王洪濤，鄒 斌

基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的電價區(qū)間預(yù)測

王洪濤1,2，鄒 斌1

(1.上海大學(xué)機(jī)電工程與自動化學(xué)院，上海 200444；2.寧德師范學(xué)院信息與機(jī)電工程學(xué)院，福建 寧德 352100)

在高比例可再生能源參與市場競爭的背景下，電價波動更為劇烈。為了對電價區(qū)間進(jìn)行預(yù)測，提出了動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)(Dynamic Bayesian Network, DBN)的電價區(qū)間預(yù)測方法。該方法以風(fēng)電發(fā)電量、總發(fā)電量和總用電量的預(yù)測值以及歷史電價真實值為輸入數(shù)據(jù)，以貪婪搜索算法確定DBN的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，以最大似然估計法(Maximum Likelihood Estimate, MLE)估計DBN網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，建立DBN模型。然后以風(fēng)電發(fā)電量、總發(fā)電量和總用電量的預(yù)測值為推理證據(jù)，采用聯(lián)合樹推理得到電價預(yù)測的離散值和后驗概率，實現(xiàn)電價的區(qū)間預(yù)測。最后將所提方法與電價真實值、對比方法進(jìn)行比較，驗證了所提方法的有效性。所提方法不僅能得到電價的預(yù)測區(qū)間，而且能給出對應(yīng)的概率，對提高市場成員的收益、規(guī)避價格風(fēng)險具有指導(dǎo)意義。

電價預(yù)測；區(qū)間預(yù)測；動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)；聯(lián)合樹推理；向前向后算法；改進(jìn)k-means聚類；平均差異度

0 引言

在高比例可再生能源參與競爭的電力市場中(如北歐電力市場)，現(xiàn)貨市場中電價受可再生能源發(fā)電成本低、出力波動性強(qiáng)[1]以及輸電線路阻塞等多方面因素影響，容易出現(xiàn)電價劇烈波動和跳躍，給電價的點預(yù)測帶來較大的困難[2-3]。為了給市場成員的短期交易、風(fēng)險價值計算[4]以及報價策略等提供更為豐富的電價信息和決策自由度，有必要對電價區(qū)間進(jìn)行預(yù)測[5-6]。

區(qū)間預(yù)測是指在給定置信水平下，預(yù)測未來時刻目標(biāo)量可能出現(xiàn)的上下界[7-8]。以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Neural Network, NN)為代表的區(qū)間預(yù)測是目前的主要方法[9-10]。

2011年Abbas Khosravi提出了邊界估計(Lower Upper Bound Estimation, LUBE)的區(qū)間預(yù)測方法[11]，該方法將NN的單個輸出調(diào)整為兩個輸出，直接輸出預(yù)測區(qū)間的上界和下界，通常以預(yù)測區(qū)間覆蓋概率(Prediction Intervals Coverage Probability, PICP)、預(yù)測區(qū)間平均帶寬(Prediction Intervals Normalized Average Width, PINAW)、累積帶寬偏差(Accumulated Width Deviation, AWD)為評價指標(biāo)，通過賦予各評價指標(biāo)適當(dāng)?shù)臋?quán)重系數(shù)，構(gòu)造綜合目標(biāo)函數(shù)，利用綜合目標(biāo)函數(shù)最小優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，實現(xiàn)區(qū)間預(yù)測。

其后國內(nèi)外研究者提出了不同類型的NN進(jìn)行區(qū)間預(yù)測，并以啟發(fā)式算法優(yōu)化NN的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。文獻(xiàn)[12]提出了自適應(yīng)模糊神經(jīng)推理與模擬退火算法相結(jié)合的區(qū)間預(yù)測方法，文獻(xiàn)[13-14]將多層感知機(jī)與粒子群(Particle Swarm Optimization, PSO)算法相結(jié)合，對風(fēng)電功率、負(fù)荷進(jìn)行區(qū)間預(yù)測。文獻(xiàn)[15]將極限學(xué)習(xí)機(jī)與PSO相結(jié)合對風(fēng)電功率進(jìn)行區(qū)間預(yù)測，文獻(xiàn)[16]將小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與改進(jìn)人工蜂群相結(jié)合進(jìn)行風(fēng)電區(qū)間預(yù)測。文獻(xiàn)[17]采用支持向量機(jī)預(yù)測電價的上界與下界，并采用PSO對支持向量機(jī)的超參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[18]提出基于殘差神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對電價區(qū)間預(yù)測的方法。

國內(nèi)期刊上關(guān)于電價區(qū)間預(yù)測的報道尚不多見，但關(guān)于風(fēng)電功率、光伏出力、負(fù)荷的區(qū)間預(yù)測已有報道。文獻(xiàn)[19]采用PSO優(yōu)化核極限學(xué)習(xí)機(jī)(Kernel Extreme Learning Machine, KELM)對風(fēng)電功率進(jìn)行區(qū)間預(yù)測。文獻(xiàn)[20]采用PSO優(yōu)化LUBE的輸出權(quán)重對光伏出力進(jìn)行區(qū)間預(yù)測，以均方根寬度代替PINAW，改進(jìn)了綜合目標(biāo)函數(shù)，降低了綜合目標(biāo)函數(shù)中權(quán)重系數(shù)選取的難度。文獻(xiàn)[21]提出改進(jìn)區(qū)間預(yù)測評價指標(biāo)的PSO優(yōu)化LUBE方法，對負(fù)荷區(qū)間進(jìn)行預(yù)測，能較好地包絡(luò)波動性負(fù)荷。

以上文獻(xiàn)均以綜合目標(biāo)函數(shù)(見下文式(13))最小優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，進(jìn)而實現(xiàn)目標(biāo)量的區(qū)間預(yù)測。但綜合目標(biāo)函數(shù)的分目標(biāo)函數(shù)(即評價指標(biāo)，如：PICP、PINAW、AWD)的權(quán)重系數(shù)依賴于經(jīng)驗，得到的預(yù)測區(qū)間的覆蓋概率是基于總體平均的概念，即：各時刻電價預(yù)測區(qū)間的覆蓋概率視為相等，無法給出具體時刻預(yù)測區(qū)間對應(yīng)的概率。由于市場中的價格風(fēng)險主要是由電價非正常跳躍和價格尖峰引起的，對市場成員而言，預(yù)測出各時刻的電價區(qū)間，并給出其相應(yīng)的概率，對提高收益、規(guī)避價格風(fēng)險更具有指導(dǎo)意義。

基于以上分析，本文以北歐現(xiàn)貨市場中丹麥西部地區(qū)(DK1)和東部地區(qū)(DK2)的風(fēng)電發(fā)電量、總發(fā)電量、總用電量的預(yù)測數(shù)據(jù)和歷史電價數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，采用平均差異度為判據(jù)的改進(jìn)k-means聚類方法對數(shù)據(jù)離散化，得到離散樣本集。然后以離散樣本集為基礎(chǔ)，建立動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)(Dynamic Bayesian Network, DBN)模型；以未來時刻風(fēng)電發(fā)電量、總發(fā)電量和總用電量的離散值(聚類類別)為推理證據(jù)，推理未來電價的離散值和后驗概率。將各離散值對應(yīng)的聚類中心與后驗概率的乘積之和作為電價預(yù)測的均值，實現(xiàn)電價點預(yù)測。分別將離散值對應(yīng)的連續(xù)區(qū)間的上下界與后驗概率的乘積之和作為預(yù)測區(qū)間的上下界，實現(xiàn)電價的區(qū)間預(yù)測。最后將所提方法與電價真實值、文獻(xiàn)[19]的區(qū)間預(yù)測方法對比，驗證了所提方法的有效性。

1 電價的影響因素和DBN模型

1.1 電價的影響因素

在可再生能源未參與市場競爭的情況下，市場電價主要受供求關(guān)系、機(jī)組報價、輸電線路阻塞等因素的影響，具有非線性和非平穩(wěn)的特點[22-23]。當(dāng)可再生能源參與市場競爭時，由于可再生能源的發(fā)電成本低，并且出力具有不確定性、間歇性和波動性，更容易引起電價的劇烈波動，因此在電價預(yù)測時不僅需要考慮發(fā)電量與用電量的供求關(guān)系對電價的影響，還需要考慮可再生能源發(fā)電量對電價的影響。

在電力市場中，市場交易中心向市場成員披露的信息不僅包括歷史電價數(shù)據(jù)，還包括交易的供需信息、發(fā)電量預(yù)測、用電量預(yù)測、可再生能源發(fā)電量預(yù)測等各類信息(如北歐電力市場)，為了提高收益、規(guī)避價格風(fēng)險，市場成員需要綜合各類信息后決定報價策略?？紤]到電價受多方面因素的影響，并且多個因素之間具有相關(guān)性，而DBN是基于概率不確定性的推理網(wǎng)絡(luò)，為因果信息的學(xué)習(xí)和推理提供了有效途徑，能對各時間片上的狀態(tài)變量進(jìn)行預(yù)測，已被用于光伏發(fā)電概率預(yù)測[24]、負(fù)荷預(yù)測[25]和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)預(yù)測[26]等方面。

因此本文根據(jù)影響電價主要因素的專家知識[4,27-28]，以風(fēng)電發(fā)電量、總發(fā)電量和總用電量作為電價的解釋變量，構(gòu)建DBN模型，通過證據(jù)推理預(yù)測電價區(qū)間。

1.2 DBN的基本原理

圖1 DBN示意圖

Fig. 1 DBN schematic

1.3 DBN建模

1) 獲得時間序列的離散樣本集

時間序列的離散化方法主要有等寬離散化、等頻離散化和k-means聚類方法[32-33]，但確定離散化區(qū)間個數(shù)和聚類個數(shù)的主觀性強(qiáng)，對離散化結(jié)果影響大。本文以文獻(xiàn)[34]提出的平均差異度為判據(jù)，確定聚類中心個數(shù)和初始聚類中心。首先定義樣本距離、樣本平均差異度和樣本集總體的平均差異度。

(1) 兩個樣本間距離

(3) 樣本集的平均差異度

2) DBN的結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)

(1) 增加邊：在網(wǎng)絡(luò)中兩個結(jié)點間添加一條新邊；

(2) 刪除邊：刪除網(wǎng)絡(luò)中兩個結(jié)點間的一條邊；

(3) 反轉(zhuǎn)邊：將網(wǎng)絡(luò)中已有的一條邊的方向反轉(zhuǎn)。

通過以上3種算子的不斷操作，得到新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，然后用BIC評分函數(shù)對新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行評分，將評分最高的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)作為DBN結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)的結(jié)果。

3) DBN的參數(shù)學(xué)習(xí)

2 DBN推理

2.1 DBN推理過程

圖2 DBN推理

利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)工具箱FullBNT-1.0.7，實現(xiàn)精確推理的具體步驟如下。

1) 將DBN模型轉(zhuǎn)換為1.5DBN聯(lián)合樹。

2) 輸入證據(jù)，采用向前向后算法進(jìn)行推理。

2.2 DBN電價區(qū)間預(yù)測的步驟

Step1 原始數(shù)據(jù)采集。采集北歐電力現(xiàn)貨市場公開的2017年丹麥DK1、DK2的風(fēng)電發(fā)電量、總發(fā)電量和總用電量預(yù)測值以及歷史電價的每小時數(shù)據(jù)。

Step6 DBN轉(zhuǎn)化為聯(lián)合樹。調(diào)用聯(lián)合樹推理引擎：engine=jtree_dbn_inf_engine(DBN)，將DBN模型轉(zhuǎn)換為1.5DBN聯(lián)合樹。

Step7 證據(jù)推理。輸入推理證據(jù)，調(diào)用證據(jù)推理模塊[engine,L]=enter_evidence(engine,evidence)，采用向前向后算法完成證據(jù)推理。

Step8 計算后驗概率。調(diào)用子函數(shù)Pr= marginal_ nodes(engine, nodes,t)，得到電價離散值對應(yīng)的后驗概率。

2.3 區(qū)間預(yù)測評價指標(biāo)

區(qū)間預(yù)測效果的評價指標(biāo)[19]主要有3個，PICP從實際觀測值處于預(yù)測區(qū)間上界和下界之間的概率來評價；PINAW從預(yù)測區(qū)間上界和下界之間的寬度來評價；當(dāng)實際觀測值落在預(yù)測區(qū)間之外時，AWD從偏離預(yù)測區(qū)間上界(或下界)的程度來評價，PICP、PINAW和AWD的表達(dá)式如式(9)—式(12)所示。

1) PICP

2) PINAW

式中，為目標(biāo)值的變化范圍，即目標(biāo)值最大值和最小值的差值。

3) AWD

由式(9)—式(12)可知，區(qū)間預(yù)測的PICP值越大、PINAW和AWD的值越小，區(qū)間預(yù)測的效果越好，但3個評價指標(biāo)之間是相互矛盾的，文獻(xiàn)[19]以綜合目標(biāo)函數(shù)(式(13))最小優(yōu)化KELM的權(quán)重，實現(xiàn)風(fēng)電功率的區(qū)間預(yù)測。

為了公平比較本文方法和文獻(xiàn)[19]的PSO-KLEM方法的區(qū)間預(yù)測效果，以PICP、PINAW和AWD作為區(qū)間預(yù)測的評價指標(biāo)，檢驗區(qū)間預(yù)測的精度。

3 算例分析

3.1 數(shù)據(jù)說明

DBN建模數(shù)據(jù)：采用北歐電力市場Nord Pool現(xiàn)貨市場公開的2017年1月1日至1月7日丹麥DK1 (西部地區(qū))和DK2 (東部地區(qū))風(fēng)電發(fā)電量、總發(fā)電量和總用電量預(yù)測值以及電價的每小時數(shù)據(jù)[38]。

建模數(shù)據(jù)中，電價采用的是歷史真實數(shù)據(jù)，風(fēng)電發(fā)電量、總發(fā)電量和總用電量采用的是預(yù)測數(shù)據(jù)。未使用風(fēng)電發(fā)電量、總發(fā)電量和總用電量歷史真實數(shù)據(jù)的原因是：由于現(xiàn)貨市場中，在+時刻(未來時刻)的風(fēng)電發(fā)電量、總發(fā)電量和總用電量的真實值是未知的，市場成員只能利用上述各量的預(yù)測值和電價的歷史數(shù)據(jù)作為電價預(yù)測的依據(jù)。因此本文將風(fēng)電發(fā)電量、總發(fā)電量和總用電量的預(yù)測數(shù)據(jù)以及歷史電價作為DBN的建模數(shù)據(jù)。

輸入DBN模型的推理證據(jù)是2017年1月8日DK1、DK2地區(qū)的風(fēng)電發(fā)電量、總發(fā)電量和總用電量24 h的預(yù)測數(shù)據(jù)，經(jīng)DBN模型推理后，輸出結(jié)果為1月8日每小時電價的離散值和后驗概率，利用式(6)—式(8)得到電價均值和區(qū)間預(yù)測的上界和下界。

3.2 DBN建模結(jié)果

按照1.3節(jié)給出的DBN建模步驟，采用改進(jìn)的k-means聚類離散化方法得到了21個聚類中心，電價的離散狀態(tài)與聚類中心、聚類區(qū)間的對應(yīng)關(guān)系見表1。表1中聚類區(qū)間的下界和上界分別為離散狀態(tài)下連續(xù)樣本集中樣本的最小值和最大值。由表1的聚類中心和對應(yīng)區(qū)間可知，DK1區(qū)域的電價中出現(xiàn)了負(fù)電價。

表1 DK1電價的離散狀態(tài)、聚類中心和對應(yīng)區(qū)間

圖3 動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

3.3 DBN推理與區(qū)間預(yù)測結(jié)果分析

圖4 DBN條件概率

圖5 DK1電價24 h后驗概率

圖6給出了11：00時電價的離散狀態(tài)和后驗概率圖，當(dāng)預(yù)測電價的離散狀態(tài)為14時(對應(yīng)的區(qū)間[34.59,35.93])，其后驗概率為0.94。

圖7為DK2在2017年1月8日的每小時電價后驗概率三維圖，電價的離散狀態(tài)數(shù)為32，由平均差異度的k-means聚類方法確定。圖8給出了13：00時電價的離散狀態(tài)和后驗概率圖，當(dāng)預(yù)測電價的離散狀態(tài)為13時，其后驗概率為0.936。DK2區(qū)域電價的離散狀態(tài)與聚類中心、對應(yīng)區(qū)間見表2。

由電價的后驗概率和離散狀態(tài)對應(yīng)的聚類中心，根據(jù)式(6)可計算出各時刻電價的均值。圖9為DK1地區(qū)2017年1月8日每小時電價均值，由圖9可見：各時刻的電價預(yù)測均值與真實電價相差不大，在10：00—13：00時，電價劇烈波動，電價預(yù)測均值仍具有較高的預(yù)測精度。

由圖6、圖8和圖9可知，通過DBN模型對電價進(jìn)行推理預(yù)測，不僅得到了電價的預(yù)測區(qū)間(以離散值表示)，而且能夠給出對應(yīng)的概率，并進(jìn)一步計算出各時刻電價的預(yù)測均值，這為市場成員確定報價策略提供了豐富的電價預(yù)測信息。

圖6 DK1地區(qū)11：00時電價的后驗概率

圖7 DK2電價24 h后驗概率

圖8 DK2地區(qū)13：00時電價的后驗概率

利用式(7)、式(8)得到的區(qū)間預(yù)測結(jié)果如圖10所示，文獻(xiàn)[19]中PSO-KELM方法的區(qū)間預(yù)測結(jié)果如圖11所示。由圖10可見，在01：00—09：00時，真實電價較為平穩(wěn)，預(yù)測區(qū)間的下界和上界也較為平直，預(yù)測區(qū)間的寬度基本相同；在10：00—13：00時，電價劇烈波動，預(yù)測區(qū)間下界和上界隨之起伏，仍能覆蓋真實電價；在20：00時，預(yù)測區(qū)間雖未能覆蓋真實電價，但偏離區(qū)間上界的程度較小。

圖10 DBN方法的DK1電價區(qū)間預(yù)測結(jié)果

圖11 PSO-KELM方法的DK1電價區(qū)間預(yù)測結(jié)果

在圖11中，01：00—10：00時，以較寬的預(yù)測區(qū)間覆蓋真實電價；在12：00時，真實電價為24 h內(nèi)的最小值，預(yù)測區(qū)間未能覆蓋真實電價；其后預(yù)測區(qū)間雖能覆蓋真實電價，但預(yù)測區(qū)間上界與下界之間的寬度較大。對比圖10和圖11中各時刻的區(qū)間預(yù)測結(jié)果可知，兩種方法都能較好地覆蓋真實電價，但圖10的預(yù)測區(qū)間更窄(兩種方法預(yù)測區(qū)間的PINAW指標(biāo)比較見表3)，說明DBN方法的電價區(qū)間預(yù)測質(zhì)量更高。

圖12、圖13給出了本文方法與文獻(xiàn)[19]方法對DK2地區(qū)電價的區(qū)間預(yù)測結(jié)果。對比圖12和圖13可知：DBN的區(qū)間預(yù)測在13：00時未能覆蓋真實電價，PSO-KELM的區(qū)間預(yù)測在03：00、04：00兩時刻未能覆蓋真實電價，DBN的PICP指標(biāo)為95.83%，比PSO-KELM的PICP指標(biāo)91.67%高，兩種方法的PINAW、AWD指標(biāo)見表3。

圖12 DBN方法的DK2電價區(qū)間預(yù)測結(jié)果

圖13 PSO-KELM方法的DK2電價區(qū)間預(yù)測結(jié)果

由表3可見，DK1的電價區(qū)間預(yù)測評價指標(biāo)中，DBN方法和PSO-KELM方法的PICP相等，但DBN方法的PINAW、AWD指標(biāo)更小。DK2的電價區(qū)間預(yù)測指標(biāo)中，DBN方法比PSO-KELM方法的PICP值大，比PINAW值和AWD值小，說明DBN方法的區(qū)間預(yù)測質(zhì)量更高。

表3 兩種方法的區(qū)間預(yù)測評價指標(biāo)

本文提出的DBN方法預(yù)測電價區(qū)間是以風(fēng)電發(fā)電量、總發(fā)電量和總用電量作為電價的解釋變量，通過DBN確定了電價與風(fēng)電發(fā)電量、總發(fā)電量和總用電量之間的因果關(guān)系(以條件概率的形式表示)，通過證據(jù)推理給出電價的離散狀態(tài)和對應(yīng)概率，可同時得到電價的點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測結(jié)果，預(yù)測效率高。采用DBN推理模型能夠刻畫解釋變量與電價的因果關(guān)系，既給出了電價預(yù)測的均值，同時也給出了預(yù)測區(qū)間的下界、上界以及對應(yīng)的概率，為市場成員提供的電價信息量更全面、更豐富。

通過以上的分析和比較，說明DBN方法建立的推理預(yù)測模型具有物理意義明確、預(yù)測機(jī)理清晰、預(yù)測結(jié)果信息量豐富的特點，通過與PSO-KELM方法的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比，驗證了所提方法的有效性。

4 結(jié)論

在高比例可再生能源參與市場競爭的背景下，電力市場中電價受發(fā)電成本和供求關(guān)系等因素的影響更容易發(fā)生劇烈波動，為了給市場成員提供更豐富的電價預(yù)測信息，提出基于DBN的電價區(qū)間預(yù)測方法，得到以下結(jié)論：

1) 以平均差異度為判據(jù)，自動確定k-means初始聚類中心和個數(shù)，減少了離散化過程中數(shù)據(jù)特征的丟失，提高了DBN預(yù)測模型的精度。

2) 所提方法能夠有效地實現(xiàn)電價的區(qū)間預(yù)測，避免了分目標(biāo)函數(shù)PICP、PINAW、AWD權(quán)重系數(shù)選擇的主觀性，與PSO-KELM區(qū)間預(yù)測方法相比，所提方法的區(qū)間預(yù)測質(zhì)量更高。

3) 所提方法能獲得每個預(yù)測時刻電價的區(qū)間和對應(yīng)的概率，并進(jìn)一步給出預(yù)測電價的均值和預(yù)測區(qū)間的上下界，提高了預(yù)測效率。各時刻電價的預(yù)測區(qū)間和對應(yīng)的概率為市場成員提供了豐富、具體的電價預(yù)測信息，對市場成員提高收益、規(guī)避價格風(fēng)險具有指導(dǎo)意義。

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Prediction interval forecasts of electricity price based on dynamic Bayesian networks

WANG Hongtao1, 2, ZOU Bin1

(1. School of Mechatronic Engineering and Automation, Shanghai University, Shanghai 200444, China; 2. School of Information Mechanical and Electrical Engineering, Ningde Normal University, Ningde 352100, China)

Given the high proportion of renewable energy participating in market competition, the fluctuation of electricity price will be more severe. In order to predict the range of electricity price, a dynamic Bayesian network (DBN) interval prediction method is proposed. In this method, the predicted data of wind power generation, total power generation and total electricity consumption, and the real value of electricity price, are taken as input data. The network structure of DBN is determined by a greedy search algorithm, and the network parameters of DBN are estimated by maximum likelihood estimated (MLE). The DBN model is established. Then, with the predicted value of wind power generation, total power generation and total electricity consumption as the reasoning evidence, the discrete value and a posteriori probability of electricity price prediction are obtained using union tree reasoning, and the interval prediction of electricity price is realized. Finally, the proposed method is compared with the real value of electricity price and the comparison method to verify the effectiveness of the proposed method. The proposed method can not only get the predicted range of electricity price, but also give the corresponding probability. This has guiding significance for increasing the income of market members and avoiding price risk.

electricity price forecasting; interval prediction; dynamic Bayesian network; associative tree reasoning; forward and backward algorithm; improved k-means clustering; mean degree of difference

10.19783/j.cnki.pspc.210424

福建省自然科學(xué)基金項目資助(2019J01845)

This work is supported by the Natural Science Foundation of Fujian Province (No. 2019J01845).

2021-04-25；

2021-07-24

王洪濤(1978—)，男，博士，副教授，研究方向為電力系統(tǒng)規(guī)劃、電力系統(tǒng)風(fēng)險評估與電力市場等；E-mail: taiyuanwang0801@126.com

鄒 斌(1965—)，男，通信作者，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為電力系統(tǒng)規(guī)劃與電力市場等。E-mail: zoubin@ shu.edu.cn

(編輯 周金梅)