梁媛媛 王會敏 張?zhí)禊i 李 坤

(紹興文理學院 數(shù)理信息學院，浙江 紹興 312000)

0 引言

超分辨率,即通過軟件或硬件提高原圖的分辨率,在信號處理中至關重要,其應用領域包括光學成像[1]、天文學[2]、醫(yī)學成像[3-4]和顯微鏡[5]等.目前,對無噪聲超分辨率問題[6]的研究較多,常采用凸規(guī)劃、梯度下降法等方法來解決此類問題.

在利用凸規(guī)劃方法處理超分辨率[7-8]問題時,點源之間的距離必須滿足最小分離條件Δ>2/fc.Denoyelle等[9]提出條件梯度法的改進算法,Boyds等[10]提出一種條件梯度法(CGM)的變體,但只適用于有限維信號.

另外,在處理超分辨率問題時,難以避免的噪聲吸引了廣大學者的注意.Donoho[11]研究了從光譜中恢復連續(xù)性度量問題.Fernandez[12]和Azais等[13]證明恢復的尖峰聚集在初始測量的Dirac測量周圍.Fernandez[14]表明,當噪聲水平相對于信號的振幅很小時,只要支集中元素之間的距離大于2/fc,通過求解凸規(guī)劃問題,便可以解決噪聲低通數(shù)據(jù)的點源疊加問題.Schiebinger等[15]對衍射極限超分辨率的理論分析證明,在理想情況下可以恢復任意接近的點源.Fernandez等[16]構造了一個準則,它為稀疏噪聲情況下的光譜超分辨率提供了恢復保證.Candès,Fernandez[17]和Bernstein等[18]表明處理帶噪聲的一維超分辨率的方法可以擴展到多維,但均未給出詳細的過程.

本文推廣了Emmanuel構造的低頻多項式,采用TV范數(shù)最小化方法研究二維帶噪聲的超分辨率問題.結果表明,當點源之間的距離滿足最小分離條件時,估計誤差與噪聲水平及超分辨率因子的平方成正比.

1 預備知識

1.1 超分辨率問題與模型

將二維帶噪聲的超分辨率問題建模為

y(x)=(Qlos)(x)+ξ(x)

(1.1)

其中x=(t,u)是在平面空間[0,1]2中的連續(xù)參數(shù)(位置、頻率等),噪聲ξ(x)可以是隨機的也可以是確定的,Qlo是截止頻率為flo=1/λlo的帶限算子,λlo是周期.

下面對點源疊加問題進行建模

其中xj是平面空間[0,1]2中的點,δxj是在xj處的Dirac測量,振幅aj可以是復值.

希望在更精細的尺度λhi?λlo上處理信號s,即得到一個滿足Qhisest≈Qhis的高分辨率估計sest,其中Qhi與Qlo的定義相似.換言之,在已知低頻光譜[-flo,flo]的噪聲數(shù)據(jù)的情況下,希望估計更寬的頻譜[-fhi,fhi].下面定義超分辨率因子SRF

簡而言之,如果SRF等于N,則希望分辨率為原來的N倍.目標是了解在λhi上估計信號與真實信號Khi(sest-s)之間的誤差與噪聲水平及SRF的關系.

1.2 用凸規(guī)劃方法對模型求解

假設模型(1.1)中的x∈[0,1]2,ξ(x)是一個帶限測量誤差項且滿足

(1.2)

誤差ξ(x)可以是任意的,也可以是對抗的.

具體地,設Klo為周期的Dirichlet核

為了恢復信號,求解凸問題

(1.3)

2 主要結果

2.1 最小分離條件

目標是近似信號,直到達到一定的分辨率,該分辨率由計算誤差的平滑核λhi>λlo的寬度決定.為了達到此目標,設

是具有截止頻率fhi=1/λhi的Ferjer內核.

無論使用哪種方法來實現(xiàn)超分辨率,都必須引入一個關于信號支集的條件,以防止點源過于聚集[19].下面,在定義中給出關于二維信號的最小分離概念及噪聲水平,在定理中給出估計誤差與噪聲水平及SRF之間的關系.

定義2.1(最小分離) 對于點族J∈R2,J中兩個元素的對應變量之間的最小距離

稱為最小分離,其中σt,σu是內核在t,u處的標準差,(1.2)表明,低分辨率誤差服從

‖Klo*(sest-s)‖L1≤δ.

定理2.1 假設s的支集J服從分離條件

Δ(J)≥2λlo

則在噪聲模型(1.2)中,存在一個常數(shù)C0>0,使得問題(1.3)的任何解sest都滿足

‖Khi*(sest-s)‖L1≤C0SRF2δ.

為了簡單起見,分析問題(1.3)和噪聲的有界L1范數(shù).例如,假設觀察到有噪聲的頻譜樣本為

=-flo,-flo+1,…,flo

(2.1)

其中εk1,k2為復值N(0,σ2)變量上的獨立同分布序列,這等價于一個具有加性高斯白噪聲的線譜估計問題.為了對該模型下的信號進行求解,提出以下凸優(yōu)化方法

(2.2)

的概率至少為1-e-2floγ2.

2.2 高分辨率內核的界

為了證明定理2.1,需要給出Ferjer核及其導數(shù)的界

(2.3)

(2.4)

其中C0、C1和C2是獨立于λhi的正常數(shù),f:[0,1/2]→R2是非負遞增函數(shù).

3 證明

令J={xj}是s的支集,x∈R2,并定義互不相交的子集

令h=s-sest,則誤差遵循

‖Qloh‖L1≤‖Qlos-y‖L1+‖y-Qlosest‖L1≤2δ

由‖h‖TV≤‖s‖TV+‖sest‖TV≤2‖s‖TV知TV范數(shù)有界,目標是約束平滑誤差e:=Khi*h

在證明定理2.1時,需要對h的TV范數(shù)做出限制,這在引理3.1中給出.而在應用引理3.1中的邊界時,需要控制測度值h在一個常數(shù)和一個線性函數(shù)上的局部作用,這些局部界將在引理3.2和引理3.3中給出.

引理3.1 在定理2的條件下,存在Ca>0和,Cb>0滿足

引理3.2 在定理2的條件下,且測度h滿足‖Qloh‖L1≤2δ,則

引理3.3 在定理2的條件下,且測度h滿足‖Qloh‖L1≤2δ,則

3.1 證明思路

引理3.1、3.2和3.3的證明,均依賴于引理3.4中構造的低頻多項式,此多項式是對引理2.4[17]中的多項式的推廣.引理3.2的證明還依賴于當x接近支集的任何元素時,b(x)所選擇的符號模式,這在引理3.5給出.

本節(jié)分別在3.1.1節(jié)及3.1.2節(jié)中證明了引理3.1和引理3.2.由于篇幅有限,文中省略了引理3.3及引理3.5的證明,引理3.3的證明與引理3.2的證明思路相似,引理3.5的證明可參照附錄A[17]和3.3[18],將一維信號改為二維信號即可.

滿足

b(xj)=vj,xj∈J

(3.1)

(3.2)

(3.3)

其中Ca,Cb是常數(shù),且0

引理3.5 存在一個低頻多項式b(x)滿足引理3.4中的性質,另外

3.1.1 證明引理3.1

證明 應用定理6.12的推論[20],對PJh進行極分解

PJh=eiφ(x)|PJh|

其中φ(x)是定義在R2上的實函數(shù),令vj=e-iφ(xj),因為b是低頻的,

(3.4)

由于b在J上插入e-iφ

(3.5)

(3.6)

(3.7)

將式(3.6)和式(3.7)代入到(3.5)的最后一個不等式右側可以得到

類似地,有

3.1.2 證明引理3.2

證明 考慮極分解

其中θj∈[0,2π).設引理3.4中的vj=eiθj,由三角不等式得

(3.8)

對所有的xj∈J，由三角不等式和(3.4)知

(3.9)

其中第二項由引理3.5中的xj=(0,0)得到,將(3.9)代入(3.8)得

3.2 證明定理2.1

首先應用三角形不等式得到一個關于‖e‖L1的界

(3.10)

(3.11)

為了約束(3.10)第二個不等式右側的第二項,利用在xj附近的ψ(τ)=Khi(x-τ)的Taylor級數(shù)展開所得到的超分辨率核的一階近似,則對于任何滿足|τ-xj|≤ωλhi的τ

不失一般性,設xj=(0,0),結合三角不等式,得

(3.12)

再次將Fubini定理與(2.3)相結合,得到

(3.13)

(3.14)

(3.15)

由(2.3)和(2.4)得

(3.16)

對于一個常數(shù)C4>0,結合Fubini定理,得

(3.17)