崔阿能，胡 斌,2，崔 凱，劉 楊，李 京

(1. 武漢科技大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院，湖北 武漢 430081；2. 冶金礦產(chǎn)資源高效利用與造塊湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430081)

0 引言

巖體工程的長(zhǎng)期穩(wěn)定性受巖石蠕變特性影響[1-2]，常因在外荷載長(zhǎng)期作用下導(dǎo)致巖石失穩(wěn)，引發(fā)工程事故，然而巖體工程失穩(wěn)破壞必然經(jīng)歷加速蠕變階段[3-4]，經(jīng)典的流變模型只能描述巖石的穩(wěn)態(tài)蠕變[5]，建立能夠描述巖石蠕變過(guò)程中非線性特征的蠕變模型是研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。目前，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者們對(duì)于巖石的非線性流變本構(gòu)模型已取得了一些研究成果。

自1869年麥克斯韋提出材料是黏彈性的，便開啟了流變學(xué)的研究。1939年Griggs[6]首次對(duì)灰?guī)r、頁(yè)巖和砂巖等巖石進(jìn)行了蠕變?cè)囼?yàn)研究，指出當(dāng)應(yīng)力水平為破壞荷載的12.5%～80%時(shí)，巖石具有明顯的流變特性。在國(guó)內(nèi)，陳宗基、孫鈞等學(xué)者首先開始對(duì)巖體流變學(xué)進(jìn)行系統(tǒng)性的研究。徐衛(wèi)亞等[7]建立了能充分反映巖石加速流變非線性特性的河海模型。蔣樹等[8]將非線性流變模型進(jìn)行二次開發(fā)應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了邊坡漸進(jìn)性失穩(wěn)破壞的數(shù)值模擬研究。劉文博等[9]結(jié)合最小耗能原理提出了一種考慮巖石損傷的蠕變模型。曹平等[10]在研究節(jié)理巖體蠕變曲線時(shí)，引入了一種應(yīng)變觸發(fā)元件描述加速蠕變破壞階段的非線性特征。徐平等[11]采用柔性板法進(jìn)行了巖體蠕變?cè)囼?yàn)研究，得到了相應(yīng)的蠕變模型及模型參數(shù)，為工程設(shè)計(jì)提供了參考依據(jù)。韓陽(yáng)等[12]基于損傷力學(xué)理論對(duì)Burgers模型進(jìn)行了改進(jìn)，改進(jìn)后的模型能很好地描述加速蠕變階段的非線性特征。

HU Bo等[13]進(jìn)行了硬巖蠕變?cè)囼?yàn)，研究了硬巖蠕變?nèi)A段的變形隨時(shí)間的變化關(guān)系，提出了一種含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)阻尼器的非線性黏彈塑性模型。Ningyu Zhao等[14]利用TFD-2000巖石三軸流變?cè)囼?yàn)系統(tǒng)進(jìn)行蠕變?cè)囼?yàn)，研究了不同應(yīng)力水平條件下的巖體的時(shí)變變形規(guī)律。Marco Emanuele Discenza等[15]通過(guò)巖體蠕變?cè)囼?yàn)研究了巖體的黏塑性，表明巖體的黏性是隨加載應(yīng)力和時(shí)間變化的，提出了等效黏度的概念。

針對(duì)經(jīng)驗(yàn)蠕變模型物理意義不甚明確,以及一些流變模型過(guò)于復(fù)雜，僅適用于某一類巖石的不足，本研究將從巖石蠕變?cè)囼?yàn)中黏滯系數(shù)隨不同應(yīng)力水平和不同蠕變階段變化的角度，建立包含應(yīng)力、時(shí)間以及加速蠕變啟動(dòng)條件的黏性元件，結(jié)合經(jīng)典蠕變模型，得到一種新的蠕變模型,包含應(yīng)力閾值和時(shí)間閾值雙門檻條件，能準(zhǔn)確表征蠕變曲線在衰減蠕變階段和加速蠕變階段非線性特征，適用性廣，模型參數(shù)易求解。

1 建立非線性黏彈塑性流變模型

1.1 巖石蠕變?cè)囼?yàn)應(yīng)變-時(shí)間曲線分析

如圖1所示，完整的巖石流變曲線包含瞬時(shí)彈性變形、衰減蠕變、等速蠕變及加速蠕變4個(gè)階段，是彈性、黏性、塑性、黏彈性和黏塑性等多種變形共存的一個(gè)復(fù)雜過(guò)程。

圖1 巖石蠕變?cè)囼?yàn)應(yīng)變-時(shí)間曲線Fig.1 Strain time curves obtained by rock creep test

在低應(yīng)力狀態(tài)下，巖樣在加載的瞬間產(chǎn)生瞬時(shí)彈性應(yīng)變，隨后蠕變速率衰減較快，并進(jìn)入穩(wěn)態(tài)蠕變階段，可以用經(jīng)典的流變模型飽依丁-湯姆遜體描述，但由于該模型由線性元件組合而成，對(duì)于衰減蠕變階段的非線性特征擬合度精度不高，需進(jìn)一步改進(jìn)。

在高應(yīng)力水平作用下，巖石發(fā)生穩(wěn)定蠕變后可能會(huì)發(fā)生非穩(wěn)定蠕變變形。目前，主要采用應(yīng)力閾值(長(zhǎng)期強(qiáng)度)開關(guān)作為加速流變特征的觸發(fā)途徑。然而，通過(guò)對(duì)不同巖性的巖石在不同應(yīng)力水平下的蠕變曲線進(jìn)行分析，當(dāng)加載應(yīng)力接近或者大于長(zhǎng)期強(qiáng)度時(shí)，巖石發(fā)生黏塑性破壞類型不同，從穩(wěn)定蠕變階段進(jìn)入非穩(wěn)定蠕變階段的起始時(shí)間及持續(xù)時(shí)間不同，相應(yīng)的應(yīng)變-時(shí)間曲線在加速蠕變啟動(dòng)時(shí)刻表現(xiàn)為偏塑性突變型和偏黏塑性圓滑型，理論上當(dāng)蠕變速率不為0時(shí)巖樣最終會(huì)進(jìn)入加速蠕變階段發(fā)生黏塑性破壞，只是流變歷時(shí)不同而己，因此以某個(gè)應(yīng)力閾值作為加速蠕變啟動(dòng)條件難以準(zhǔn)確描述進(jìn)入加速階段的時(shí)間和持續(xù)時(shí)間。

1.2 模型建立

1.2.1 初始瞬時(shí)彈性變形和衰減蠕變階段

孫鈞等[16]通過(guò)對(duì)大量的巖石流變?cè)囼?yàn)曲線進(jìn)行分析，得到在低應(yīng)力水平下，巖石發(fā)生初始瞬時(shí)彈性變形后進(jìn)入減速蠕變階段，黏性系數(shù)隨著加載應(yīng)力的增大而減小，隨著時(shí)間的增加而增加，此階段的黏性系數(shù)符合關(guān)于應(yīng)力和時(shí)間的復(fù)合冪函數(shù)關(guān)系，建立新的黏性元件N1，滿足如下關(guān)系式：

(1)

式中，σv，tv為標(biāo)準(zhǔn)參考應(yīng)力和參考時(shí)間，取值為1;n為與應(yīng)力水平相關(guān)的流變指數(shù)。

將N1替換飽依丁-湯姆遜體中的牛頓黏壺，則有：

(2)

對(duì)于胡克體：

(3)

改進(jìn)后的飽依丁-湯姆遜體本構(gòu)方程為：

(4)

在恒定應(yīng)力σ0作用下，解上述微分方程，得到改進(jìn)后的飽依丁-湯姆遜體蠕變方程：

(5)

當(dāng)t=0時(shí)，黏性體相當(dāng)于剛性體，并未產(chǎn)生瞬時(shí)應(yīng)變：

(6)

將式(6)代入式(5)得：

(7)

1.2.2 等速蠕變及加速蠕變階段

當(dāng)σ0≥σs時(shí)，不同巖性的巖石在不同應(yīng)力水平條件下進(jìn)入加速蠕變階段的時(shí)間不同，但只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，終將進(jìn)入加速蠕變階段，此階段的黏性系數(shù)隨著應(yīng)力和時(shí)間的增加而減小[16]，符合關(guān)于應(yīng)力和時(shí)間的復(fù)合指數(shù)函數(shù)關(guān)系。同時(shí)引入加速蠕變時(shí)間閾值開關(guān)t*，當(dāng)t

(8)

式中，m為與巖石巖性相關(guān)的材料參數(shù)。將N2與塑性元件并聯(lián)組成新的非線性黏塑性元件，其本構(gòu)方程為：

(9)

當(dāng)σ0≥σs時(shí)，解上述微分方程，得改進(jìn)后的非線性黏塑性元件蠕變方程為：

(10)

1.2.3 一維非線性黏彈塑性流變模型

如圖2所示，首先建立非線性部分的微分方程，然后通過(guò)積分得出該部分的蠕變方程，再通過(guò)疊加法得到新的非線性黏彈塑性流變模型的蠕變方程[17]。

圖2 一維非線性黏彈塑性蠕變模型Fig.2 One-dimensional nonlinear viscoelastoplastic creep model

一維蠕變方程為：

(11)

2 理論驗(yàn)證

2.1 非線性黏彈塑性流變模型的穩(wěn)定性分析

定性分析非線性黏彈塑性流變模型的穩(wěn)定性，令：

(12)

式(5)簡(jiǎn)化為：

(13)

對(duì)式(14)求解關(guān)于時(shí)間變量的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，得：

(14)

(15)

由于A,B,C均大于0，則式(14)恒大于0，式(15)恒小于0，即式(5)為隨時(shí)間遞增的凸函數(shù)，可以描述衰減蠕變階段變形值遞增、蠕變速率遞減的特征。

同理對(duì)式(10)關(guān)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分析，得：當(dāng)t

2.2 模型參數(shù)的敏感性分析

如圖3、圖4所示，模型參數(shù)n主要影響衰減蠕變階段的蠕變速率，取值范圍為01，主要影響加速蠕變階段的變形值和蠕變速率，m越大蠕變變形值越大，蠕變速率增量越大。通過(guò)調(diào)整n，m的值可以很好地刻畫蠕變?nèi)^(guò)程中衰減蠕變階段和加速蠕變階段的非線性特征。

圖3 低應(yīng)力水平下的巖石蠕變曲線Fig.3 Creep curves of rock at low stress level

圖4 高應(yīng)力水平下的巖石蠕變曲線Fig.4 Creep curves of rock at high stress level

3 模型參數(shù)辨識(shí)

(1)E1，E2，η1，n的確定

當(dāng)t=0時(shí)，對(duì)于初始瞬時(shí)彈性變形值和減速蠕變階段：

(16)

當(dāng)t→∞時(shí)：

(17)

聯(lián)立式(16)、式(17)，得到E1，E2，再通過(guò)衰減蠕變階段的試驗(yàn)值時(shí)即可求得n，η1。

(2)η2的確定

當(dāng)σ0≥σs且t

(18)

結(jié)合牛頓黏性體的蠕變方程得：

(19)

當(dāng)σ0≥σs且t≥t*時(shí)，根據(jù)上述方法，采用分段擬合的形式，確定E1，E2，n，η1，η2，然后代入式(11)，根據(jù)加速蠕變階段試驗(yàn)值即可求得模型參數(shù)m。

上述模型參數(shù)均可在Origin軟件中通過(guò)建立自定義函數(shù)，采用最小二乘法，根據(jù)試驗(yàn)得到的x組(ti，εi)試驗(yàn)值，進(jìn)行非線性擬合確定。

4 加速蠕變啟動(dòng)條件

不同巖性的巖石具有不同的蠕變特性，例如軟巖在應(yīng)力水平接近長(zhǎng)期強(qiáng)度值時(shí)，以幾乎恒定的蠕變速率產(chǎn)生蠕變變形，而硬巖在穩(wěn)態(tài)蠕變階段應(yīng)變基本不發(fā)生變化。為準(zhǔn)確描述巖石蠕變破壞的非線性特征，確定加速蠕變階段的起始時(shí)間尤為重要，且加速蠕變啟動(dòng)時(shí)間的選擇會(huì)影響到各流變力學(xué)參數(shù)的計(jì)算結(jié)果。

(1)根據(jù)蠕變速率突變點(diǎn)確定

當(dāng)應(yīng)力水平大于加速蠕變應(yīng)力閾值時(shí)，巖石由穩(wěn)態(tài)蠕變階段進(jìn)入加速蠕變階段，加速蠕變啟動(dòng)時(shí)間可以根據(jù)蠕變速率-時(shí)間曲線的突變點(diǎn)直接確定。例如文獻(xiàn)[18]中巖石在8.78 MPa應(yīng)力水平作用下，第15 h時(shí)，蠕變速率突然增大到1.68×10-3/h，且呈加速持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)。因此，判定在該級(jí)應(yīng)力水平作用下加速蠕變啟動(dòng)時(shí)間t*=15 h。

(2)巖石蠕變破壞時(shí)間與應(yīng)力水平的關(guān)系

一些學(xué)者[16，19]在研究巖石長(zhǎng)期強(qiáng)度值時(shí)，通過(guò)對(duì)一定數(shù)量的巖石蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)快剪、快壓試驗(yàn)得到的瞬時(shí)強(qiáng)度值最高，破壞荷載隨流變時(shí)間(t)及加速流變歷時(shí)(Δt)的增加呈減小的趨勢(shì)，符合指數(shù)函數(shù)關(guān)系，如圖5所示：

(20)

(21)

圖5 破壞荷載與蠕變歷時(shí)的關(guān)系Fig.5 Relationship between failure load and creep duration

聯(lián)立式(20)、式(21)得加速蠕變破壞的起始時(shí)間為：

(22)

式(22)為巖石發(fā)生蠕變破壞的時(shí)間與應(yīng)力水平的一般關(guān)系式，根據(jù)巖石蠕變?cè)囼?yàn)擬合得到參數(shù)α，β值，通過(guò)式(24)可以推算出不同應(yīng)力水平下巖石蠕變破壞的起始時(shí)間及流變歷時(shí)，對(duì)于巖體工程穩(wěn)定性預(yù)警、預(yù)測(cè)研究意義重大。

5 三維蠕變方程

實(shí)際巖體工程中巖石處于三向應(yīng)力狀態(tài)，對(duì)于三維應(yīng)力狀態(tài)下的彈性體，材料內(nèi)部任一點(diǎn)的應(yīng)力張量σij可以分為球應(yīng)力張量σm和偏應(yīng)力張量Sij；應(yīng)變張量εij分為球應(yīng)變張量εm和偏應(yīng)變張量eij，由：

根據(jù)教學(xué)大綱，選用人衛(wèi)出版社《影像診斷學(xué)》第4版骨肌肉系統(tǒng)章節(jié)中的骨折、骨關(guān)節(jié)感染（化膿性骨髓炎、化膿性關(guān)節(jié)炎、骨關(guān)節(jié)結(jié)核）、骨腫瘤、骨腫瘤樣病變和代謝性骨病四個(gè)章節(jié)作為教學(xué)內(nèi)容，各組進(jìn)行12學(xué)時(shí)的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)。兩組教學(xué)大綱、教材、教學(xué)進(jìn)度以及課時(shí)數(shù)均相同，且由同一位教師授課。

(23)

可得：

σij=Sij+δijσm，

(24)

式中δij為克羅內(nèi)克函數(shù)：

(25)

同理得到：

εij=eij+δijεm。

(26)

對(duì)于常規(guī)三軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)：

(27)

結(jié)合式(24)、(27)得：

(28)

對(duì)于三維應(yīng)力狀態(tài)下的胡克體：

(29)

式中，K為體積模量;G為剪切模量。結(jié)合一維蠕變方程，根據(jù)文獻(xiàn)[20]采用類比法，得到彈性體三維蠕變方程：

(30)

黏性體的三維蠕變方程為：

(31)

(1)當(dāng)σ0<σs時(shí)：

(32)

(2)當(dāng)σ0≥σs且t

(33)

(3)當(dāng)σ0≥σs且t≥t*時(shí)：

(34)

(35)

式中F0為屈服函數(shù)初始值，一般取1[21]。

由于Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則不能考慮中間主應(yīng)力對(duì)巖石屈服的影響，Von-Mises屈服準(zhǔn)則忽視了球應(yīng)力對(duì)巖石蠕變特性的影響，筆者采用 Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則，其表達(dá)式為：

(36)

式中，J2為應(yīng)力偏量第二不變量：

(37)

6 試驗(yàn)驗(yàn)證

筆者采用文獻(xiàn)[18]及文獻(xiàn)[22]中流變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)對(duì)上述建立的非線性黏彈塑性蠕變模型的適用性及正確性進(jìn)行驗(yàn)證。

文獻(xiàn)[18]為現(xiàn)場(chǎng)大尺寸壓縮流變?cè)囼?yàn)，試樣為節(jié)理裂隙較為發(fā)育的微風(fēng)化砂巖，試樣尺寸為730 mm×730 mm×780 mm，采用逐級(jí)加載方式。根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，在應(yīng)力水平為8.78 MPa時(shí)，取t*=15 h，σ∞=7.50 MPa。

文獻(xiàn)[22]為室內(nèi)小尺寸剪切流變?cè)囼?yàn)，試樣為塊狀構(gòu)造斑狀結(jié)構(gòu)的灰白色花崗巖圓柱體，尺寸為50 mm×100 mm，采用逐級(jí)加載方式。根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，在應(yīng)力水平為17.27 MPa時(shí)，t*=70 h，σ∞=15.57 MPa。

結(jié)果如圖6、圖7、表1、表2所示，擬合效果很好，在最高級(jí)應(yīng)力水平作用下，文獻(xiàn)[18]和文獻(xiàn)[22]的蠕變曲線擬合度分別達(dá)到了0.997 8和0.978 4，這說(shuō)明基于巖石蠕變?cè)囼?yàn)中黏性系數(shù)在不同應(yīng)力水平和不同蠕變階段中的變化規(guī)律建立的巖石非線性黏彈塑性蠕變模型，能反映巖石蠕變?nèi)^(guò)程曲線特征，解決了傳統(tǒng)流變模型在衰減蠕變階段擬合精度不高、無(wú)法描述加速蠕變階段非線性特征及適用性不高的缺陷，且流變破壞物理意義明確。

圖6 軟弱巖體現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)：不同應(yīng)力水平下的蠕變曲線Fig.6 Field test of soft rock mass: creep curves at different stress levels

圖7 飽水花崗巖室內(nèi)試驗(yàn)：不同應(yīng)力水平下的蠕變曲線Fig.7 Laboratory test of saturated granite: creep curves at different stress levels

表1 軟弱巖體現(xiàn)場(chǎng)壓縮蠕變?cè)囼?yàn)?zāi)Ｐ蛿M合參數(shù)值Tab.1 Fitting parameters of in-situ compression creep test model of soft rock mass

表2 飽水花崗巖室內(nèi)剪切蠕變?cè)囼?yàn)?zāi)Ｐ蛿M合參數(shù)值Tab.2 Fitting parameters of indoor shear creep test model of saturated granite

7 結(jié)論

(1)基于巖石蠕變?cè)囼?yàn)中黏性系數(shù)在不同應(yīng)力水平和不同蠕變階段中的變化規(guī)律建立了參數(shù)求解簡(jiǎn)單、流變破壞物理意義明確的五元件非線性黏彈塑性蠕變模型。

(2)通過(guò)模型穩(wěn)定性和參數(shù)敏感性分析，并結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)大尺寸軟巖壓縮流變?cè)囼?yàn)和室內(nèi)小尺寸飽水花崗巖剪切流變?cè)囼?yàn)，從理論和試驗(yàn)兩方面驗(yàn)證了所建模型的正確性與適用性。

(3)當(dāng)應(yīng)力水平接近或者大于巖體的長(zhǎng)期強(qiáng)度時(shí)，巖石并不會(huì)立即進(jìn)入加速蠕變階段發(fā)生黏塑性破壞，采用應(yīng)力閾值和時(shí)間閾值雙開關(guān)能精確刻畫巖石加速蠕變階段的非線性特征，對(duì)于巖體工程中因巖石流變特性失穩(wěn)預(yù)測(cè)方面的研究具有重大意義。