胡文燕

(晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 晉中 030600)

考慮如下非線性粘彈性Petrovsky方程的柯西問題

(1)

方程(1)可以解釋很多重要的物理模型,很多學(xué)者已經(jīng)對其解的整體存在性、漸近性、爆破性進行了大量研究[1-10].文獻[1]對如下初邊值問題進行了研究

(2)

其中：a,b>0,m≥2,Ω?n為一具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域,并且ν為其單位外法線方向.當(dāng)初始能量為正值時,作者證得了其解在適當(dāng)條件下會在有限時刻爆破的結(jié)論.并且,當(dāng)初始能量消耗殆盡時,對于阻尼項為線性的情形,解仍會在有限時刻爆破.文獻[2]通過對方程(2)源項和非線性阻尼項相互作用的研究,對解的下界進行了估計.

文獻[3]對如下帶粘彈性源項和強阻尼的Petrovsky方程的初邊值問題進行了研究

(3)

當(dāng)p>m時,其解在正的初始能量下在有限時刻會爆破,并且當(dāng)p≤m時初邊值問題(3)的解仍存在,推廣了文獻[1]的結(jié)果.

對于初始能量為非正值的情形,文獻[4]討論了如下方程的初邊值問題,并得出了適當(dāng)條件下解在有限時刻爆破的結(jié)論

(4)

對于非線性粘彈性Petrovsky方程,已有的研究成果[5-9]都是在有界區(qū)域內(nèi)進行的.由于其解是可以由有界區(qū)域轉(zhuǎn)移到無界區(qū)域的,那么研究Petrovsky方程在無界區(qū)域中解的爆破性質(zhì)就顯得尤為重要.為了得出無界區(qū)域內(nèi)解的爆破情形,文章首先給出了松弛函數(shù)g滿足的條件[10],并通過構(gòu)造輔助函數(shù),得出了其解在適當(dāng)條件下在有限時刻會爆破的結(jié)論.

1 預(yù)備知識

(H) 假設(shè)松弛函數(shù):g：+→+為一可微函數(shù),滿足

(5)

utt∈L∞((0,T*);L2(n)).

參考文獻[11-13],運用Faedo-Galerkin方法,可證得柯西問題(1)解的存在性與唯一性,證明略.

定義方程(1)的能量函數(shù)[14]E(t)如下

(6)

引理1假設(shè)g滿足條件(H),且u(t)為柯西問題(1)的解,那么

證明將方程(1)兩邊同乘以ut,并在n上積分,可得

(7)

由

有

(8)

由(7)，(8)式，得

(9)

即

E′(t)≤0.

(10)

證畢.

引理2[15]假設(shè)Ψ∈C2()滿足

其中：常數(shù)C0,L>0,α>0,-1<β≤0,那么Ψ(t)在有限時間內(nèi)會爆破.

2 主要結(jié)果

(11)

那么,對于任意初值(u0,u1),當(dāng)如下條件

(12)

成立時，柯西問題(1)的解在有限時間內(nèi)爆破.

(13)

(14)

由方程(12)容易證得Ψ(0)>0,且Ψ′(0)≥0.再利用方程(1), 可以得到

(15)

將(15)式兩邊同乘以u(t),并在n上積分,有

故

Ψ″(t)+Ψ′(t)=

(16)

由Young及H?lder不等式,對任意的η>0,有

從而,對于任意的η>0,有

將其代入(16)式,整理可得

因為

所以

(17)

由能量函數(shù)E(t)的定義, 將下式

代入(17)式,有

因為(11)式成立,所以

由引理1,E′(t)≤0,又已知E(0)≤0,從而

E(t)≤E(0)≤0.

綜上可得,存在γ>0,使得

(18)

運用H?lder不等式證明如下不等式

其中：L>0,B(t+L)是以原點為球心的球,且supp{u0(x),u1(x)}?B(L).

令Vn為單位球的體積,則

所以

(19)

從而

即

(20)

將(19)，(20)式代入(18)式,有

根據(jù)(12)式及函數(shù)連續(xù)性,存在T*≤T*,使得

3 結(jié)束語

文章考慮了一類具有粘彈性和非線性源項的Petrovsky方程,在文獻[5-9]的研究基礎(chǔ)上做了推廣,將其解由有界區(qū)域轉(zhuǎn)移到無界區(qū)域.結(jié)果表明,當(dāng)松弛函數(shù)和初值滿足一定條件時,非線性源項足以導(dǎo)致其柯西問題解的爆破現(xiàn)象的發(fā)生.