■江蘇省灌南縣六塘中學(xué) 江宋標(biāo)

應(yīng)用性問(wèn)題就是將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活現(xiàn)象結(jié)合在一起的題型，學(xué)生在解題的過(guò)程中能夠體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的聯(lián)系，不僅考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，還考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力。因此教師在教學(xué)的過(guò)程中不應(yīng)當(dāng)局限于做題練習(xí)，更多的是需要講解解題技巧、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，只有學(xué)生能夠充分理解題目表達(dá)的意思，并結(jié)合生活實(shí)際和所學(xué)知識(shí)分析解題思路，才能提高解題的正確率，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

一、因材施教激發(fā)學(xué)生興趣

因材施教是提升學(xué)習(xí)興趣的有效方法，這需要教師準(zhǔn)確了解各個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，針對(duì)不同能力程度的學(xué)生采取不同的措施來(lái)培養(yǎng)他們的興趣。比如，基礎(chǔ)能力較弱的學(xué)生，特別是對(duì)應(yīng)用性問(wèn)題中涉及的概念、公式等基礎(chǔ)知識(shí)掌握不全面的，教師要對(duì)其進(jìn)行針對(duì)性輔導(dǎo)，先從簡(jiǎn)單的應(yīng)用性問(wèn)題開(kāi)始，注重培養(yǎng)學(xué)生的解題自信，使他們不畏懼解題，只有學(xué)生自愿解決并會(huì)解答應(yīng)用性問(wèn)題，才能樂(lè)意解題。例如，教師在講解求解速度的應(yīng)用性問(wèn)題時(shí)，便可以先向能力較弱的學(xué)生提出基礎(chǔ)性的應(yīng)用題：汽車(chē)行駛至五百米的隧道時(shí)，需要30秒才能通過(guò)，那么這輛汽車(chē)速度是多少？當(dāng)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖正確解答出來(lái)之后，便能產(chǎn)生自信心，然后教師就可以在這道題的基礎(chǔ)上逐漸增加難度，針對(duì)學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生提出問(wèn)題“汽車(chē)完全行駛在隧道中需要4秒，長(zhǎng)度是多少米”，不僅可以滿足能力強(qiáng)的學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，也能夠使能力弱的學(xué)生產(chǎn)生鉆研精神，繼續(xù)不斷地深入學(xué)習(xí)。另外，教師也可以通過(guò)競(jìng)賽的方式讓學(xué)生一同比賽，營(yíng)造良好的競(jìng)爭(zhēng)氛圍，并給予解答問(wèn)題又快又準(zhǔn)的學(xué)生相應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)，讓學(xué)生在比賽的氛圍中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。例如，教師在講解完“因式分解”相關(guān)知識(shí)后可以列出算式，分組讓學(xué)生進(jìn)行分解因式計(jì)算：a2b+5ab+b、(a-b)2-(a-b)(a-c)+(a-b)(b+c)、xn+xn-1+xn-2等，難度可以由易到難，然后對(duì)快速計(jì)算完畢且全部正確的小組予以物質(zhì)或語(yǔ)言的激勵(lì)，以此激發(fā)其他小組學(xué)生的解題興趣，提升解題能力。

二、深挖例題拓展學(xué)生思維

應(yīng)用性問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)并不是一蹴而就的，這是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，即便學(xué)生有濃厚的學(xué)習(xí)興趣也做不到在短時(shí)間內(nèi)養(yǎng)成學(xué)習(xí)能力，教師應(yīng)當(dāng)始終將牢固的基礎(chǔ)知識(shí)作為培養(yǎng)解決問(wèn)題能力的根基。在講解新知識(shí)時(shí)，教師可以選擇簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行引入，教材中的例題、習(xí)題是與教學(xué)內(nèi)容緊密關(guān)聯(lián)的，所以教師可以將這些題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)母淖?，使其變?yōu)楦鼮殚_(kāi)放且發(fā)散的應(yīng)用問(wèn)題，從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析，拓展學(xué)生的思維。例如，教師講解“點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系”這一節(jié)內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，便可以利用課本中的例題：不過(guò)圓心的直線Z交圓O于C、D兩點(diǎn)，AB是直徑，AE⊥Z，垂足為E，BF⊥Z，垂足為F，求證：CD=DF。教師此時(shí)可以對(duì)題目稍做變動(dòng)，去掉課本中的例圖和求證問(wèn)題，讓學(xué)生根據(jù)已知的條件自己畫(huà)圖，然后再進(jìn)行證明。這樣不僅可以使學(xué)生的四維空間思維能力得到拓寬，也能使學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)的創(chuàng)新能力和問(wèn)題解決能力。

三、結(jié)合生活實(shí)際加深學(xué)生理解

應(yīng)用性數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有一些名詞或者涉及的知識(shí)點(diǎn)是學(xué)生在生活中能夠接觸或者遇見(jiàn)的，所以教師在講解價(jià)格、速度、股票、話費(fèi)清單等與生活相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，便需要向?qū)W生普及一些有關(guān)的常見(jiàn)名詞的知識(shí)，如成本價(jià)、利潤(rùn)、毛利潤(rùn)、速度等，只有學(xué)生清楚理解這些名詞背后的含義，才能夠在后續(xù)解題的過(guò)程中準(zhǔn)確掌握題目的信息。教師還可以通過(guò)微信群或者QQ群時(shí)常與學(xué)生討論一些購(gòu)物方面的數(shù)學(xué)知識(shí)，分享數(shù)學(xué)資料等，如可以與學(xué)生交流某些學(xué)生喜愛(ài)的產(chǎn)品的打折活動(dòng)，讓學(xué)生比較哪一家的打折力度大，探究原因，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如，教師在講解一元二次方程的題型時(shí)，可以結(jié)合“坐飛機(jī)托運(yùn)行李”這一生活中常見(jiàn)的現(xiàn)象：行李托運(yùn)時(shí)每人可以免費(fèi)托運(yùn)20千克，若超出規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)則需要收取托運(yùn)費(fèi)用，費(fèi)用需要按照每千克票價(jià)的12%收取，小李乘坐飛機(jī)時(shí)攜帶的行李重40千克，機(jī)票與行李超額費(fèi)用共1455元，那么小李的機(jī)票是多少錢(qián)？這一題干更方便學(xué)生理解一元二次方程的解法，能使學(xué)生切身感受到數(shù)學(xué)的魅力。教師也可以選擇創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境的方式培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，這便要求教師創(chuàng)設(shè)的情境即要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，符合教學(xué)目標(biāo)，還要含有豐富且直觀的數(shù)學(xué)信息，符合學(xué)生的認(rèn)知水平，便于學(xué)生理解。例如，教師在講解不等式的知識(shí)時(shí)，便可以創(chuàng)設(shè)生產(chǎn)活動(dòng)的情境：有一項(xiàng)綜合治理河流的市政工程，需要磚瓦廠生產(chǎn)甲、乙兩種類型的磚共60萬(wàn)塊，其中A類原料有150萬(wàn)千克，B類原料有170萬(wàn)千克，若是生產(chǎn)1萬(wàn)塊甲磚，需要使用A類、B類原料1.5萬(wàn)千克和4萬(wàn)千克，造價(jià)1.2萬(wàn)元；若是生產(chǎn)1萬(wàn)塊乙磚，則需要使用A類、B類原料5萬(wàn)千克和2.5萬(wàn)千克，造價(jià)1.8萬(wàn)元，那么可以設(shè)計(jì)幾種生產(chǎn)方案？當(dāng)教師將不等式的知識(shí)與生產(chǎn)情境結(jié)合在一起，便能夠引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)分析生產(chǎn)方案，不僅可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，也能養(yǎng)成解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

四、巧設(shè)問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生思維

提問(wèn)是教師每節(jié)課必備的環(huán)節(jié)，不管教學(xué)內(nèi)容是什么，學(xué)生的基礎(chǔ)能力差異大或小，教師都必須通過(guò)深思熟慮，巧妙設(shè)計(jì)提問(wèn)環(huán)節(jié)，即要避免問(wèn)題過(guò)于簡(jiǎn)單，也要保證問(wèn)題的趣味性，以保證學(xué)生有充足的探究欲望去解答問(wèn)題。例如“三角形內(nèi)角和定理”這節(jié)內(nèi)容，教師在教學(xué)時(shí)可以根據(jù)學(xué)生的不同基礎(chǔ)設(shè)計(jì)不同難度的問(wèn)題，對(duì)于基礎(chǔ)一般的學(xué)生，教師可以提問(wèn)：△ABC是等腰三角形，若其中一角是30°，另外兩個(gè)角是多少度。這類問(wèn)題較為簡(jiǎn)單，能夠滿足基礎(chǔ)能力不強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，但是面對(duì)基礎(chǔ)較好的學(xué)生，教師便可以變更題目的難度：BC邊上的高等于BC邊長(zhǎng)的一半，∠BAC是多少度。此時(shí)題目不僅需要將線段問(wèn)題轉(zhuǎn)化為角的問(wèn)題，學(xué)生還需要根據(jù)已知信息畫(huà)出相應(yīng)圖形，能有效達(dá)到推動(dòng)學(xué)生探究的目的。

五、利用數(shù)學(xué)問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感

初中數(shù)學(xué)教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的前提，便是數(shù)感的培養(yǎng)。只有學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)感，才能學(xué)習(xí)進(jìn)步的同時(shí)懂得利用數(shù)學(xué)觀念認(rèn)識(shí)生活中的事物，懂得有意識(shí)地觀察并處理存在的數(shù)學(xué)問(wèn)題，因此教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)利用數(shù)學(xué)問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感，以提高提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)正負(fù)數(shù)時(shí)，教師可以利用一張存折讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)可以看到哪些數(shù)，它們表示什么含義；通過(guò)數(shù)學(xué)故事向?qū)W生介紹古代人們用“結(jié)繩記數(shù)”等方式表示數(shù)、用算籌進(jìn)行計(jì)算；估算的范圍等。只有這樣才能促使學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)、解題技能與具體的事物聯(lián)系起來(lái)。

六、利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)換學(xué)生解題思維

數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，類型多樣，當(dāng)遇到函數(shù)問(wèn)題、幾何問(wèn)題、不等式問(wèn)題時(shí)往往會(huì)有畏難心理，此時(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維被局限在固有的思維定式中，解題思路單一，不能將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使學(xué)生在解答問(wèn)題時(shí)受到阻礙。數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中能運(yùn)用直觀的圖形使學(xué)生理解題目中存在的數(shù)量關(guān)系，以此提升解題效率。學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)應(yīng)用性問(wèn)題進(jìn)行分析探究時(shí)，不僅需要分析數(shù)量關(guān)系，還要探究圖形規(guī)律，在這樣的過(guò)程中，學(xué)生的邏輯思維和空間轉(zhuǎn)換思維也能得到一定程度的鍛煉。學(xué)生具備良好的數(shù)形結(jié)合思想，便可以實(shí)現(xiàn)“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”的教學(xué)效果。例如，數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題，教師便可以利用數(shù)形結(jié)合的思想幫助學(xué)生尋找解決問(wèn)題的突破口。教師可以出示題目：已知tanα=1/2，tanβ=1/3，求證α+β=45°。這道正切函數(shù)的問(wèn)題需要學(xué)生利用題目中存在的數(shù)量關(guān)系構(gòu)造角α、β以此求證α+β=45°，此時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生先根據(jù)已知條件畫(huà)出角α、β，然后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行構(gòu)造，構(gòu)造出角α+β，以便能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為形象且直觀的圖形，借助圖形的分析，學(xué)生便可以快速得到答案，不僅可以提升實(shí)際的解決問(wèn)題能力，使解題效率得以提高，同時(shí)也可以使學(xué)生逐步養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合思想，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維。

七、講解解題技巧提高學(xué)生解題能力

教師在教學(xué)時(shí)除了要讓學(xué)生有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，還需要為學(xué)生講解解題技巧、解題方法或歸類指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，以此提高學(xué)生的解題能力，加強(qiáng)學(xué)生的理解能力。應(yīng)用性問(wèn)題的解題思路整體上可以概括為讀題、理解材料、進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化、利用知識(shí)解決并應(yīng)用，不過(guò)面對(duì)不同類型的應(yīng)用問(wèn)題，又有不同的解題技巧，所以教師要加以指導(dǎo)。應(yīng)用性問(wèn)題大都是固定的幾種類型，即方程類、函數(shù)類、不等式類、幾何類、證明類，在考試中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)題也多是“換湯不換藥”，教師指導(dǎo)學(xué)生掌握應(yīng)用性問(wèn)題各種類型的解題技巧，能夠讓學(xué)生減少考試失誤，取得良好的數(shù)學(xué)成績(jī)。比如，在講解有關(guān)解答方程類的應(yīng)用性問(wèn)題時(shí)，教師便可以從認(rèn)真讀題，歸納題型、審視問(wèn)題，尋找條件、篩選條件，分析有效變量、設(shè)置正確未知數(shù)，建立方程這幾個(gè)步驟來(lái)讓學(xué)生學(xué)習(xí)解題技巧，將重點(diǎn)放在對(duì)題目的閱讀和分析上。另外，由于應(yīng)用性問(wèn)題彼此之間的關(guān)系不夠明顯，一些學(xué)生也沒(méi)有靈活的解題思路，所以教師還需要引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用性問(wèn)題之間存在的關(guān)系，以保證學(xué)生能夠養(yǎng)成良好的數(shù)量關(guān)系思維。例如，某工廠對(duì)明年的產(chǎn)品制訂了生產(chǎn)計(jì)劃，該計(jì)劃中具有以下信息：1.參與產(chǎn)品生產(chǎn)項(xiàng)目的人員不超過(guò)150人；2.每一位員工一年的工時(shí)大約為2350個(gè)小時(shí)；3.該產(chǎn)品預(yù)計(jì)明年的銷(xiāo)售量至少在6萬(wàn)件以上；4.該產(chǎn)品每一件生產(chǎn)需要3個(gè)小時(shí)；5.每一件產(chǎn)品生產(chǎn)需要的材料為15公斤；6.目前該廠庫(kù)存的生產(chǎn)材料為700噸，但是實(shí)現(xiàn)今年產(chǎn)品生產(chǎn)還需要220噸，在明年可以補(bǔ)充960噸，要求：根據(jù)上述的資料，決定明年的產(chǎn)量（x）的范圍。由于這類題目中存在較多的信息，學(xué)生在理解時(shí)容易混淆，因此教師便可以指導(dǎo)對(duì)題干信息進(jìn)行分類整理，如工時(shí)為一類、生產(chǎn)時(shí)間與材料為一類、產(chǎn)量與銷(xiāo)量為一類等，這樣便可以使學(xué)生邏輯清晰，根據(jù)所學(xué)的生產(chǎn)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)列出明年產(chǎn)量的關(guān)系式，從而能得到最終的答案。

八、加強(qiáng)練習(xí)，建立錯(cuò)題本

應(yīng)用性問(wèn)題的解題方式與分析思路各式各樣，而且運(yùn)算時(shí)的步驟也多，學(xué)生在解題時(shí)容易因?yàn)槭韬龆霈F(xiàn)錯(cuò)誤，但是不論是何種應(yīng)用性問(wèn)題，只要學(xué)生練習(xí)得多，對(duì)其背后考查的知識(shí)點(diǎn)與題目類型便能夠準(zhǔn)確掌握，減少出錯(cuò)率。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)便可以建立錯(cuò)題本，將自己解決問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤和正確的方法都列在錯(cuò)題本中，定期進(jìn)行鞏固練習(xí)，總結(jié)自己的錯(cuò)誤，加深對(duì)正確解法的理解與記憶。只有學(xué)生在不斷總結(jié)歸納中認(rèn)識(shí)自我、復(fù)習(xí)知識(shí)，才能有效提高自學(xué)能力，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶程度。學(xué)習(xí)能力比較強(qiáng)的學(xué)生都善于做總結(jié)和歸納，這類學(xué)生的思路往往比其他同學(xué)清晰，所以學(xué)習(xí)能力比較突出和顯著，很多數(shù)學(xué)題目就是形式變了一下，其實(shí)考查的都是同一個(gè)考點(diǎn)，學(xué)生將相同考點(diǎn)的題目在錯(cuò)題本中進(jìn)行歸納，總結(jié)這類題目的解決辦法，從而可以提高他們的解題能力。

九、培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)

數(shù)學(xué)教學(xué)中的建模思想是核心素養(yǎng)理念中的一個(gè)重要內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)和建模能力能使學(xué)生更加靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，使他們產(chǎn)生多種解題思路去解決應(yīng)用性問(wèn)題。但是目前初中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中普遍存在的問(wèn)題便是沒(méi)有較強(qiáng)的建模意識(shí)，學(xué)生難以理解數(shù)學(xué)在生活中存在的意義，不懂得如何利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，因此教師必須重視培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題的能力。在平時(shí)的教學(xué)中，教師要注重對(duì)各種不同的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行詳細(xì)的講解，包括直角坐標(biāo)系、不等式、幾何、函數(shù)等，使學(xué)生在面對(duì)應(yīng)用性題目的時(shí)候能夠有效進(jìn)行建模。只有通過(guò)建模的模式去做數(shù)學(xué)的推演，通過(guò)數(shù)學(xué)的建模來(lái)直觀、精確地找到解決問(wèn)題的答案，才能夠使學(xué)生在運(yùn)算時(shí)產(chǎn)生正確的結(jié)果。比如，在教學(xué)到裁剪布料這一數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師就可以通過(guò)建模思想引導(dǎo)學(xué)生分析這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生可以將紙作為布料，用紐扣或者硬幣代替圓桌臺(tái)布，用橡皮代替矩形桌臺(tái)布，然后在一張紙上進(jìn)行排列演示，看能產(chǎn)生多少種組合排列的方式，而這就是一個(gè)建模的過(guò)程。

十、學(xué)會(huì)溝通交流把握數(shù)學(xué)語(yǔ)言

溝通、交流不論在生活中還是在學(xué)習(xí)中都是不可或缺的一項(xiàng)基本能力，加強(qiáng)溝通交流才可以增進(jìn)學(xué)生之間的感情。在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行溝通和交流，主要是需要學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，以此養(yǎng)成對(duì)數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用能力和對(duì)數(shù)學(xué)信息的把握能力。例如，教師在講解等邊三角形的相關(guān)知識(shí)時(shí)，需要學(xué)生正確了解等邊三角形的性質(zhì)，此時(shí)教師可以用小組合作的方式讓學(xué)生集中討論，并用自己的話將這一知識(shí)點(diǎn)論述出來(lái)：三角形的三條邊若是都相等，就是等邊三角形。這樣不僅可以實(shí)現(xiàn)師生、生生的良好互動(dòng)，使用通俗易懂且不失數(shù)學(xué)含義的語(yǔ)言進(jìn)行交流，便可以讓學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

綜上所述，初中數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題的形式多樣，解題方法也各有不同，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解決能力，這不僅能使學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)更加扎實(shí)，還能提高學(xué)生的邏輯思維能力，對(duì)學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升也十分有利。