曹海燕 葉震宇

(杭州電子科技大學(xué),杭州 310018)

針對(duì)大規(guī)模多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)系統(tǒng)信道估計(jì)中的導(dǎo)頻設(shè)計(jì)問題,在壓縮感知理論框架下,提出了一種基于信道重構(gòu)錯(cuò)誤率最小化的自適應(yīng)自相關(guān)矩陣縮減參數(shù)導(dǎo)頻優(yōu)化算法.首先以信道重構(gòu)錯(cuò)誤率最小化為目標(biāo),推導(dǎo)了正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)算法下信道重構(gòu)錯(cuò)誤率與導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性之間的關(guān)系,并得出優(yōu)化導(dǎo)頻矩陣的兩點(diǎn)準(zhǔn)則,即導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性期望和方差最小化;然后研究了優(yōu)化導(dǎo)頻矩陣的方法,并提出相應(yīng)的自適應(yīng)自相關(guān)矩陣縮減參數(shù)導(dǎo)頻矩陣優(yōu)化算法,即在每次迭代過程中,以待優(yōu)化矩陣平均列相關(guān)程度是否減小作為判斷條件,調(diào)整自相關(guān)矩陣縮減參數(shù)值,使參數(shù)不斷趨近于理論最優(yōu).仿真結(jié)果表明,與采用Gaussian 矩陣、Elad 方法、低冪平均列相關(guān)方法得到的導(dǎo)頻矩陣相比,本文所提方法具有更好的列相關(guān)性,且具有更低的信道重構(gòu)錯(cuò)誤率.

1 引言

傳統(tǒng)的下行信道估計(jì)方法,如最小二乘(least square,LS)信道估計(jì)和最小均方誤差(minimized mean square error,MMSE)信道估計(jì)[1],需要根據(jù)基站端天線數(shù)目的增加線性增加導(dǎo)頻數(shù)目,具有很高的導(dǎo)頻開銷和計(jì)算復(fù)雜度.基于壓縮感知[2](compressed sensing,CS)的信道估計(jì)方法利用大規(guī)模多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)無線信道在波束域或時(shí)延域信道參數(shù)中大部分元素接近于零[3],少部分元素包含了信道的絕大部分能量的特征,將信道抽象為稀疏模型,通過很少的測(cè)量次數(shù)恢復(fù)整個(gè)信道.有效降低信道估計(jì)中的導(dǎo)頻開銷.壓縮感知信道估計(jì)的兩個(gè)關(guān)鍵問題是感知矩陣的選擇和信道恢復(fù)算法,如何設(shè)計(jì)合適的感知矩陣以及高效的信道恢復(fù)算法對(duì)提高信道估計(jì)的精確性及降低復(fù)雜度有重要意義.因此這也成為大規(guī)模MIMO 信道估計(jì)中的重點(diǎn)問題.

目前Elad[4]、Xu 等[5]和Abolghasemi 等[6]報(bào)道了典型的感知矩陣構(gòu)造方法.這些方法均通過縮減感知矩陣列相關(guān)性,達(dá)到提高信號(hào)重構(gòu)性能的目的,但缺少對(duì)感知矩陣列相關(guān)性與信號(hào)重構(gòu)錯(cuò)誤率之間關(guān)系的理論分析.Elad[4]首次通過逐步迭代縮減由感知矩陣構(gòu)造的Gram 矩陣中的非對(duì)角線元素使感知矩陣平均列相關(guān)性逐步減小,最后得到優(yōu)化的感知矩陣,該算法構(gòu)造的感知矩陣重構(gòu)錯(cuò)誤率較低,但矩陣縮減參數(shù)的選擇缺少理論依據(jù),不當(dāng)?shù)木仃嚳s減參數(shù)可能導(dǎo)致算法的重構(gòu)性能下降.Xu等[5]和Abolghasemi 等[6]的算法采用等角緊框架(equiangular tight frame,ETF)[7],將感知矩陣逐步逼近EFT,其重構(gòu)錯(cuò)誤率比Elad[4]進(jìn)一步降低.文獻(xiàn)[8]同樣依據(jù)ETF,將矩陣縮減參數(shù)直接取值為ETF 下界,并考慮了低冪平均列相關(guān)性的感知矩陣相關(guān)性定義,獲得了相關(guān)性更好的感知矩陣,但在實(shí)際中,ETF 下界是無法達(dá)到的,其并不一定是最優(yōu)的矩陣縮減參數(shù),且該算法采用固定的迭代次數(shù),無法判斷優(yōu)化過程是否收斂,存在優(yōu)化性能不足或浪費(fèi)計(jì)算資源的問題.針對(duì)以上問題,本文提出了自適應(yīng)自相關(guān)矩陣縮減參數(shù)導(dǎo)頻優(yōu)化算法.

首先將大規(guī)模MIMO 信道恢復(fù)問題抽象為稀疏信號(hào)恢復(fù)問題,給出了兩種導(dǎo)頻矩陣互相關(guān)性定義.并以信道重構(gòu)錯(cuò)誤率最小化為目標(biāo),根據(jù)正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)算法分析導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性與信道重構(gòu)錯(cuò)誤率之間的關(guān)系,得出優(yōu)化導(dǎo)頻矩陣的兩點(diǎn)準(zhǔn)則:導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性期望最小化和方差最小化.然后研究優(yōu)化導(dǎo)頻矩陣的方法,推導(dǎo)出導(dǎo)頻自相關(guān)矩陣縮減參數(shù)的最優(yōu)下界和待優(yōu)化導(dǎo)頻矩陣平均列相關(guān)程度的表達(dá)式,定義了相應(yīng)的自相關(guān)矩陣縮減參數(shù),并提出自適應(yīng)自相關(guān)矩陣縮減參數(shù)導(dǎo)頻優(yōu)化算法,即在每次迭代中,通過判斷優(yōu)化矩陣平均列相關(guān)程度是否減小,調(diào)整自相關(guān)矩陣縮減參數(shù)值不斷靠近理論最優(yōu),且在內(nèi)層循環(huán)通過計(jì)算導(dǎo)頻自相關(guān)矩陣與縮減自相關(guān)矩陣的差值范數(shù)的變化情況來判斷優(yōu)化是否正在進(jìn)行,保證算法收斂.最后設(shè)定仿真性能分析標(biāo)準(zhǔn)并給出仿真結(jié)果.仿真結(jié)果表明,相較于隨機(jī)Gaussian 矩陣[9]、Elad[4]方法和低冪平均列相關(guān)方法,采用所提出的導(dǎo)頻優(yōu)化算法得到的導(dǎo)頻矩陣具有更優(yōu)的矩陣列相關(guān)性,且可達(dá)到更低的信道重構(gòu)錯(cuò)誤率.

下文所用符號(hào)定義如下:E(·),D(·)和〈·〉分別表示取期望值,取方差值和求內(nèi)積;xij,xi和hj分別表示矩陣的第i行j列的元素,第i列和信道向量h的第j個(gè)分量;代表集合 Ω 的補(bǔ)集.

2 系統(tǒng)模型與OMP 算法介紹

2.1 大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)模型

本文采用一般的頻分雙工(frequency division duplex,FDD)大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)模型,如圖1 所示.

圖1 FDD 大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)模型Fig.1.The FDD large-scale MIMO system model.

考慮一個(gè)基站端配置N根天線,分布U個(gè)單天線用戶的MIMO 系統(tǒng),假設(shè)基站端共發(fā)送M次導(dǎo)頻序列,則對(duì)于每個(gè)單用戶,頻域接收信號(hào)y∈RM可表示為

其中,X ∈RM×N和h ∈RN分別為頻域?qū)ьl矩陣和頻域信道向量.理論研究表明,信道向量在角度域表現(xiàn)出稀疏性[1],即,F為離散傅里葉變換(discrete Fourier transform,DFT)矩陣[10],表示為

為角度域的稀疏信道向量,同樣將導(dǎo)頻矩陣在角度域中表示為為角度域信道矩陣,則 (1)式可改寫為

2.2 壓縮感知理論模型

壓縮感知[11]本質(zhì)上是一個(gè)逆線性問題,目的是從少量的線性測(cè)量值中恢復(fù)高維的信號(hào).

設(shè)信號(hào)x ∈RN存在稀疏變換Ψs,s ∈RN為稀疏向量,即‖s‖0=D,D ?N,Ψ ∈RN×N為字典矩陣,可以通過測(cè)量矩陣Φ ∈RM×N(M ?N)獲得測(cè)量值y ∈RM,則y=Φx=ΦΨs=Θs,其中Θ=ΦΨ為感知矩陣,當(dāng)感知矩陣Θ滿足2K階約束等距性質(zhì)(restricted isometry property,RIP)時(shí),可采用l0范數(shù)最小化方法對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行重構(gòu),即

若考慮存在少量有界噪聲的情況,即y=Θs+n,則(4)式可改寫為

其中,ε為噪聲功率的界值.(4)式和(5)式均可以通過OMP 算法求出近似解[12].

2.3 導(dǎo)頻矩陣互相關(guān)性定義

由2.1 節(jié)和2.2 節(jié)分析可知,信道估計(jì)中導(dǎo)頻矩陣的設(shè)計(jì)問題就是壓縮感知中感知矩陣的設(shè)計(jì)問題.在信道估計(jì)中,導(dǎo)頻矩陣X的自相關(guān)矩陣為R=XTX,可根據(jù)選取R中非對(duì)角元素最大值,將一般的導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性定義為

(6)式僅考慮了X中相關(guān)性最大的列,沒有考慮其余可能存在的相關(guān)性較大的列,缺少對(duì)矩陣相關(guān)性全面的評(píng)價(jià),可以考慮更為全面的定義[8],

通過調(diào)整參數(shù)p的值,可以改變up(X) 判別列相關(guān)性中數(shù)值大的元素多少的能力.當(dāng)p →∞時(shí),(7)式即為定義(6)式.

2.4 OMP 信道估計(jì)算法介紹

OMP 算法是一種基于迭代的貪婪算法,把信號(hào)看成是感知矩陣的列向量通過線性組合構(gòu)成,給定一個(gè)信號(hào)y,尋求通過感知矩陣列向量的稀疏線性組合來表示信號(hào)y.

考慮MIMO 信道估計(jì)模型為

假設(shè)信道稀疏度為K,即信道向量只有K個(gè)非零分量值,其余分量值等于或接近于零,信道分量指標(biāo)集合Ω={1,2,···,N},信道非零分量指標(biāo)集合Ωi={i(1),i(2),···,i(K)}?Ω.

OMP 算法本質(zhì)上尋找的目標(biāo)是Ωi.假設(shè)在OMP 算法第m次迭代后,已選擇出m個(gè)非零信道分量指標(biāo)Ω(m)={i(1),i(2),···,i(m)},對(duì)應(yīng)的導(dǎo)頻子矩陣X(m)=[xi(1),xi(2),···,xi(m)].則信道估計(jì)值(m)∈RN,接收信號(hào)估計(jì)值(m)∈RM和殘差r(m)∈RM分別計(jì)算為[13]

殘差r為原始信號(hào)y與導(dǎo)頻矩陣列向量的線性組合的差值,它描述了還沒有被解釋的測(cè)量值.

在第m+1 次迭代,OMP 算法的相關(guān)性計(jì)算為

其中c(m+1)∈RN為相關(guān)性數(shù)值向量.OMP 算法每次尋找相關(guān)性數(shù)值最大的指標(biāo)i(m+1)=,j=1,2,···,N,并將對(duì)應(yīng)的導(dǎo)頻列向量加入到原來的導(dǎo)頻子矩陣,生成新的導(dǎo)頻子矩陣,最后通過最小二乘法恢復(fù)信道向量,

經(jīng)過K次迭代后,(K) 即為OMP 算法最終得到的信道向量估計(jì)值.

3 OMP 算法下導(dǎo)頻矩陣優(yōu)化準(zhǔn)則及一般稀疏算法下的推廣

3.1 OMP 算法信道重構(gòu)錯(cuò)誤率與相關(guān)性判決的關(guān)系

OMP 算法的目的是通過相關(guān)性判決尋找信道中非零元素的位置,在算法每一次迭代中,相關(guān)性判決越容易找到信道元素值較大的位置,則信道重構(gòu)越準(zhǔn)確,信道重構(gòu)錯(cuò)誤率越小.

設(shè)導(dǎo)頻矩陣為隨機(jī)矩陣,各列均歸一化且任意兩列相關(guān)性取值〈xi,xj〉=αi,j,i,j ∈Ω,當(dāng)i=j時(shí),αi,j=1.

假設(shè)在OMP 算法第m+1 迭代中,信道向量h任意兩分量指標(biāo)l,s ∈Ω,l/=s且|hl|＞|hs|,指標(biāo)l,s對(duì)應(yīng)的相關(guān)性數(shù)值分別為.顯然是與αi,j,i,j∈Ω相關(guān)的隨機(jī)變量.它們絕對(duì)值之差的期望值體現(xiàn)了相關(guān)性判決正確與否的整體趨勢(shì),則相關(guān)性判決期望值取值正確的條件為

其中,E(·) 代表取期望值.

為了最小化OMP 信道重構(gòu)錯(cuò)誤率,在OMP算法每一次迭代中,目標(biāo)函數(shù)為

3.2 OMP 算法下導(dǎo)頻矩陣優(yōu)化準(zhǔn)則

定理1使OMP 信道恢復(fù)算法重構(gòu)錯(cuò)誤率最小化的導(dǎo)頻矩陣優(yōu)化準(zhǔn)則為

證明詳見附錄A.定理1 說明使OMP 信道恢復(fù)算法重構(gòu)錯(cuò)誤率最小化的準(zhǔn)則為:導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性期望絕對(duì)值的最大值和方差的最大值最小化.它表明了導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性期望的取值越集中,且越接近于零時(shí),OMP 算法的信道恢復(fù)性能會(huì)越好.

3.3 導(dǎo)頻矩陣優(yōu)化準(zhǔn)則在一般稀疏恢復(fù)算法下的推廣

根據(jù)壓縮感知理論,約束等距特性(restricted isometry property,RIP)是稀疏信號(hào)可重構(gòu)的必要條件,K階約束等距特性定義為,如果存在δK ∈(0,1),使得

對(duì)所有h ∈{h|‖h‖0≤K}都成立,其中如果針對(duì)所有K階稀疏矢量h均滿足(15)式的最小常數(shù)為δK,則矩陣X滿足K階約束等距特性,δK稱為矩陣X的約束等距常數(shù).

若Δ:RM →RN表示某一種重建算法,則導(dǎo)頻矩陣和重建算法對(duì)(X,Δ) 的穩(wěn)定性[14]定義為:對(duì)于任何矢量‖h‖0≤K,e ∈RM,均有

成立,則稱導(dǎo)頻矩陣X和重建算法Δ是C穩(wěn)定的.如果導(dǎo)頻矩陣和重建算法對(duì) (X,Δ)是C穩(wěn)定的,則對(duì)于所有‖h‖0≤2K,均有

由定義(16)式可以看出,C越小,導(dǎo)頻矩陣和重建算法對(duì)(X,Δ) 穩(wěn)定性越好,重建性能也越好,但是受限于導(dǎo)頻矩陣X的RIP 特性,C不能太小,當(dāng)C →1時(shí),矩陣必須滿足下限δ2K=1-1/C2→0.因此,如果希望獲得更優(yōu)的信號(hào)重建性能,需要調(diào)整矩陣X使它滿足RIP 定義 (15) 式中更大的下界,即更小的δ2K,從而使得C更小.

考慮定義 (15) 式,設(shè)矩陣X滿足2K階RIP條件,即?δ2K ∈(0,1),有

對(duì)所有的h ∈{h|‖h‖0≤2K}都成立.

利用范數(shù)運(yùn)算與跡運(yùn)算關(guān)系,(18)式可轉(zhuǎn)化為

對(duì)?‖h‖0=2K,非零分量指標(biāo)集合Ωi={i(1),i(2),···,i(2K)}.可得:

結(jié)合定理1,當(dāng)導(dǎo)頻矩陣X滿足 (14)式,即導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性期望的取值越集中且越接近于零時(shí),的取值越有可能在0 附近,此時(shí)越有可能滿足更小的δ2K使 (21) 式成立,即使得信號(hào)恢復(fù)性能越好.

根據(jù)以上推理,定理1 可推廣到任意稀疏恢復(fù)算法下.

定理2對(duì)于任意稀疏信道恢復(fù)算法重構(gòu)錯(cuò)誤率最小化的導(dǎo)頻矩陣優(yōu)化準(zhǔn)則為

4 導(dǎo)頻優(yōu)化算法分析與設(shè)計(jì)

4.1 導(dǎo)頻優(yōu)化算法分析

設(shè)導(dǎo)頻矩陣X ∈RM×N且各列均已歸一化,其自相關(guān)矩陣R=XTX,故R為半正定矩陣,可以正交對(duì)角化,即:

其中,λ1,λ2,···,λM為R的M個(gè)大于0 的特征值,Q為N階正交矩陣,由于R的對(duì)角線元素均為1,可得

又因?yàn)镽為實(shí)對(duì)稱矩陣,有R=RT,則

由拉格朗日乘子法,設(shè)函數(shù)為

分別對(duì)λ1,λ2,···,λM求偏導(dǎo)數(shù),得:

可知極點(diǎn)在λ1=λ2=···=λM處取得,且當(dāng)λ1=N,λ2=···=λM=0時(shí),

則λ1=λ2=···=λM是唯一極點(diǎn)且不是極大值點(diǎn),故其為全局最小值點(diǎn),結(jié)合(28)式和(29)式可得

(30)式代表了導(dǎo)頻矩陣各列自相關(guān)性之和所能達(dá)到的最優(yōu)下界,令bd=N2-NM/M,同時(shí)考慮到矩陣列相關(guān)性方差最小化的條件,將自相關(guān)性之和的最優(yōu)下界平均到每一元素作為每一元素的最優(yōu)下界,記為pd.則

可看出是Welch 界[15].

設(shè)參數(shù)

(32)式代表了待優(yōu)化矩陣的平均列相關(guān)程度.

通過設(shè)定自相關(guān)矩陣縮減參數(shù)ps使得pd≤ps＜pt作為縮減標(biāo)準(zhǔn)對(duì)自相關(guān)矩陣R中元素進(jìn)行縮減,即可以達(dá)到減小導(dǎo)頻矩陣X列相關(guān)性的目的,具體縮減規(guī)則設(shè)定為

通常經(jīng)過縮減后的自相關(guān)矩陣R會(huì)變成滿秩矩陣,但由于R=XTX限定了 rank(R)≤M,故需對(duì)縮減后的自相關(guān)矩陣做進(jìn)一步處理,以恢復(fù)滿足矩陣秩取值條件的導(dǎo)頻矩陣X.因?yàn)榫仃嘡可以正交分解,所以可以采用裁剪較小特征值的方法來盡可能保留原矩陣中的數(shù)值,由R=XTX=,可得

通過保留對(duì)角矩陣Λ中最大的M個(gè)特征值,根據(jù)(34)式即可恢復(fù)導(dǎo)頻矩陣X.

4.2 算法設(shè)計(jì)

根據(jù)以上分析,對(duì)于任意隨機(jī)高斯矩陣,提出自適應(yīng)自相關(guān)矩陣縮減參數(shù)導(dǎo)頻優(yōu)化算法如下.

輸入調(diào)整因子α,最優(yōu)平均相關(guān)下界pm

初始化隨機(jī)高斯矩陣X ∈RM×N,自相關(guān)矩陣R=XTX,待優(yōu)化矩陣平均列相關(guān)程度,縮減參數(shù),縮減自相關(guān)矩陣Rs∈RN×N,其中rii=1,rij=ps,i/=j,l=0,m=0,=0.

輸出優(yōu)化導(dǎo)頻矩陣

5 仿真結(jié)果

5.1 信道重構(gòu)錯(cuò)誤率

因?yàn)閷?shí)際的信道估計(jì)不能達(dá)到完全的精確,可認(rèn)為估計(jì)誤差在某一閾值ξ內(nèi)時(shí)估計(jì)正確,若經(jīng)過T次估計(jì),所得估計(jì)信道向量集合為12=Υ,定義數(shù)列{aT}為

因?yàn)? ≤aT≤1,故其上極限存在,定義信道重構(gòu)錯(cuò)誤率為

5.2 仿真參數(shù)

仿真采用FDD 大規(guī)模MIMO 下行鏈路模型,在基站端配置N根天線,每次估計(jì)發(fā)送M個(gè)導(dǎo)頻,信道稀疏度假定為K.各仿真參數(shù)說明如表1 所列,特殊參數(shù)取值以下特別說明.

表1 仿真參數(shù)Table 1.Simulation parameters.

5.3 仿真結(jié)果對(duì)比分析

圖2 給出了在(7) 式定義下的導(dǎo)頻矩陣相關(guān)性隨參數(shù)p變化對(duì)比情況.從圖2 可以看出,在參數(shù)p取值1—20 區(qū)間內(nèi),各導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性均隨著p的增大而增大,其中隨機(jī)高斯矩陣增幅最大,為10%—30%,Elad 方法顯著降低了導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性,可達(dá)到10%—15%,低冪平均列相關(guān)方法達(dá)到9%—12%,所提方法可以降低到大約9%—10%,已非常接近于理論最優(yōu)下界8.87%.

圖2 不同參數(shù) p 定義下的導(dǎo)頻矩陣相關(guān)性對(duì)比Fig.2.Pilot matrix correlation contrast as defined by different parameters.

圖3 給出了在(6) 式定義下導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性隨著發(fā)送導(dǎo)頻個(gè)數(shù)變化的對(duì)比圖,可以看出導(dǎo)頻矩陣中列相關(guān)性最大的數(shù)值.在導(dǎo)頻個(gè)數(shù)M取值19—57 范圍內(nèi),導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性均隨著導(dǎo)頻個(gè)數(shù)的增加而減小.其中隨機(jī)高斯矩陣相關(guān)性最高,在56%—80%之間.Elad 方法相對(duì)隨機(jī)高斯矩陣有小幅度降低,在導(dǎo)頻個(gè)數(shù)小于35 時(shí)與后者大體接近,以后隨著導(dǎo)頻個(gè)數(shù)的增大略微減小,這說明Elad 方法對(duì)導(dǎo)頻矩陣最大相關(guān)性取值的優(yōu)化效果不明顯.低冪平均列相關(guān)方法隨著導(dǎo)頻個(gè)數(shù)的增加顯著降低了導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性,取值在19%—70%之間,但是在導(dǎo)頻個(gè)數(shù)較少時(shí)還是具有較高相關(guān)性.所提方法進(jìn)一步降低導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性至11%—48%,并且在較少導(dǎo)頻個(gè)數(shù)下便已獲得穩(wěn)定的效果,隨著導(dǎo)頻個(gè)數(shù)增加,其相關(guān)性取值逐漸趨于最優(yōu)下界.

圖3 導(dǎo)頻矩陣相關(guān)性隨發(fā)送導(dǎo)頻數(shù)變化圖Fig.3.Changes of the pilot matrix correlation with the number of transmitted pilots.

圖4 繪制了各導(dǎo)頻矩陣不同列之間相關(guān)性取值的分布情況.可以看出,高斯隨機(jī)矩陣列相關(guān)性分布在0—30%之間較多且分布平均,說明高斯隨機(jī)矩陣列相關(guān)性方差較大,且存在較多有較大相關(guān)性的列,根據(jù)第3 節(jié)的理論分析,這會(huì)對(duì)信道恢復(fù)的正確率產(chǎn)生不利影響.Elad 方法減小了導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性方差,可以看出,當(dāng)N=128,在N2-N=16256對(duì)相關(guān)性取值中,大約有2000 對(duì)取值集中在16%—17%,其他值則均勻分布在0—16%.低冪平均列相關(guān)方法不僅使導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性的方差進(jìn)一步減小,而且相對(duì)于Elad 方法得到了更低的期望值,可以看到,大約有7000 對(duì)相關(guān)性取值分布在9%—13%之間.所提方法在9%—11%區(qū)間內(nèi)聚集了大約8000 對(duì)相關(guān)性取值,其導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性期望和方差均小于上述方法.

圖4 導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性取值分布圖Fig.4.Column correlation value distribution of pilot matrix.

圖5 給出了OMP 算法信道估計(jì)下重建錯(cuò)誤率隨稀疏度變化情況,可以看出,在信道稀疏度K取16—32 范圍內(nèi),各導(dǎo)頻矩陣下的信道估計(jì)錯(cuò)誤率均不斷上升,在稀疏度K=16 時(shí),高斯隨機(jī)矩陣重構(gòu)錯(cuò)誤率最高為7.6%,Elad 方法和低冪平均列相關(guān)方法均有效降低了信道估計(jì)的錯(cuò)誤率,達(dá)到2.00%和0.45%,所提方法達(dá)到了四者中最低的信道重構(gòu)錯(cuò)誤率0.3%.分別比前三種方法降低了96%,85%和50%.說明所提方法對(duì)進(jìn)一步提高信道估計(jì)的可靠性有真實(shí)效果.

圖5 信道重構(gòu)錯(cuò)誤率隨稀疏度變化圖Fig.5.Channel reconstruction error rate change with sparsity.

圖6、圖7 分別給出了稀疏度K=8 和K=16時(shí),OMP 信道估計(jì)下重購錯(cuò)誤率隨導(dǎo)頻個(gè)數(shù)的變化情況.從圖6 可以看出,在K=8 時(shí),各方法的信道重構(gòu)錯(cuò)誤率隨著導(dǎo)頻個(gè)數(shù)的增多而不斷減小.其中隨機(jī)高斯矩陣最高,在導(dǎo)頻個(gè)數(shù)范圍為21—32時(shí),低冪平均列相關(guān)方法重構(gòu)錯(cuò)誤率略高于Elad方法,之后則大體重合.所提方法在相同稀疏度下的重構(gòu)錯(cuò)誤率與以上兩種方法相比,大約降低了5%,說明了所提方法在低稀疏度且發(fā)送較少導(dǎo)頻時(shí)具有更好的表現(xiàn),這對(duì)于考慮到節(jié)省導(dǎo)頻開銷的實(shí)際場(chǎng)景是有意義的.

圖6 信道重構(gòu)錯(cuò)誤率隨導(dǎo)頻個(gè)數(shù)變化圖(K=8)Fig.6.Channel reconstruction error rate with number of pilots (K=8).

圖7 信道重構(gòu)錯(cuò)誤率隨導(dǎo)頻個(gè)數(shù)變化圖(K=16)Fig.7.Channel reconstruction error rate with number of pilots (K=16).

從圖7 可以看出,在信道稀疏度K=16 時(shí),重構(gòu)錯(cuò)誤率明顯增大.低冪平均列相關(guān)方法與Elad方法在M取值范圍30—42 時(shí)大體重合,所提方法則比以上兩種方法降低5% 左右,在M取值范圍43—60 時(shí),低冪平均列相關(guān)方法比Elad 方法有所降低,所提方法則具有四者中最低的信道重構(gòu)錯(cuò)誤率.說明所提方法在較為復(fù)雜的信道環(huán)境中,在保證一定的發(fā)送導(dǎo)頻數(shù)量的前提下,依舊具有良好的信道重構(gòu)性能.

6 總結(jié)

本文首先理論分析了OMP 算法下信道重構(gòu)錯(cuò)誤率與導(dǎo)頻矩陣之間的關(guān)系,得出了優(yōu)化導(dǎo)頻矩陣的兩條準(zhǔn)則:導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性期望和方差最小化.然后依據(jù)優(yōu)化準(zhǔn)則分析了優(yōu)化導(dǎo)頻矩陣的方法,并設(shè)計(jì)出相應(yīng)的自適應(yīng)自相關(guān)矩陣縮減參數(shù)導(dǎo)頻矩陣優(yōu)化算法.仿真結(jié)果表明,該方法有效降低了導(dǎo)頻矩陣列相關(guān)性期望和方差.在采用OMP 算法進(jìn)行信道估計(jì)時(shí),所設(shè)計(jì)出的導(dǎo)頻矩陣降低了信道重構(gòu)錯(cuò)誤率,提高了信道估計(jì)的可靠性.

附錄A 定理1 證明

A1 OMP 算法相關(guān)性計(jì)算

由OMP 算法中殘差和已選取列空間的正交性可知,當(dāng)j ∈Ω(m)時(shí),(10)式中的取索引值(m),可計(jì)算出第m+1 次迭代的相關(guān)性數(shù)值:

根據(jù)矩陣求逆引理[16],

因?yàn)锽為冪零矩陣,(I+B)-1可級(jí)數(shù)展開為

忽略2 次及以上的高次冪,取

(34)式可化簡(jiǎn)為

其中,BTB非常接近于零矩陣,取BTB ≈0,同樣(I+BT)-1可級(jí)數(shù)展開為

結(jié)合(A13)式,通過計(jì)算,(37)式可進(jìn)一步展開為

(A14)式和(A15)式是OMP 算法在第m+1 次迭代時(shí),在索引l和s處的相關(guān)性數(shù)值表達(dá)式.

A2 OMP 算法重構(gòu)錯(cuò)誤率與導(dǎo)頻矩陣的關(guān)系分析

假設(shè)導(dǎo)頻矩陣X各元素為服從獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,則各列相關(guān)性〈xi,xj〉,i,j ∈Ω,i／=j的期望和方差可分別計(jì)算為

可看出E(〈xi,xj〉)和D(〈xi,xj〉) 均為常數(shù),設(shè):

根據(jù)(A23)和(A24)式,對(duì)(A20)式左右兩端取期望值,其右端可做以下處理:

將(A25),(A26)和(A27)式代入(A20)式,可得:

(A28)式表示對(duì)指標(biāo)l,s代表的位置進(jìn)行相關(guān)性判決后的期望值,因?yàn)閘 ∈Ωi為信道非零分量位置指標(biāo),s∈/Ωi為信道零分量位置指標(biāo),根據(jù)(12)式,當(dāng)

相關(guān)性判決的期望選擇了信道非零分量指標(biāo)l,判決正確,令,為了盡可能減小判決出現(xiàn)錯(cuò)誤的可能性,應(yīng)使

可見f(ε,δ)取值越大,則信道重構(gòu)錯(cuò)誤率越小,因?yàn)閒(ε,δ)是關(guān)于自變量ε和δ的減函數(shù),所以應(yīng)取盡可能小的ε和δ使f(ε,δ)增大,故對(duì)于導(dǎo)頻矩陣X,使OMP 算法重構(gòu)錯(cuò)誤率最小化的條件為