Gray et al.基于感染者數(shù)量建立隨機(jī)微分方程，將經(jīng)典的SIS 模型拓展到了隨機(jī)模型［5］；Clancy 基于感染周期非指數(shù)分布的前提假設(shè)，構(gòu)建了一個(gè)分段馬爾可夫鏈模型，并用鞅推斷出了傳染病幸存者數(shù)量和感染者軌跡下的聯(lián)合分布［6］；徐寶春以SARS 為研究對(duì)象，對(duì)比研究了確定性SIR 模型和隨機(jī)性SIR模型［7］。第三，基于指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用研究。各學(xué)者采用指數(shù)增長(zhǎng)模型分析新冠肺炎疫情發(fā)展及防控工作進(jìn)展［8-10］。第四，基于統(tǒng)計(jì)學(xué)模型的應(yīng)用研究。各學(xué)者挖掘新冠肺炎疫情的小樣本數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)評(píng)估總體［11-12］。

確定性SIR 動(dòng)力學(xué)模型邏輯清晰，在實(shí)際中被廣泛應(yīng)用，但其忽略了病毒傳播過程中的隨機(jī)因素，僅探究整體發(fā)展規(guī)律，而實(shí)際情況中，新型冠狀病毒的傳播存在一定的隨機(jī)性，且病毒感染、恢復(fù)或死亡數(shù)量都是以人員個(gè)體為單位，并非確定性SIR 動(dòng)力學(xué)模型所假設(shè)的各群體數(shù)量連續(xù)性變化，同時(shí)，基于隨機(jī)性傳染病模型思想的新冠肺炎疫情應(yīng)用研究較少。文章沿用經(jīng)典SIR 倉室模型的理念，各群體數(shù)量的變化以人員個(gè)體為單位，將各類人群的數(shù)量視為隨機(jī)變量，應(yīng)用馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法（MCMC）［7，13］模擬新型冠狀病毒在不同倉室進(jìn)行轉(zhuǎn)移的可能性，記為SIR-MCMC方法，以此評(píng)估湖北省新冠肺炎疫情發(fā)展進(jìn)程和防控措施效果。

1 模型描述

1.1 模型建立

經(jīng)典SIR 倉室模型［14］116-117將人群分為易感者、感染者和移出者三類，并假設(shè)疾病傳播期內(nèi)，所考察地區(qū)的總?cè)丝诓蛔儯僭O(shè)β為單位時(shí)間內(nèi)感染者傳染易感者的概率，簡(jiǎn)稱感染強(qiáng)度，γ為單位時(shí)間內(nèi)從感染者變?yōu)橐瞥稣叩母怕?，即移除率?/p>

在以下三種假設(shè)條件下，文章沿用SIR 倉室模型來研究新型冠狀病毒的傳播：新型冠狀病毒傳播期內(nèi)，我國政府及時(shí)采取管控措施，有效地控制了人員流動(dòng)，故在忽略自然死亡及出生等因素的前提下，假設(shè)傳播期內(nèi)湖北省總?cè)丝诓蛔儯浑m一旦成為疑似或確診人員，就會(huì)被政府迅速隔離，但考慮到管控期間的大范圍人際流動(dòng)少，多為家庭內(nèi)或小范圍內(nèi)的人際頻繁流動(dòng)，故假設(shè)新增確診病例均由已確診病例感染；考慮到新型冠狀病毒二次感染情形相對(duì)較少，為了便于研究，這里假設(shè)患者康復(fù)后再次被感染的概率為0。

文章記S（t）為t時(shí)刻正常且易感的總?cè)藬?shù)，I（t）為t時(shí)刻現(xiàn)有確診人數(shù)，R（t）為t時(shí)刻已經(jīng)治愈和治療過程中死亡的總?cè)藬?shù)，對(duì)應(yīng)SIR 模型的三類人群。將S（t）、I（t）、R（t）當(dāng)作取值為非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量，沿用經(jīng)典SIR 模型的基本假設(shè)，假定S（t）+I（t）+R（t）=N，只研究其中兩個(gè)隨機(jī)變量即可，那么可將{S（t），I（t），t≥0} 視為二元隨機(jī)過程來研究，設(shè)該隨機(jī)過程是時(shí)齊的馬爾可夫鏈［13］，其聯(lián)合概率函數(shù)記為：

由經(jīng)典SIR 模型的假設(shè)可知，當(dāng)時(shí)間間隔Δt足夠小時(shí)，至多發(fā)生一次狀態(tài)轉(zhuǎn)移，故轉(zhuǎn)移概率的具體形式如下：

1.2 參數(shù)處理及模型求解

自2020 年1 月21 日開始，國家衛(wèi)生健康委員會(huì)公布每日全國新冠肺炎疫情數(shù)據(jù)。文章樣本數(shù)據(jù)選自2020 年1 月21 日至4 月26 日的湖北省新冠肺炎疫情數(shù)據(jù)，主要采集累計(jì)確診人數(shù)、新增確診人數(shù)、累計(jì)治愈人數(shù)、累計(jì)死亡人數(shù)等信息，數(shù)據(jù)來源于國家衛(wèi)生健康委員會(huì)及湖北省衛(wèi)生健康委員會(huì)官方網(wǎng)站①中華人民共和國國家衛(wèi)生健康委員會(huì)官網(wǎng)：http：//www.nhc.gov.cn；湖北省衛(wèi)生健康委員會(huì)官網(wǎng)：http：//wjw.hubei.gov.cn。。

對(duì)模型進(jìn)行求解，首先確定參數(shù)取值，湖北省人口約6 000 萬，因衛(wèi)生管控措施影響，感染者真正能接觸到的易感者人數(shù)未知，即S（0）未知，將2020 年1 月21 日定義為初始日，則確診人數(shù)的初始值I（0）=338，假定R（0）=0，則三個(gè)待估參數(shù)分別是移除率γ，感染強(qiáng)度β和易感者初值S（0）。

1.2.1 估計(jì)移除率

圖1 不同β 與S（0）組合下的SSE

圖2 對(duì)比了確診人數(shù)模型擬合值與實(shí)際觀測(cè)值，不難發(fā)現(xiàn)，基于SIR-MCMC 的隨機(jī)模型較好地?cái)M合了確診人數(shù)的發(fā)展變化。

圖2 確診人數(shù)擬合值與實(shí)際觀測(cè)值對(duì)比

2 新冠肺炎疫情評(píng)估與防控

為評(píng)估新冠肺炎疫情發(fā)展進(jìn)程及不同防控措施的效果，文章結(jié)合上文的已估計(jì)參數(shù)，分別從基礎(chǔ)再生數(shù)、t時(shí)刻現(xiàn)有確診人數(shù)可靠性、感染強(qiáng)度β、移除率γ和疫苗介入這五個(gè)方面來分析。

2.1 基礎(chǔ)再生數(shù)

發(fā)展初期，基礎(chǔ)再生數(shù)是用于預(yù)估新冠肺炎疫情是否可能暴發(fā)的重要指標(biāo)，據(jù)SIR-MCMC 方法計(jì)算的參數(shù)估計(jì)值β=0.000 003，S（0）=114 000，結(jié)合γ=0.077，不難得出樣本所屬疫情階段的基礎(chǔ)再生數(shù)R0：

這表明每個(gè)感染者在其患病期內(nèi)有可能感染4.441 6 個(gè)易感者，政府綜合管控的壓力較大，必須采取嚴(yán)格的綜合防控措施。

為刻畫新冠肺炎疫情發(fā)展進(jìn)程及防控措施效果，結(jié)合已估計(jì)參數(shù)，基于SIR-MCMC 模擬出S（t）序列，同理可根據(jù)如下公式，計(jì)算新冠肺炎疫情發(fā)展過程中的有效再生數(shù)Rt：

據(jù)模型假設(shè)可知，易感者人數(shù)隨時(shí)間增加而減少，故有效再生數(shù)呈下降趨勢(shì)，具體趨勢(shì)如圖3 所示。2020 年2 月17 日、18 日的有效再生數(shù)分別為1.018 3、0.875 5，即2020 年1 月21 日至2 月17 日，有效再生數(shù)大于1，表明新冠肺炎疫情規(guī)模持續(xù)擴(kuò)大；自2020年2 月18 日開始，有效再生數(shù)小于1，即每個(gè)感染者在之后預(yù)期感染的平均易感者人數(shù)小于1，表明我國政府嚴(yán)格的防控措施效果逐漸顯現(xiàn)，疫情逐步得到控制，較好地吻合了實(shí)際觀測(cè)值的變化。

圖3 有效再生數(shù)

2.2 評(píng)估t 時(shí)刻現(xiàn)有確診人數(shù)

文章為便于掌握疫情觀測(cè)數(shù)據(jù)的可靠性，采用SIR-MCMC 方法，結(jié)合已估計(jì)參數(shù)，模擬1 000 條I（t）散點(diǎn)圖，易得I（t）的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、頻率分布等統(tǒng)計(jì)信息。因確診人數(shù)的觀測(cè)數(shù)據(jù)受諸多因素影響，離散程度偏大，不宜采用基于置信度的置信區(qū)間來衡量，故采用偏離均值n倍標(biāo)準(zhǔn)差的形式來描述I（t）。表1 截取了2020年3 月1 日—9 日的確診人數(shù)相關(guān)指標(biāo)，據(jù)此可知，I（t）的實(shí)際觀測(cè)值均處在偏離均值2 倍標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間內(nèi)，其中大部分處在偏離均值1 倍標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間內(nèi)，說明實(shí)際觀測(cè)值的可靠性較好。

表1 t 時(shí)刻現(xiàn)有確診人數(shù)相關(guān)指標(biāo)

2.3 感染強(qiáng)度β 分析

感染強(qiáng)度β是影響病毒傳播的重要因素，現(xiàn)有確診人數(shù)是防疫措施制定及醫(yī)療資源調(diào)配的重要參考指標(biāo)，為衡量β改變對(duì)確診人數(shù)影響的數(shù)量化程度，假定其他參數(shù)均不變，僅將β分別降低20%、50%，分別對(duì)其采用SIR-MCMC 模擬1 000 條I（t）散點(diǎn)圖，并取t時(shí)刻的均值作為確診人數(shù)的擬合值，對(duì)比不同β下，確診人數(shù)隨時(shí)間的變化情況。如圖4所示，相比原模型，且β降低20%、50%時(shí)，確診人數(shù)峰值分別下降了17.56%、56.39%，抑制效果均較明顯，同時(shí)推遲了峰值時(shí)間，緩解了衛(wèi)生防疫壓力，而β降低時(shí)，基礎(chǔ)再生數(shù)變小，新冠肺炎疫情也更易得到控制。這表明降低感染強(qiáng)度β的措施有利于對(duì)新冠肺炎疫情的控制，也有利于對(duì)醫(yī)療壓力的緩解，具體措施包括重點(diǎn)提高衛(wèi)生防疫水平，提高篩查率，早隔離、早治療，保護(hù)一線醫(yī)務(wù)人員等高危易感群體。

圖4 β 改變下的確診人數(shù)動(dòng)態(tài)

2.4 移除率γ 分析

為衡量γ改變對(duì)確診人數(shù)影響的數(shù)量化程度，同樣假定其他參數(shù)均不變，僅對(duì)γ分別增大20%、50%，對(duì)比不同γ下，確診人數(shù)隨時(shí)間推移的變化情況。如圖5 所示，相比原模型，當(dāng)γ增大20%、50%時(shí)，確診人數(shù)峰值分別下降了14.28%、32.48%，抑制均較明顯，峰值時(shí)間變化不大，且γ增大時(shí)，基礎(chǔ)再生數(shù)變小，新冠肺炎疫情更易得到控制。這表明增大γ的措施，同樣有利于對(duì)新冠肺炎疫情的控制，也有利于對(duì)醫(yī)療壓力的緩解，具體措施包括重點(diǎn)提高治療水平，同時(shí)防治并發(fā)癥。

圖5 γ 改變下的確診人數(shù)動(dòng)態(tài)

2.5 疫苗介入分析

為衡量疫苗介入對(duì)確診人數(shù)影響的數(shù)量化程度，同樣假定其他參數(shù)均不變，將疫苗保護(hù)率從0%分別提高到20%、50%，即易感人群分別下降20%、50%，對(duì)比不同疫苗保護(hù)率下，確診人數(shù)隨時(shí)間的變化情況。如圖6 所示，相比原模型，當(dāng)疫苗保護(hù)率為20%、50%時(shí)，確診人數(shù)峰值分別下降了33.94%、77.82%，抑制非常明顯，同時(shí)推遲了峰值時(shí)間。這表明較大面積接種疫苗，對(duì)防控新冠肺炎疫情是非常有效的。

圖6 不同疫苗保護(hù)率下的確診人數(shù)動(dòng)態(tài)

3 結(jié)語

文章基于SIR-MCMC 方法，采用實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)擬合得出湖北省新型冠狀病毒感染強(qiáng)度β=0.000 003，易感者初值S（0）=114 000，較好地吻合了實(shí)際數(shù)據(jù)，同時(shí)從五個(gè)方面研究了湖北省的新冠肺炎疫情發(fā)展和不同防控措施的效果，得出如下結(jié)論及建議。

（1）湖北省新型冠狀病毒的基礎(chǔ)再生數(shù)為4.441 6，必須對(duì)其采取嚴(yán)格的綜合防控措施。自2020 年2 月18 日開始，有效再生數(shù)小于1，政府嚴(yán)格的防控措施效果逐漸顯現(xiàn)，疫情逐步得到控制。

（2）通過模型仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證了t時(shí)刻現(xiàn)有確診人數(shù)的可靠性，此方法亦可用于預(yù)測(cè)。

（3）降低感染強(qiáng)度β、增大移除率γ以及疫苗介入的措施，均有利于對(duì)新冠肺炎疫情的控制，有利于對(duì)醫(yī)療壓力的緩解。當(dāng)β降低20%、50%時(shí)，確診人數(shù)峰值分別下降了17.56%、56.39%；當(dāng)γ增大20%、50%時(shí)，確診人數(shù)峰值分別下降了14.28%、32.48%；當(dāng)疫苗保護(hù)率為20%、50%時(shí)，確診人數(shù)峰值分別下降了33.94%、77.82%。