張 政, 楊勝來, 袁鐘濤, 張希勝, 李 帥, 王 萌

(中國石油大學(xué)(北京) 油氣資源與探測國家重點實驗室, 北京 102249)

低滲透油藏中流體滲流由于啟動壓力梯度等非線性滲流特征的存在, 不符合達西定律[1]。目前研究低滲透油藏滲流時，常用的滲流模型有擬啟動壓力梯度模型[2]、非線性滲流模型[3-4]。低滲透油藏自然產(chǎn)能較低[5-6]，因此需要壓裂等增產(chǎn)措施。近些年，壓裂定向井產(chǎn)能公式的研究有：Roemershauser[7]提出了定向井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能分析的電模擬實驗方法；Cinco[8]計算了裂縫無限導(dǎo)流情況下井底壓力； Vandervlis[9]測量了閉合壓力下裂縫的傳導(dǎo)能力。韓秀玲[10]考慮油水兩相條件下，采用等效直井方法，建立考慮井斜影響的規(guī)則井網(wǎng)整體壓裂產(chǎn)能預(yù)測數(shù)學(xué)模型。程遠方[11]進行定向井壓裂裂縫三維擴展形態(tài)的可視化仿真。張晉[12]根據(jù)勢疊加原理，把天然裂縫和人工裂縫當(dāng)成獨立的源進行勢疊加，考慮天然裂縫和人工裂縫的耦合作用，建立壓裂定向井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量計算公式。賈品[13]將油藏到裂縫流動和裂縫內(nèi)部流動進行耦合，建立了一種新的壓裂傾斜縫和油藏耦合的壓力半解析模型。黃世軍[14]基于點源勢函數(shù)，采用勢疊加建立定向井和壓裂定向井三維勢函數(shù)，推導(dǎo)了各向異性油藏中壓裂定向井的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能新公式。

前人研究低滲油藏定向井產(chǎn)能多采用擬啟動壓力梯度模型，但擬啟動壓力梯度模型并不能完全反映低滲透油藏的滲流特征。該研究針對低滲透油藏壓裂定向井，通過保角變換建立壓裂定向井達西模型、擬啟動壓力梯度、非線性滲流產(chǎn)能公式，計算3種模型壓裂定向井產(chǎn)能并與實際油井產(chǎn)能進行對比，分析產(chǎn)能敏感性，希冀對低滲透油藏壓裂定向井產(chǎn)能計算提供依據(jù)。

1 假設(shè)條件

壓裂定向井模型如圖1所示。假設(shè)條件為：1)水平、均質(zhì)、等厚各向異性無限大油藏，油藏厚度為h，水平滲透率為kh，垂向滲透率為kv；2)不可壓縮單相流體；3)在任意x-y平面上，裂縫沿最大水平主應(yīng)力方向延伸；4)忽略重力和井筒沿程壓力損失的影響；5)忽略裂縫內(nèi)的流動壓降，即裂縫具有無限導(dǎo)流能力；6)裂縫為垂直縫，對稱分布于井筒兩邊[14]；7)裂縫寬度遠小于油藏的供給半徑，因此在保角變換中可以忽略不計。

圖1 壓裂定向井空間示意圖Fig.1 Schematic diagram of fracturing directional well space

2 3種滲流模型壓裂定向井產(chǎn)能公式

2.1 擬啟動壓力梯度和非線性滲流模型

擬啟動壓力梯度滲流數(shù)學(xué)模型為

(1)

式中：G為擬啟動壓力梯度，MPa/m；kh為地層水平滲透率，(×10-3μm2)；μ為黏度，mPa·s。

根據(jù)流量-壓差法實驗做冀東油田某區(qū)塊擬啟動壓力梯度實驗，不同流度和對應(yīng)的擬啟動壓力梯度數(shù)值如圖2所示。

圖2 擬啟動壓力梯度與流度關(guān)系Fig.2 The relationship between the pressure gradient to start and the fluidity ratio

進行回歸分析得到冀東油田某區(qū)塊巖石擬啟動壓力梯度公式為

(2)

引入考慮邊界層影響的多個毛細管組成油藏的流量公式[15]，結(jié)合擬啟動壓力梯度實驗與邊界層實驗，根據(jù)逐步回歸篩選不同儲層主控因素，得影響邊界層厚度與毛細管半徑之比的主要變量是流體黏度和壓力梯度，再用多元非線性回歸得邊界層厚度與毛細管半徑之比和黏度、壓力梯度之間的關(guān)系為

(3)

式中：r為毛細管半徑，m；δ為邊界層厚度，m。

流體的屈服應(yīng)力不變，則

(4)

式中：τ0為流體屈服應(yīng)力值，MPa。

將式(3)和式(4)代入考慮邊界層影響的多個毛細管組成油藏的流量公式，忽略高階小項得：

(5)

因此非線性滲流數(shù)學(xué)模型為

(6)

式中：a1和a2為根據(jù)實驗擬合的啟動壓力梯度和非線性滲流的特征參數(shù)。

定義FG為考慮壓力梯度、邊界層、黏度影響的非線性啟動壓力梯度公式。

由式(6)得:

(7)

2.2 壓裂定向井達西、擬啟動壓力梯度、非線性滲流模型產(chǎn)能公式

垂直縫生產(chǎn)時，在地層中產(chǎn)生平面二維橢圓滲流，形成以裂縫端點為焦點的等壓橢圓和雙曲線流線簇[16-19]。而定向井壓裂形成垂直縫時，裂縫傾斜，要考慮因為井斜造成的負表皮系數(shù)和真實表皮系數(shù)對裂縫泄油半徑的影響。

以定向井井筒為z′方向，裂縫延伸方向為x′方向，同平面垂直于裂縫延伸方向的為y′方向。如圖3所示，將z′平面的橢圓形滲流場轉(zhuǎn)換為W平面單向流滲流。圖3中z′平面上，①和③是裂縫終端，②是井筒，④和⑥是油井控制半徑終端，⑤是油井動用半徑終端，W平面①～⑥為z′平面經(jīng)過保角變換映射的點。

圖3 垂直裂縫保角變換示意圖Fig.3 Schematic diagram of conformal transformation of vertical seams

取變換函數(shù)為

z′=Lcoshw

(8)

式中：L為裂縫半長，m。

其中：z′=x′+iy′ , 帶入式(8)得

x′+iy′=L(coshucosv+isinhusinv)

(9)

z′平面的等勢線公式為

(10)

當(dāng)u0較大時，對應(yīng)z′平面半徑為re的圓

(11)

等勢線公式變?yōu)?/p>

(12)

所以

(13)

而在以地層垂深為z方向的Z平面上要考慮井斜造成的表皮系數(shù)和真實表皮系數(shù)，因此u0變?yōu)?/p>

(14)

式中：Sθ為Besson[20-22]法井斜表皮系數(shù)；Sd為真實表皮系數(shù)。

在W平面上

(15)

考慮應(yīng)力敏感性對產(chǎn)能的影響

(16)

式中：pi為原始地層壓力，MPa；kh為地層水平滲透率，(×10-3μm2)；α為應(yīng)力敏感系數(shù)，MPa-1。

將式(2)和式(7)代入式(15)，修正得考慮應(yīng)力敏感系數(shù)的擬啟動壓力梯度模型

(17)

以及非線性滲流模型壓裂定向井產(chǎn)能公式

(18)

式中：Q為油井產(chǎn)能，m3/d；pe和pw分別為供給邊界的壓力、油井井底壓力，MPa；Bo為原油體積系數(shù)；μo為原油黏度，mPa·s；re和rw分別為供給半徑、井筒半徑，m；rD為動用半徑，m。

當(dāng)式(17)擬啟動壓力梯度為零時，公式變?yōu)閴毫讯ㄏ蚓_西模型產(chǎn)能公式。

3 模型驗證及不同產(chǎn)能模型對比

選取冀東低滲透油藏油田定向井，定向井所處地層水平平均滲透率為1.95×10-3μm2，地層垂向平均滲透率為1.26×10-3μm2，原始地層壓力為33.95 MPa，供給壓力為25.27 MPa，原油黏度0.85 mPa·s，原油體積系數(shù)1.275 8，真實表皮系數(shù)2.6，具體參數(shù)見表1。在當(dāng)前水平滲透率和黏度條件下擬合得到a1=0.068 7，a2=0.361 4。不同生產(chǎn)壓差下3種滲流模型產(chǎn)能與實際產(chǎn)能對比如圖4a所示；不同生產(chǎn)壓差下3種滲流模型產(chǎn)能與實際產(chǎn)能誤差如圖4b所示。

表1 油藏和油井基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of reservoir and oil well

圖4 3種滲流模型與實際對比Fig.4 Comparison of the three seepage models and the actual well productivity

由圖4a得知，在確定生產(chǎn)壓差下，壓裂定向井達西模型產(chǎn)能是實際產(chǎn)能的1.56倍，擬啟動壓力梯度模型產(chǎn)能是實際產(chǎn)能的0.86倍，非線性滲流模型產(chǎn)能是實際產(chǎn)能的1.05倍，達西模型產(chǎn)能最大，非線性滲流模型產(chǎn)能次之，擬啟動壓力梯度模型產(chǎn)能最小。由圖4b得知，達西模型、擬啟動壓力梯度模型、非線性滲流模型產(chǎn)能與實際產(chǎn)能平均誤差分別為56.14%，13.72%和5.11%。達西模型產(chǎn)能比實際產(chǎn)能多了50.14%，是忽略了啟動壓力梯度、邊界層等其他因素對產(chǎn)能的影響。擬啟動壓力梯度模型產(chǎn)能誤差是非線性滲流模型產(chǎn)能誤差的2.68倍，一定程度上說明擬啟動壓力梯度模型并不能完全反映低滲透油藏非線性滲流特征，而非線性滲流模型可以精確地描述低滲透油藏非線性滲流特征。

4 產(chǎn)能敏感性分析

采用建立的3種產(chǎn)能模型進行敏感性分析，影響因素為裂縫半長、井斜角、應(yīng)力敏感。分析結(jié)果如圖5所示。選取生產(chǎn)壓差8.44 MPa下裂縫半長10～90 m，裂縫半長對產(chǎn)能的影響如圖5a所示。由圖5a得知，隨著裂縫半長的增加，3種滲流模型產(chǎn)能增加；裂縫半長相同時，達西模型產(chǎn)能最大，非線性滲流模型產(chǎn)能次之，擬啟動壓力梯度模型產(chǎn)能最小。并隨著裂縫半長逐漸增加，3種滲流模型產(chǎn)能增加幅度平緩。

選取生產(chǎn)壓差8.44 MPa下井斜角10 °～70 °，井斜角對產(chǎn)能的影響如圖5b所示。由圖5b得知，隨著井斜角的增加，3種滲流模型產(chǎn)能增加；井斜角相同時，達西模型產(chǎn)能最大，非線性滲流模型次之，擬啟動壓力梯度模型產(chǎn)能最小。井斜角在0 °～30 °，3種滲流模型產(chǎn)能增加幅度平緩，井斜角超過30 °之后，3種滲流模型產(chǎn)能增加幅度逐漸變大。這是由于隨井斜角的增加，井筒與儲層接觸面積增大，提高了油井產(chǎn)能。

選取生產(chǎn)壓差8.44 MPa下應(yīng)力敏感系數(shù)0～0.1 MPa-1，應(yīng)力敏感系數(shù)對產(chǎn)能的影響如圖5c所示。由圖5c得知，隨著應(yīng)力敏感系數(shù)增加，3種滲流模型定向井產(chǎn)能減??；在相同應(yīng)力敏感系數(shù)下，達西模型產(chǎn)能最大，擬啟動壓力梯度模型產(chǎn)能次之，非線性滲流模型產(chǎn)能最小；在應(yīng)力敏感系數(shù)較小時，3種滲流模型產(chǎn)能差距較大；而隨著應(yīng)力敏感系數(shù)增加，定向3種滲流模型產(chǎn)能差距減小，并且油井產(chǎn)能下降趨勢均變緩。這是由于應(yīng)力敏感系數(shù)增加，巖石滲透率下降趨勢變緩，產(chǎn)能下降變緩。

圖5 敏感性分析Fig.5 Sensitivity analysis

5 結(jié)論

1)在相同生產(chǎn)壓差下，壓裂定向井達西模型產(chǎn)能是實際產(chǎn)能的1.56倍，擬啟動壓力梯度模型產(chǎn)能是實際產(chǎn)能的0.86倍，非線性滲流模型產(chǎn)能是實際產(chǎn)能的1.05倍，因此采用非線性滲流模型計算產(chǎn)能較為精確。

2)達西模型產(chǎn)能與實際產(chǎn)能平均誤差是56.14%，說明低滲透儲層存在啟動壓力梯度、邊界層等其他因素影響，不宜用達西模型計算低滲透油藏定向井產(chǎn)能；擬啟動壓力梯度模型、非線性滲流模型與實際產(chǎn)能平均誤差分別是13.72%和5.11%，擬啟動壓力梯度模型產(chǎn)能誤差比非線性滲流模型產(chǎn)能誤差大，說明擬啟動壓力梯度不能完全反映低滲透油藏滲流特征，而非線性滲流模型可以較為精確反映低滲透油藏滲流特征。

3)隨著裂縫增加，3種滲流模型產(chǎn)能增加，并隨著裂縫長度增加，產(chǎn)能增加趨勢變緩；隨著井斜角的增加，3種滲流模型定向井產(chǎn)能增加，井斜角在大于30 °之后，3種滲流模型產(chǎn)能增加幅度逐漸變大；隨著應(yīng)力敏感系數(shù)增加，3種滲流模型定向井產(chǎn)能減小。因此選擇合適的裂縫長度和井斜角并降低應(yīng)力敏感對產(chǎn)能的影響，對油田增產(chǎn)尤為重要。