陳 語，李開明，周文全，張 賀

(南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

Tricept機器人自出現(xiàn)以來，在飛機裝配、工件加工等領(lǐng)域[1]很受歡迎。工作空間是并聯(lián)機構(gòu)的一個重要屬性，一直以來也是世人鉆研的熱點，目前對于機械臂工作空間的求解方法主要有3種：柵格法、幾何法、數(shù)值法[2]。金振林等[3]為了設(shè)計機器人步行器的腿部結(jié)構(gòu)，分析了3-UPS機構(gòu)的工作空間以及構(gòu)件尺寸對工作空間大小的影響。曹永剛等[4]系統(tǒng)研究了6-RSS型并聯(lián)機構(gòu)并重點分析了復(fù)合球副的結(jié)構(gòu)特點，通過優(yōu)化機構(gòu)參數(shù)使得工作空間體積得到擴大。劉震[5]采用新型數(shù)值分析法，求解出3UPU并聯(lián)機構(gòu)的工作空間，并應(yīng)用相關(guān)算法對參數(shù)進行了優(yōu)化。根據(jù)不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)，采用不同的優(yōu)化策略，使結(jié)構(gòu)能夠達到最優(yōu)化，是廣大學(xué)者們研究的重點[6-8]。

本文參照Tricept機器人的結(jié)構(gòu)，將動平臺替換為一種復(fù)合球鉸，構(gòu)成新型3UPS_UP并聯(lián)機構(gòu)。UP桿的一側(cè)固聯(lián)在復(fù)合球鉸底部，另外3個UPS桿全部由球副同復(fù)合球鉸相接。由于復(fù)合球鉸的特殊結(jié)構(gòu)，使3個UPS桿的延長線能夠匯聚于一點，而動平臺3個鉸點的相對位置一直變化，不便考慮動平臺的姿態(tài)問題，因此以延長線匯聚點(復(fù)合球鉸的球心)為動平臺參考點，這樣可以簡化機構(gòu)的運動學(xué)正反解計算。根據(jù)有關(guān)的約束條件和反解公式，運用邊界搜索法可以得到該機構(gòu)的邊界曲面。

1 機構(gòu)描述

由圖1可見，3UPS_UP并聯(lián)機構(gòu)主要是由定平臺A1A2A3、1個UP桿(L0)、復(fù)合球鉸S、3個UPS桿(L1,L2,L3)構(gòu)成。3個UPS桿的一端通過虎克鉸布置在定平臺上,另一端分別同復(fù)合球鉸S的一個球副相接，鉸點分別為B1,B2,B3，復(fù)合球鉸半徑為r。由于復(fù)合球鉸S的結(jié)構(gòu)特點，3個UPS桿的延長線相交于P點。UP桿的一側(cè)固聯(lián)在復(fù)合球鉸S的底部，另一側(cè)安裝于定平臺的重心處。該機構(gòu)的自由度為3。

圖1 3UPS-UP并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

2 復(fù)合球鉸結(jié)構(gòu)設(shè)計

從圖2(a)可以看出，復(fù)合球鉸的復(fù)合球副包括3組球副，并且3組球副的構(gòu)成一致。每組球副由3個轉(zhuǎn)動副組成，其中轉(zhuǎn)動副1的轉(zhuǎn)軸與UP支鏈同軸，轉(zhuǎn)動副2的轉(zhuǎn)軸位于同一平面，該平面通過復(fù)合球鉸的球心P點且垂直于UP支鏈；3個UPS支鏈分別與球副的轉(zhuǎn)動副3連接，3個轉(zhuǎn)軸的延長線交匯于復(fù)合球鉸的球心P。由圖2(b)可知，所述復(fù)合球鉸的半徑為r，3個UPS桿與UP桿的夾角為θi(i=1,2,3)，同復(fù)合球鉸相連的UP桿直徑為d。

圖2 復(fù)合球鉸的三維模型圖及結(jié)構(gòu)簡圖

3 位置分析

由圖1可知，定平臺和復(fù)合球鉸上的鉸點分別表示為Ai，Bi(i=1,2,3)。定參考系O-XYZ設(shè)置于該機構(gòu)的定平臺上，其中，原點O設(shè)置于定平臺中央。定平臺上3個鉸點A1,A2和A3呈正三角形，它的外接圓的半徑為R[9]。X軸過點A2且垂直于直線A1A3，Y軸過原點O且平行于直線A1A3，Z軸依照右手法則確定[10]。UP桿和3個UPS桿都含有移動副，其桿長分別為Li(i=0,1,2,3)，移動副di(i=0,1,2,3)分別位于伸縮桿Li上。

復(fù)合球鉸(動平臺)上的各鉸點為Bi(i=1,2,3)，由于各鉸點的相對位置會不斷變化，因此不能像Tricept機構(gòu)一樣將動坐標系建立在Bi(i=1,2,3)點的幾何中心。因為3個UPS的延長線總是交于一點，且該點為復(fù)合球鉸的球心，所以設(shè)復(fù)合球鉸中心點為P，復(fù)合球鉸的球心在定坐標系中的坐標為P(x,y,z)。根據(jù)前面介紹的位置關(guān)系可得：

Li+r=OP-OAi(i=1,2,3)

(1)

式中：r為r在BiP方向的矢量。

位置反解為：

(2)

位置正解為：

(3)

4 工作空間分析

4.1 約束條件

并聯(lián)機構(gòu)的工作空間是指動平臺參考點在空間內(nèi)所有位置坐標的集合，反映了機構(gòu)運動空間的大小，影響工作空間大小的主要結(jié)構(gòu)因素有:

1)桿長的限制。該并聯(lián)機構(gòu)包含4個伸縮桿，每個伸縮桿的長度都有結(jié)構(gòu)限制，必須保證參考點在伸縮桿的長度范圍之內(nèi)。

lmin≤li≤lmax(i=0,1,2,3)

(4)

式中：li為伸縮桿Li的長度；lmax和lmin分別為最大和最小桿長。

2)虎克鉸轉(zhuǎn)角的限制。

(5)

式中：φi為定平臺中第i個虎克鉸的當前轉(zhuǎn)角；φmax為許用轉(zhuǎn)角；z為基座在定坐標系中位置,z=[0,0,1]T。

3)桿件的尺寸干涉及復(fù)合球鉸的限制。

由于復(fù)合球鉸底部與UP支鏈連接，為避免極限情況下與UP支鏈產(chǎn)生干涉，因此3個UPS支鏈與UP支鏈間的夾角θi應(yīng)滿足：

rsinθi

(6)

同時，UP桿和UPS桿間的夾角也應(yīng)小于θmin；

(7)

4.2 工作空間分析方法

本文采取邊界搜索法。將動平臺上參照點設(shè)為P(x,y,z)。如圖3(a)所示，沿著Z軸將整個空間分為n個平行于OXY平面的微小平面，其中微小平面?zhèn)€數(shù)n=(zmax-zmin)/Δz，Δz為搜索步長，zmax和zmin為Z向的極限位置。如圖3(b)所示，在每個平面中，極角γi從O開始搜索，在高度zi和極角γi不變的情況下，極徑ρi從O開始不斷增大，其增量為Δρ。當前點坐標(ρicosγi,ρicosγi,zi)是否符合要求，需要結(jié)合運動學(xué)逆解及全部約束條件來判定。在兩個相鄰點中，如果其中前一個點符合全部約束條件而下一個點不符合，那么前一個搜索點就為邊界點。再將極角γi增大Δγ，一樣可以獲得γi+1的邊界點，如此將平面全部搜索完成，就能夠獲得該平面全部的邊界曲線點。在整個空間內(nèi)把所有平面都搜索出邊界曲線點，就可以獲得該機構(gòu)的邊界三維圖。本文采用的各方向的查找區(qū)間和增量分別為-800 mm≤x≤800 mm,-800 mm≤y≤800 mm,200 mm≤z≤1 000 mm,Δz= 20 mm，Δγ=2°, Δρ=200 mm。

圖3 極坐標邊界搜索法

4.3 工作空間仿真

根據(jù)上述分析方法，得到的工作空間圖形如圖4所示。從圖可以看出，該機構(gòu)的三維邊界圖中間部分較大，上下逐漸收縮，呈現(xiàn)出兩頭小中間大的形狀。結(jié)合圖4和圖5(a)，可見x-y截面在z=500 mm附近面積達到最大，往上下兩側(cè)面積逐漸減小，在z=300 mm和z=900 mm處，截面面積接近為0。因為3個連桿的長度和行程相同以及虎克鉸安裝位置關(guān)系，使得工作空間界面關(guān)于Y軸對稱，此外截面形狀全部相似，且具有對稱性，工作空間往定平臺虎克鉸安裝位置方向突出，所以整體形狀呈120°分布。從圖4和圖5(b)可以看出，工作空間上下部分形狀雖然有些相似，但上半部空間較大，且工作空間向連桿方向傾斜。

圖4 三維邊界圖

圖5 x-y截面圖和x-z截面圖

4.4 機構(gòu)參數(shù)對工作空間大小的影響

該機構(gòu)中與工作空間有關(guān)的機構(gòu)參數(shù)主要有支鏈夾角θ、定平臺虎克鉸外接圓半徑R、UP桿直徑d、虎克鉸的最大轉(zhuǎn)角φmax。在整體尺寸不變的情況下，只考慮lmax不變時lmin對空間體積的影響，即伸縮桿行程的影響。因為是以UPS支鏈交點P的運動范圍作為工作空間，且復(fù)合球鉸半徑相對于定平臺體積很小，所以忽略復(fù)合球鉸半徑r的影響。根據(jù)前面邊界搜索法可知，在Z向上以增量Δz將整體劃分為多個微小空間；對于每個微小空間，又以極角增量Δρ將其分為多個微小扇形空間，工作空間體積Vk的計算公式為：

(8)

式中：ρ1i和ρ2i分別為極角γj不變時工作空間的內(nèi)外邊界值；Δz為微小空間的高度。整個工作空間的體積V為所有子空間的體積之和[10]:

(9)

將待評價的結(jié)構(gòu)參數(shù)尺寸設(shè)為變量，在MATLAB中搜尋工作空間時，在其中添加工作空間體積的計算公式。

從圖6(a)中可以看出，在最大桿長lmax不變的情況下，隨著伸縮桿最短桿長lmin逐漸變大，即伸縮桿行程越來越短時，工作空間的體積不斷減小，開始變化緩慢，后來下降明顯。由圖6(b)可以看出，在其他條件不變的情況下，R對空間體積影響接近線性變化，影響比較明顯；由圖6(c)可以看出，虎克鉸許用最大轉(zhuǎn)角φmax影響也同樣明顯，近似呈線性變化，所以虎克鉸許用轉(zhuǎn)角φmax要盡可能大。支鏈的最小夾角θmin對空間體積同樣有影響，如圖6(d)所示，當θ較大時，空間體積不斷減少直至為0。但由于復(fù)合球鉸具有特殊結(jié)構(gòu)，為了避免桿件干涉，桿件間必須要留有夾角，為了獲得更大的工作空間，支鏈的最小夾角θmin要設(shè)計得盡可能小。

圖6 結(jié)構(gòu)參數(shù)對工作空間的影響

5 結(jié)束語

本文設(shè)計了一種以復(fù)合球鉸作為動平臺的新型3UPS_UP并聯(lián)機構(gòu)，介紹了該機構(gòu)的結(jié)構(gòu)及位置關(guān)系。由于復(fù)合球鉸的特殊結(jié)構(gòu)，簡化了該機構(gòu)的運動學(xué)求解。通過MATLAB分析出該機構(gòu)工作空間的分布特點，并定量分析出機構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸與工作空間之間的關(guān)系。本文的研究可為該機構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸的優(yōu)化設(shè)計提供依據(jù)，有利于該機構(gòu)的推廣及應(yīng)用。