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基于指定性能的非線性系統(tǒng)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)滑?？刂?/h1>
2022-03-21 14:29楊祎桀曲袁超
關(guān)鍵詞：滑模滑動(dòng)邊界

楊祎桀, 劉 冬, 曲袁超

(1. 沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 沈陽(yáng) 110136; 2. 遼寧大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110136)

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展,實(shí)際受控系統(tǒng)的復(fù)雜性日益增加,使得系統(tǒng)建模愈加困難。在此背景下,系統(tǒng)在線數(shù)據(jù)的利用顯得格外重要。數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制方法在控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中只使用輸入輸出數(shù)據(jù),而不需要系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型,從而引起了研究人員的廣泛興趣。近年來(lái),出現(xiàn)了許多數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制方法,如無(wú)模型自適應(yīng)控制[1]、虛擬參考反饋整定[2]和迭代學(xué)習(xí)控制[3]等。

現(xiàn)代控制理論與方法可以很好地解決機(jī)理模型可精確獲取和機(jī)理模型可獲取但含有不確定因素2種被控對(duì)象。但對(duì)于復(fù)雜的高階、強(qiáng)非線性的被控對(duì)象,機(jī)理模型很難建立或不可獲取。因此,無(wú)模型自適應(yīng)控制方法由于不需要數(shù)學(xué)模型的顯式或隱式知識(shí)而引起了廣泛關(guān)注。無(wú)模型自適應(yīng)控制方法首先在文獻(xiàn)[4]中被提出,在文獻(xiàn)[5-7]中被擴(kuò)展和完善?；趧?dòng)態(tài)線性化技術(shù)和偽偏導(dǎo)數(shù)的概念,研究人員沿閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)操作點(diǎn)建立了一系列的局部動(dòng)態(tài)線性化數(shù)據(jù)模型,包括緊格式動(dòng)態(tài)線性化、偏格式動(dòng)態(tài)線性化和全格式動(dòng)態(tài)線性化等效的局部動(dòng)態(tài)線性化數(shù)據(jù)模型。迄今為止,無(wú)模型自適應(yīng)控制已成功應(yīng)用于許多領(lǐng)域,如無(wú)人駕駛技術(shù)等[8]。

另一方面,滑模控制方法因其對(duì)不確定性和外界干擾的魯棒性以及具有較快的收斂速度而得到廣泛應(yīng)用。為了充分利用無(wú)模型自適應(yīng)控制和滑模控制的優(yōu)點(diǎn),文獻(xiàn)[9]中引入了一種基于無(wú)模型自適應(yīng)控制的離散滑?？刂破?。隨后,在文獻(xiàn)[9]的啟發(fā)下,出現(xiàn)了各種類型的無(wú)模型自適應(yīng)滑模控制器。在文獻(xiàn)[10]中,針對(duì)不確定機(jī)器人系統(tǒng)模型不準(zhǔn)確和參數(shù)時(shí)變的問(wèn)題,提出了一種無(wú)模型自適應(yīng)滑?？刂品椒?證明了即使在無(wú)法建立準(zhǔn)確模型的情況下,所提出的方法也可使不確定機(jī)器人系統(tǒng)穩(wěn)定?；？刂浦械亩额潌?wèn)題不可避免地影響著控制性能,為此,研究人員提出了許多抑制抖顫問(wèn)題的方法,如趨近律法和邊界層法等。

為了實(shí)現(xiàn)靜態(tài)和瞬態(tài)條件下的跟蹤性能, 同時(shí)保證變換誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性, 在文獻(xiàn)[11]中提出了指定性能控制方法。 近年來(lái),許多文獻(xiàn)將指定性能控制方法與其他方法相結(jié)合并應(yīng)用于各種系統(tǒng)中。 如文獻(xiàn)[12]在考慮指定性能和全狀態(tài)約束的基礎(chǔ)上提出了一種事件觸發(fā)自適應(yīng)控制算法, 解決了一類非嚴(yán)反饋非線性多智能體系統(tǒng)的一致性跟蹤問(wèn)題。 針對(duì)一類帶有輸入死區(qū)約束的嚴(yán)反饋非線性系統(tǒng), 文獻(xiàn)[13]將指定性能控制與模糊控制、最優(yōu)控制、backstepping方法及命令濾波技術(shù)和自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃技術(shù)相結(jié)合, 設(shè)計(jì)了一種最優(yōu)反饋控制器。

基于上述討論,針對(duì)單輸入單輸出離散非線性系統(tǒng),本文提出了一種基于指定性能的無(wú)模型自適應(yīng)滑?？刂品椒āＥc已有的具有預(yù)先定義性能的滑?？刂破髟O(shè)計(jì)文獻(xiàn)相比,本文引入一種新的正切型誤差轉(zhuǎn)換函數(shù),以保證跟蹤誤差收斂到預(yù)定義的可調(diào)邊界內(nèi),不同于現(xiàn)有的常用誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)[14]。 除此之外,將一種新的滑?？刂瓶蚣芘c指定性能方法相結(jié)合,并通過(guò)構(gòu)造符號(hào)之間的關(guān)系,證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性。 與現(xiàn)有的指定性能方案[15-17]相比,該設(shè)計(jì)方法僅依賴于被控對(duì)象的輸入輸出測(cè)量數(shù)據(jù),在提高工業(yè)信息利用率的同時(shí),消除了建模所帶來(lái)的困擾。

1 問(wèn)題描述

1.1 非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)線性化

考慮下列離散時(shí)間非線性系統(tǒng):

y(k+1)=f(u(k),…,u(k-nu),y(k),…,y(k-ny))

(1)

其中:函數(shù)f(·) 代表未知的非線性函數(shù);u(k)和y(k)分別為系統(tǒng)在k時(shí)刻的輸入和輸出;nu和ny為它們相應(yīng)的階數(shù)。

假設(shè)1 函數(shù)f(·)關(guān)于系統(tǒng)輸入u(k),u(k-1),…,u(k-nu)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。

假設(shè)2 非線性系統(tǒng)(1)滿足廣義利普希茨條件。即對(duì)于任意時(shí)刻k,若||φ(k)||≠0,則有|Δy(k+1)|≤χ||φ(k)||成立。其中φ(k)=[Δy(k);Δu(k)],Δy(k)=y(k)-y(k-1), Δu(k)=u(k)-u(k-1),χ為一個(gè)大于零的常數(shù)。

從實(shí)際角度來(lái)看,假設(shè)1描述了常見(jiàn)非線性系統(tǒng)的一般條件,假設(shè)2表示系統(tǒng)輸出變化率是受系統(tǒng)輸入變化率限制的,因而上述2個(gè)假設(shè)具有合理性?；谝陨?個(gè)假設(shè),引入一個(gè)被稱為偽偏導(dǎo)數(shù)的時(shí)變向量ψ(k)=[ψ(1,k);ψ(2,k)],使得系統(tǒng)(1)被描述為

y(k+1)=y(k)+φT(k)ψ(k)

(2)

考慮以下代價(jià)函數(shù):

(3)

(4)

1.2 指定性能函數(shù)

考慮以下的離散時(shí)間正遞減邊界和光滑函數(shù)ρ(k):

追蹤誤差定義為e(k)=yd(k)-y(k),yd(k)為預(yù)期軌跡,α和β為2個(gè)正數(shù),代表著追蹤誤差的邊界范圍可調(diào)。邊界初值ρ(0)>邊界終值ρ(∞)>0,γ∈(0,1)為收斂率。顯然,光滑函數(shù)ρ(k)是收斂的。

指定性能控制保證了追蹤誤差維持在預(yù)定義的邊界(5)內(nèi)。在嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)Ω(ε(k))中引入變換誤差ε(k),使得

e(k)=ρ(k)Ω(ε(k))

(8)

其中遞增函數(shù)Ω(ε(k))對(duì)于任意ε(k)∈R有以下性質(zhì):

選擇合適的參數(shù)初值使得-ρ(0)

(9)

因此,ε(k)可以表示為

(10)

1.3 修改收斂域

當(dāng)α≠β時(shí),2個(gè)可調(diào)收斂邊界的參數(shù)函數(shù)α(k),β(k)調(diào)整如下:

其中α(0)和β(0)為α(k)和β(k)的初值,滿足如下條件:

修改后的收斂域和變換誤差函數(shù)重新定義為

在接下來(lái)的控制器設(shè)計(jì)中將會(huì)使用修改后的約束條件。另外,約束條件(13)和max{·}函數(shù)的存在保證了任意時(shí)刻下的Ω(ε(k))∈(-1,1)。

此外,參數(shù)ρ(0),ρ(∞)和γ是影響控制性能的關(guān)鍵因素。參數(shù)ρ(0)表示初始階段誤差的基本最大約束值,參數(shù)ρ(∞)決定穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差的最大允許邊界,參數(shù)γ為可調(diào)約束邊界的收斂速度。

2 具有指定性能的無(wú)模型自適應(yīng)滑模控制

2.1 控制器設(shè)計(jì)

不同于一般的滑模面,本節(jié)對(duì)于離散時(shí)間非線性系統(tǒng)(1),在如下的滑模面構(gòu)造中考慮變換誤差ε(k),而不是傳統(tǒng)的追蹤誤差e(k)。

s(k)=s(k-1)+κε(k)-ε(k-1)

(15)

其中1<κ<2。在變換誤差式的作用下,式(15)可以進(jìn)一步表示為

(16)

(17)

在趨近律Δs(k+1)=s(k+1)-s(k)的作用下,結(jié)合式(16)和式(17),可以推導(dǎo)出如下的等效控制律:

(18)

u(k)=u(k-1)+ue(k)+us(k)

(19)

給出開(kāi)關(guān)控制律us(k)如下:

(20)

(21)

2.2 符號(hào)關(guān)系的構(gòu)造

為方便起見(jiàn),定義以下函數(shù):

(22)

聯(lián)立式(16)、式(17)、式(21)和式(22),滑動(dòng)函數(shù)可以更新為

(23)

引理1[18]由正切函數(shù)的(2,2)階帕德近似可得以下關(guān)系:

定理1 在任意時(shí)刻k,θ(k)與ε(k)符號(hào)相同,與ε(k+1)符號(hào)相反。

再聯(lián)立式(17)、式(21)和式(22)可得

(24)

(25)

從引理2可以得到

(26)

通過(guò)已知的符號(hào)關(guān)系不難看出ε(k)tan(θ(k))+κ>0恒成立。

將式(25)的兩邊同除以θ(k),再由引理2可推導(dǎo)出以下恒不等式:

(27)

對(duì)于該不等式,假設(shè)θ(k)>0,可知ε(k)/(ε(k)tan(θ(k))+κ)>ε(k+1)。

1) 若ε(k)>0,由于ε(k)tan(θ(k))+κ>0,可以推導(dǎo)出ε(k+1)/ε(k)小于1/(ε(k)tan(θ(k))+κ)的最小值為0。也就是說(shuō),此時(shí)ε(k)與ε(k+1)符號(hào)相反。

2) 若ε(k)<0,同理可以推導(dǎo)出ε(k+1)/ε(k)大于1/(ε(k)tan(θ(k))+κ)的最大值為+∞,此時(shí)顯然產(chǎn)生了矛盾。

綜上所述,在θ(k)>0的假設(shè)下可知ε(k)>0且ε(k+1)<0。那么在θ(k)<0時(shí),同理可知ε(k)<0且ε(k+1)>0。由此證明了θ(k)與ε(k)符號(hào)相同且與ε(k+1)符號(hào)相反的結(jié)論。

3 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

定理2 考慮帶有變換誤差函數(shù)(14)和滑模面(15)的離散時(shí)間非線性系統(tǒng)(1),滑動(dòng)變量s(k)可以在控制律(21)的作用下保持在一定區(qū)域內(nèi),同時(shí)變換誤差的有界使得指定的追蹤性能被保證。

證明 首先通過(guò)之前構(gòu)造的符號(hào)關(guān)系來(lái)討論θ(k)與ε(k)之間的大小關(guān)系,由式(25)可得

再由1<κ<2和引理2可知:當(dāng)θ(k)>0時(shí),有θ(k)>ε(k)>0;當(dāng)θ(k)<0時(shí),有θ(k)<ε(k)<0。

步驟1 由式(23)可知

由于s(k)和θ(k)符號(hào)相同且ε(k)tan(θ(k))+κ>0,不難得出Δs(k+1)s(k)<0,這也就意味著若滑動(dòng)變量s(k)在準(zhǔn)滑動(dòng)域外時(shí),會(huì)在接下來(lái)的時(shí)刻向準(zhǔn)滑動(dòng)域收斂。

步驟2 由之前對(duì)ξ(k+1)的定義可得

(28)

定義如下的準(zhǔn)滑動(dòng)域:

當(dāng)s(k)?Λ時(shí),由步驟1可知滑動(dòng)變量s(k)會(huì)逐漸向準(zhǔn)滑動(dòng)域Λ收斂。當(dāng)s(k)∈Λ時(shí),由式(23)和上述推導(dǎo)過(guò)程可以保證k+1時(shí)刻的滑動(dòng)變量同樣被約束在準(zhǔn)滑動(dòng)域內(nèi),即s(k+1)∈A。

回顧公式(15)不難看出ε(k)有界,也就意味著追蹤誤差滿足條件(13)。同時(shí)通過(guò)式(28)和反正切函數(shù)的性質(zhì)可以進(jìn)一步給出k+1時(shí)刻的追蹤誤差在如下范圍內(nèi):

-ρ(∞)-τs

綜上,滑動(dòng)變量s(k)和追蹤誤差e(k)的全局有界性得證。

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的具有指定性能的無(wú)模型自適應(yīng)滑模控制方案的有效性,考慮如下的離散時(shí)間非線性模型:

參考信號(hào)選擇為

對(duì)控制效果有較大影響的一些參數(shù)和初值選擇如下:γ=0.03,γ越大,可調(diào)邊界的收斂速度越快;ρ(∞)=0.05,決定著穩(wěn)定后誤差的約束范圍和跟蹤效果;τs=0.001,與滑?？刂频亩额澯绊懗烧?κ=1.6,對(duì)控制的跟蹤精度有一定的影響;ρ(0)=0.5,代表可調(diào)邊界的初始值;α(0)=β(0)=5,決定了初始狀態(tài)下可調(diào)邊界的放大比例;ψ(0)=[1.8;8.2],為偽偏導(dǎo)數(shù)時(shí)變向量的初始值,影響著整體的控制性能。其他參數(shù)選擇為:σ=δ=0.1,μ=λ=1。將所提出的方案與傳統(tǒng)的無(wú)模型自適應(yīng)方案和文獻(xiàn)[19]中的無(wú)模型自適應(yīng)滑模控制方案相比較,在關(guān)鍵參數(shù)一致的情況下,各控制方案的跟蹤效果如圖1所示,所提出方案的跟蹤誤差約束效果如圖2所示。

圖1 跟蹤效果對(duì)比曲線Fig.1 Tracking effect comparison curve

從圖1的控制效果可以看出,3種控制方案均可以起到較好的跟蹤效果,并基本消除了滑模控制所帶來(lái)的抖顫影響,而所提出的方案也具有更為優(yōu)秀的快速性和跟蹤精度。

圖2 跟蹤誤差約束效果Fig.2 Tracking error constraint effect

從圖2的跟蹤誤差約束效果可以看出,提出的方案在所有時(shí)刻都可以將追蹤誤差限制在一定范圍內(nèi)。由此也驗(yàn)證了所提出的具有指定性能的無(wú)模型自適應(yīng)滑?？刂品桨傅挠行?。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文對(duì)于一類離散時(shí)間單輸入單輸出系統(tǒng)提出了一種新穎的帶有指定性能的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)自適應(yīng)滑模控制方案。在無(wú)模型自適應(yīng)控制的框架下,將一種帶有正切型誤差變換函數(shù)的指定性能控制方法與滑?？刂品椒ㄏ嘟Y(jié)合,保證了追蹤誤差在任意時(shí)刻都可以收斂到指定的范圍中。通過(guò)構(gòu)造參數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系證明了滑動(dòng)函數(shù)的有界性,并仿真驗(yàn)證了所提出方案的可行性與優(yōu)越性。未來(lái)的研究工作將會(huì)考慮多輸入多輸出系統(tǒng)和多智能體系統(tǒng),并對(duì)現(xiàn)有方案進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化與加強(qiáng)。

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