薛雨彤，趙 罡，王愛(ài)增，何 川

直齒圓柱齒輪彎曲強(qiáng)度等幾何分析

薛雨彤1,2，趙 罡1,2，王愛(ài)增1,2，何 川1,2

(1. 北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191；2. 北京航空航天大學(xué)虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191)

齒輪作為一種重要的機(jī)械零件，其設(shè)計(jì)與制造直接影響著機(jī)械設(shè)備的實(shí)際性能與工作質(zhì)量。由于齒輪的工作壽命與齒輪的最大彎曲應(yīng)力的六次方成反比，因此精準(zhǔn)地計(jì)算齒輪齒根的彎曲強(qiáng)度，是延長(zhǎng)其使用壽命的必要保證。為了更精準(zhǔn)地實(shí)現(xiàn)齒輪的彎曲應(yīng)力的求解計(jì)算，本文提出了基于等幾何法的齒輪彎曲強(qiáng)度分析算法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)平面齒輪結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的等幾何分析，給出了對(duì)二維平面直齒圓柱齒輪的齒根彎曲強(qiáng)度的等幾何分析計(jì)算結(jié)果。將該方法的計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)齒根彎曲應(yīng)力計(jì)算公式的理論值、基于有限元法的分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明等幾何分析技術(shù)在分析齒輪齒根彎曲應(yīng)力時(shí)具有較高的精度和效率，且與有限元法所得應(yīng)力場(chǎng)相比，其應(yīng)力場(chǎng)更光滑，從而為求解齒輪齒根彎曲強(qiáng)度問(wèn)題提供一種有效的方法。

等幾何分析；有限元分析；齒輪彎曲強(qiáng)度；非均勻有理B樣條；線彈性分析

齒輪作為機(jī)械傳動(dòng)中重要的零件之一，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域。與其他傳動(dòng)方法相比，齒輪傳動(dòng)具有較高地傳動(dòng)精度和效率，除此之外齒輪傳動(dòng)還具有傳動(dòng)比精確、傳動(dòng)功率范圍大及傳動(dòng)平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)。在實(shí)際工作中，由于工作條件較為復(fù)雜、工況較為惡劣，所以齒輪零件很容易出現(xiàn)故障。當(dāng)齒輪的輪齒受載時(shí)，齒輪齒根處的彎曲應(yīng)力是最大的。當(dāng)輪齒反復(fù)受載時(shí)，就會(huì)在齒根處產(chǎn)生疲勞裂紋，裂紋逐步擴(kuò)展，最終出現(xiàn)彎曲折斷現(xiàn)象。當(dāng)輪齒受到很大地沖擊載荷，可直接導(dǎo)致齒根折斷。因此，準(zhǔn)確地計(jì)算齒輪齒根的彎曲應(yīng)力就顯得十分重要。但由于三維齒輪模型的外形輪廓比較復(fù)雜，傳統(tǒng)齒根彎曲計(jì)算方法的過(guò)程繁瑣，且無(wú)法真實(shí)地反映輪齒的應(yīng)力變化及變形分布情況，所以采用現(xiàn)代分析方法研究齒輪齒根彎曲強(qiáng)度，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

目前，在求解齒輪齒根彎曲強(qiáng)度中應(yīng)用最廣泛的方法是有限元法，但其在仿真過(guò)程中仍存在一些問(wèn)題。傳統(tǒng)有限元法中擬合幾何模型邊界的形函數(shù)為拉格朗日插值函數(shù)，此種形函數(shù)的邊界連續(xù)性不強(qiáng)，無(wú)法準(zhǔn)確描述復(fù)雜曲面。等幾何分析法[1]作為一種新型的數(shù)值近似求解方法，與經(jīng)典有限元法相比，其在結(jié)構(gòu)力學(xué)分析領(lǐng)域存在巨大的優(yōu)勢(shì)。在對(duì)齒輪進(jìn)行齒根彎曲強(qiáng)度應(yīng)力分析時(shí)，等幾何分析法使用高階的非均勻有理B樣條(non uniform rational B-spline，NURBS)基函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)有限元法的拉格朗日基函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)齒輪模型復(fù)雜外形輪廓的精確描述，避免了有限元法因采用分段多項(xiàng)式逼近邊界而產(chǎn)生的幾何誤差，從而大大提高了分析結(jié)果的精度。同時(shí)，等幾何分析法直接結(jié)合了CAD幾何模型，以NURBS基函數(shù)進(jìn)行描述時(shí)，無(wú)需再進(jìn)行網(wǎng)格劃分，從而大大地提高了分析的效率。

目前，對(duì)于齒輪這類(lèi)工程結(jié)構(gòu)中較為復(fù)雜的三維幾何模型，在等幾何分析中的應(yīng)用還比較少，多是借助軟件平臺(tái)或有限元法進(jìn)行研究，從而導(dǎo)致齒輪受力分析過(guò)程較繁瑣、效率較低等問(wèn)題出現(xiàn)。而采用等幾何分析法對(duì)其進(jìn)行研究時(shí)就能有效地解決上述問(wèn)題，并更好地發(fā)揮其在幾何精確描述與結(jié)構(gòu)力學(xué)分析領(lǐng)域的優(yōu)勢(shì)。為此，本文將基于等幾何分析法研究齒輪結(jié)構(gòu)在給定負(fù)載下的齒根受力與變形情況。并將傳統(tǒng)齒輪彎曲應(yīng)力公式計(jì)算結(jié)果、等幾何分析結(jié)果和有限元分析結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，以驗(yàn)證等幾何分析結(jié)果的精準(zhǔn)性與高效性。

1 相關(guān)工作概述

1.1 齒輪彎曲強(qiáng)度分析

關(guān)于齒輪齒根彎曲強(qiáng)度計(jì)算的研究一直都是齒輪制造行業(yè)的重要課題之一。傳統(tǒng)的齒輪齒根彎曲強(qiáng)度分析是建立在經(jīng)驗(yàn)公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，其局限性和不確定性日益突出。因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者為了更精確地計(jì)算負(fù)載下齒輪齒根的彎曲強(qiáng)度，針對(duì)影響齒輪齒根彎曲強(qiáng)度的因素以及齒輪彎曲折斷問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究。

[2]首次提出齒形系數(shù)的概念，并基于應(yīng)用材料力學(xué)中懸臂梁理論，將輪齒視為懸臂梁，推導(dǎo)出了計(jì)算齒根彎曲強(qiáng)度的Lewis公式；張偉社和馮守衛(wèi)[3]將邊界法應(yīng)用于齒根彎曲應(yīng)力計(jì)算，并提出了一種新的齒根應(yīng)力計(jì)算的簡(jiǎn)化公式；FILIZ和EYERCIOGLU[4]在模擬接觸、分布力和集中力3種施載情況下，分別對(duì)二維單齒模型進(jìn)行有限元分析并推導(dǎo)出新的齒根計(jì)算公式；VIJAYARANGAN和GANESAN[5]考慮了移動(dòng)線載荷和沖擊載荷2種情況，對(duì)三維齒輪的齒根彎曲強(qiáng)度進(jìn)行了有限元分析；高勇[6]則利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)齒輪的彎曲疲勞強(qiáng)度極限應(yīng)力，對(duì)訓(xùn)練樣本參數(shù)范圍具有很高的精確度。劉本學(xué)等[7]運(yùn)用SolidWorks與ANSYS Workbench Fatigue Tool對(duì)直齒圓柱齒輪進(jìn)行彎曲疲勞仿真，并獲得了一些具有意義的結(jié)論。隨著研究的深入，齒輪齒根彎曲應(yīng)力的計(jì)算精度不斷提升，但上述方法并未實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)描述齒輪齒廓，這阻礙了齒輪彎曲應(yīng)力計(jì)算精度和效率的進(jìn)一步提升。

1.2 等幾何分析

等幾何方法自2005年提出至今，一直是計(jì)算力學(xué)方面的研究熱點(diǎn)，許多學(xué)者對(duì)該方法進(jìn)行了大量研究，并對(duì)其應(yīng)用和發(fā)展做出了很多貢獻(xiàn)。如今等幾何分析法已被應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)、斷裂力學(xué)、流固耦合、接觸問(wèn)題等領(lǐng)域。

KIENDL等[8]基于NURBS基函數(shù)對(duì)Kirchhoff-Love殼單元建模，并對(duì)不同模型進(jìn)行等幾何分析，證明其適用性；NATARAJAN等[9]將比例邊界有限元法與等幾何分析方法相結(jié)合，以解決線彈性斷裂力學(xué)中的若干問(wèn)題；BAZILEVS等[10]提出一種基于NURBS曲線的等幾何流固耦合方法，并成功將其應(yīng)用于動(dòng)脈血流建模和模擬中；BEINSTINGEL等[11]利用等幾何分析法，提出一種有效而準(zhǔn)確地評(píng)估齒輪嚙合剛度當(dāng)前狀態(tài)的方法，還通過(guò)示例對(duì)現(xiàn)有的研究和已建立的軟件工具進(jìn)行測(cè)試，成功地驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性；陳龍等[12]使用等幾何分析法進(jìn)行平面無(wú)摩擦接觸分析，針對(duì)一對(duì)單齒接觸的完整齒輪進(jìn)行了等幾何接觸分析，該項(xiàng)研究屬于等幾何分析技術(shù)在非線性分析的應(yīng)用，而本文主要實(shí)現(xiàn)了對(duì)平面齒輪結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的等幾何分析，屬于等幾何分析技術(shù)在二維線彈性分析的應(yīng)用。

此外，等幾何分析方法不僅限應(yīng)用于上述領(lǐng)域，還廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域，如熱力學(xué)、生物力學(xué)、電磁學(xué)等方面。

2 基于NURBS的齒輪適分析模型建模

NURBS是在B樣條的基礎(chǔ)上提出的一種更為靈活的樣條形式，可更精準(zhǔn)地描述幾何模型。在構(gòu)造NURBS曲面時(shí)，首先需要給定曲面包含的2個(gè)方向的節(jié)點(diǎn)矢量、控制點(diǎn)和權(quán)因子等信息，然后求解B樣條的基函數(shù)，并將其帶入式(2)求解NURBS的曲面基函數(shù)，最后通過(guò)式(1)得到NURBS曲面，即

本文采用二次NURBS曲面構(gòu)建二維齒輪適分析模型。首先基于齒輪漸開(kāi)線生成原理建立齒輪CAD模型，并選用CATIA V5R20作為三維直齒圓柱齒輪的參數(shù)化建模軟件，齒輪模型的基本幾何參數(shù)見(jiàn)表1，所得三維齒輪幾何模型如圖1所示。然后提取齒輪的下端面，以文本格式保存二維齒輪模型，并根據(jù)模型中包含的控制點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)矢量等信息實(shí)現(xiàn)對(duì)二維齒輪模型的重構(gòu)建，所得的二維齒輪適分析模型如圖2所示。

表1 漸開(kāi)線齒輪模型的基本幾何參數(shù)

圖1 三維齒輪幾何模型

圖2 二維齒輪適分析模型

3 基于等幾何法的齒輪彎曲強(qiáng)度分析

等幾何分析法使用的基本原理是等參元原理，所以基本框架與經(jīng)典有限元法相似，最終2種方法均可得到類(lèi)似的分析結(jié)果。而2種方法的區(qū)別就在于等幾何分析以CAD中樣條理論(如B樣條、NURBS等)作為基函數(shù)，且具有非插值性，取值非負(fù)，所以幾何模型的控制點(diǎn)有可能不在實(shí)際物理域內(nèi)，圖3為齒輪齒根彎曲強(qiáng)度的等幾何分析基本流程圖。

圖3 齒輪齒根彎曲強(qiáng)度的等幾何分析流程圖

本文選擇MATLAB作為實(shí)現(xiàn)齒輪彎曲強(qiáng)度等幾何分析的計(jì)算機(jī)軟件。齒輪齒根彎曲強(qiáng)度的等幾何分析屬于線性靜態(tài)分析，實(shí)現(xiàn)齒輪彎曲強(qiáng)度的等幾何分析，首先需要定義齒輪的材料，然后選取齒輪中心孔的控制點(diǎn)為固定邊界條件，并選取一個(gè)輪齒的齒頂端控制點(diǎn)作為施力點(diǎn)，將均勻負(fù)載拆分成圓周力和徑向力，分別施加至齒輪齒頂控制點(diǎn)上。之后導(dǎo)入齒輪適分析模型，將齒輪模型的求解域劃分為子域，并進(jìn)行參數(shù)化，同時(shí)采用節(jié)點(diǎn)插入的方法進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)分，引入等參概念，計(jì)算齒輪模型的基函數(shù)，并遍歷每個(gè)等幾何單元，計(jì)算其剛度矩陣，將其整合成總體的剛度矩陣，再將之前設(shè)定的負(fù)載與邊界條件帶入之，求解得到最終的分析結(jié)果，最后輸出齒輪適分析模型的等幾何應(yīng)力云圖，如圖4所示。齒輪最大彎曲應(yīng)力在左側(cè)齒根處，為141.3 MPa。

圖4 二維齒輪等幾何分析應(yīng)力云圖

4 結(jié)果分析與討論

4.1 傳統(tǒng)齒輪彎曲應(yīng)力計(jì)算法

目前應(yīng)用最廣泛的齒輪彎曲強(qiáng)度計(jì)算是以Lewis公式[2]為基礎(chǔ)，后經(jīng)一系列修正與校核，再添加各種修正系數(shù)所發(fā)展形成的。

Lewis公式是以材料力學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，采用內(nèi)切拋物線法確定危險(xiǎn)截面的位置，并將所有載荷作用于齒頂，從而獲得齒輪危險(xiǎn)截面彎曲應(yīng)力，如圖5所示。由于當(dāng)彎曲載荷作用在拋物線梁的頂端時(shí)，其斷面處的最大應(yīng)力值處處相等。因此可以將內(nèi)切拋物線與齒廓切點(diǎn)的連線看作輪齒危險(xiǎn)截面，并在該截面處考慮輪齒的最大彎曲應(yīng)力。該方法為后續(xù)齒輪彎曲強(qiáng)度奠定了經(jīng)典理論基礎(chǔ)，但由于得到的彎曲應(yīng)力不夠精確，所以學(xué)者們?cè)诤罄m(xù)研究中，以Lewis公式為基礎(chǔ)，添加各種修正系數(shù)來(lái)修正齒輪的載荷和材料強(qiáng)度帶來(lái)的影響。采用修正系數(shù)后的Lewis簡(jiǎn)化式為

計(jì)入載荷系數(shù)，應(yīng)力修正系數(shù)Y后的齒輪最大彎曲應(yīng)力可簡(jiǎn)化為

圖5 輪齒齒頂端受力示意圖

根據(jù)齒輪傳遞的轉(zhuǎn)矩計(jì)算作用在輪齒上的載荷，圓周力F作用在端面上，并由齒輪副傳遞的功率確定，即

法向力F均勻作用在輪齒的齒頂端，可由圓周力F和壓力角確定，即

假定對(duì)齒輪的一個(gè)輪齒施加30 kN?m轉(zhuǎn)矩，即等同于在輪齒的齒頂端一側(cè)施加大小為1 064.17 kN，壓力角為20°的均布線載荷F。齒輪的基本參數(shù)見(jiàn)表1，齒輪載荷系數(shù)為1.1，齒輪齒形系數(shù)Y=2.52，Y=1.625。根據(jù)式(4)可以計(jì)算得齒輪齒根處最大彎曲應(yīng)力為150.15 MPa。

4.2 有限元分析計(jì)算結(jié)果

本文選用有限元軟件ANSYS Workbench對(duì)齒輪進(jìn)行齒輪彎曲強(qiáng)度應(yīng)力分析。定義齒輪材料的彈性模量=2.1×105MPa，泊松比=0.3。首先采用自由網(wǎng)格劃分的方式對(duì)齒輪模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，2次尺寸分別為0.2 mm和0.1 mm，網(wǎng)格劃分后的一次單元模型的單元數(shù)為9 060，二次單元模型的單元數(shù)為18 452。接下來(lái)施加邊界約束條件，固定齒輪中心孔，使其在，方向均不產(chǎn)生位移及旋轉(zhuǎn)。選擇靜力學(xué)分析，施加與等幾何法相同的載荷條件后，計(jì)算得到一次、二次單元齒輪齒根的最大彎曲應(yīng)力分別為137.7 MPa和139.1 MPa。2次有限元分析過(guò)程的應(yīng)力云圖分別如圖6和圖7所示。

圖6 一次有限元分析應(yīng)力云圖

圖7 二次有限元分析應(yīng)力云圖

4.3 3種方法計(jì)算結(jié)果比較

比較二次有限元和等幾何分析后齒輪應(yīng)力云圖的分布情況。首先圖中紅色代表受到應(yīng)力最大的點(diǎn)，也稱(chēng)應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)，3種分析的最大應(yīng)力點(diǎn)均在齒輪的齒根部位。從齒輪端面顏色變化的梯度看，總體趨勢(shì)是從輪齒外輪廓邊界開(kāi)始從黃綠色逐步變成淺藍(lán)色，各個(gè)應(yīng)力大小變化的區(qū)域相似，只是數(shù)值不同，這也進(jìn)一步排除了實(shí)驗(yàn)的偶然性，說(shuō)明3次實(shí)驗(yàn)結(jié)果都是正確的。

同時(shí)，發(fā)現(xiàn)二次有限元應(yīng)力大小變化區(qū)域相似，且應(yīng)力顏色分布有比較明顯地跳躍，而等幾何應(yīng)力變化整體相對(duì)光滑。這是由于構(gòu)建齒輪等幾何模型時(shí)采用的NURBS曲面的基函數(shù)為C1連續(xù)，而構(gòu)建有限元網(wǎng)格模型時(shí)采用的拉格朗日基函數(shù)為C0連續(xù)，相比之下等幾何分析的基函數(shù)更具高階連續(xù)性，能夠更好地描述幾何邊界，這在一定程度上避免了有限元分析中因幾何模型輪廓面精度不足而導(dǎo)致的網(wǎng)格變形。因此在單元大小相近似時(shí)，等幾何法所形成的應(yīng)力場(chǎng)更光滑連續(xù)，具有更深層次的實(shí)際研究意義。

接下來(lái)，本文從具體應(yīng)力數(shù)值上進(jìn)行對(duì)比，為了便于分析只對(duì)齒輪齒根的最大應(yīng)力值進(jìn)行比較，見(jiàn)表2。

表2 3種方法計(jì)算的最大應(yīng)力點(diǎn)數(shù)值比較

從表2可知，有限元網(wǎng)格越細(xì)密，模型應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)的最大應(yīng)力會(huì)逐漸增大，也會(huì)越趨近于等幾何分析結(jié)果。這是由于等幾何分析可看作將幾何模型劃分為了無(wú)限個(gè)單元進(jìn)行分析，即網(wǎng)格精度無(wú)限高的有限元分析。所以當(dāng)有限元的網(wǎng)格劃分單元越多，其齒輪最大彎曲應(yīng)力值也逐漸向等幾何分析值收斂。而且對(duì)比發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)齒根彎曲應(yīng)力計(jì)算法的結(jié)果略大于3次實(shí)驗(yàn)所得最大應(yīng)力值，這是由于Lewis公式是基于材料力學(xué)中懸臂梁假設(shè)進(jìn)行近似計(jì)算的，不能有效地處理齒根截面突變，這導(dǎo)致傳統(tǒng)齒輪彎曲應(yīng)力方法計(jì)算結(jié)果不精確，所得結(jié)果過(guò)于安全。

這雖然只是對(duì)齒輪齒根的最大危險(xiǎn)點(diǎn)進(jìn)行分析得出的結(jié)論，但結(jié)論中3張應(yīng)力云圖的顏色區(qū)域變化基本一致，因此可以推廣到整個(gè)模型分析中。

有限元法作為目前求解齒輪齒根彎曲強(qiáng)度中最有效的數(shù)值仿真方法，已在實(shí)際工程應(yīng)用中得到了廣泛的普及。但目前有限元分析中仍存在著網(wǎng)格單元?jiǎng)澐值牡托?、費(fèi)時(shí)等問(wèn)題，有機(jī)構(gòu)曾做過(guò)統(tǒng)計(jì)，在有限元分析中僅網(wǎng)格模型重構(gòu)這一步占用的時(shí)長(zhǎng)就超過(guò)了總時(shí)間的50%，而分析過(guò)程僅占用了20%左右。當(dāng)對(duì)高精度大型齒輪模型進(jìn)行求解時(shí)，有限元分析將面臨著計(jì)算效率低下、計(jì)算成本偏高等問(wèn)題。

除了在實(shí)際工作效果方面存在差異性，在總分析時(shí)間上的差異也是有限元分析與等幾何分析的一個(gè)重要區(qū)別，等幾何分析由于不需要將模型進(jìn)行網(wǎng)格重構(gòu)，避免了有限元中網(wǎng)格劃分的復(fù)雜過(guò)程，所以大大縮短了分析時(shí)間，齒輪3次實(shí)驗(yàn)的具體分析時(shí)長(zhǎng)見(jiàn)表3。由此，進(jìn)一步驗(yàn)證了等幾何分析在分析效率方面高于有限元分析的結(jié)論。

表3 3次實(shí)驗(yàn)總分析時(shí)長(zhǎng)比較(s)

在分析計(jì)算齒輪齒根彎曲強(qiáng)度方面，傳統(tǒng)有限元法的研究已經(jīng)相當(dāng)深入，并在實(shí)際工程應(yīng)用中也得到了廣泛應(yīng)用。而基于等幾何法的齒輪彎曲強(qiáng)度分析算法雖在精度與效率方面略有優(yōu)勢(shì)，但由于等幾何分析技術(shù)剛剛起步，目前仍未得到大范圍地推廣，其操作性也遠(yuǎn)沒(méi)有有限元分析技術(shù)簡(jiǎn)便。后續(xù)可結(jié)合有限元分析技術(shù)中現(xiàn)有的理論基礎(chǔ)對(duì)等幾何分析技術(shù)進(jìn)行創(chuàng)新與再開(kāi)發(fā)，期待未來(lái)等幾何分析技術(shù)在齒輪結(jié)構(gòu)力學(xué)分析領(lǐng)域取得更大的進(jìn)步。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文將等幾何分析法運(yùn)用于平面齒輪的彎曲強(qiáng)度分析，并將分析結(jié)果與傳統(tǒng)齒輪彎曲應(yīng)力解析解、有限元軟件ANSYS計(jì)算的齒輪齒根彎曲應(yīng)力最大值進(jìn)行比較，驗(yàn)證了等幾何分析法的精確性。通過(guò)對(duì)比有限元法和等幾何法的總時(shí)長(zhǎng)，驗(yàn)證了等幾何分析法的高效性。后續(xù)工作將等幾何分析法進(jìn)一步擴(kuò)展至三維齒輪的彎曲強(qiáng)度分析和齒輪接觸分析過(guò)程中。

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Isogeometric analysis of bending strength of spur gear

XUE Yu-tong1,2, ZHAO Gang1,2, WANG Ai-zeng1,2, HE Chuan1,2

(1. School of Mechanical Engineering & Automation, Beihang University, Beijing 100191, China; 2. State Key Laboratory of Virtual Reality Technology & Systems, Beihang University, Beijing 100191, China)

As an important mechanical part, gear is widely applied in all kinds of mechanical equipment, and its design and manufacture directly affect the actual performance and work quality of mechanical equipment. Since the working life of the gear is inversely proportional to the sixth power of the maximum bending stress value of the gear, accurate calculation of the bending strength of the gear root is a necessary guarantee to extend its service life. In order to address the bending stress of the gear more accurately, this paper proposed an algorithm of gear bending strength analysis based on isogeometric analysis method, which provided the isogeometric analysis of the mechanical properties for the two-dimensional gear structure. Compared with the traditional calculation formula of tooth root bending stress and the finite element method, our results show that the isogeometric analysis approach is of higher accuracy and efficiency in analyzing the bending stress of the gear tooth root. Compared with the stress field obtained by the finite element method, the result by the isogeometric analysis is smoother, which provides an effective method for solving the bending strength problem of gear root.

isogeometric analysis; finite element analysis; gear bending strength;non uniform rational B-spline; linear elastic analysis

23 June，2021；

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2022010079

A

2095-302X(2022)01-0079-06

2021-06-23；

2021-07-19

19 July，2021

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61572056)；工信部2017民用飛機(jī)專(zhuān)項(xiàng)科研技術(shù)研究項(xiàng)目

National Natural Science Foundation of China (61572056); 2017 Special Scientific Research on Civil Aircraft Project

薛雨彤(1999–)，女，碩士研究生。主要研究方向?yàn)榈葞缀畏治觥-mail：xyt18811733395@163.com

XUE Yu-tong (1999–), master student. Her main research interest covers isogeometric analysis. E-mail：xyt18811733395@163.com

王愛(ài)增(1982–)，男，副教授，博士。主要研究方向?yàn)閹缀卧煨汀AE等。E-mail：azwang@buaa.edu.cn

WANG Ai-zeng (1982–), associate professor, Ph.D. His main research interests cover geometry processing, CAE, etc. E-mail：azwang@buaa.edu.cn