陳選明

(江西師范大學(xué)附屬中學(xué))

(本試卷共13小題,滿分150分,考試用時120分鐘)

一、單選題(本題共6小題,每小題9分,共54分.在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的.)

1.用反證法證明命題:“已知a,b是自然數(shù),若a＋b≥4,則a,b中至少有一個不小于2”,提出的假設(shè)應(yīng)該是( ).

A.a,b中兩個都不小于2 B.a,b中至少有一個小于2

C.a,b都小于2 D.a,b中至多有一個小于2

2.“正弦函數(shù)是奇函數(shù),g(x)＝sin(x＋x2)是正弦函數(shù),因此g(x)＝sin(x＋x2)是奇函數(shù)”,以上推理( ).

A.結(jié)論正確 B.小前提不正確 C.大前提不正確 D.全部正確

A.1項 B.k項 C.2k－1項 D.2k項

4.圖1是一個水平擺放的小正方體木塊,圖2,圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的,按照這樣的規(guī)律放下去,圖7中,小正方體木塊的總數(shù)是( ).

A.66 B.91 C.107 D.120

5.某學(xué)校為貫徹落實教育部新時代體育教育精神,面向全體學(xué)生開設(shè)了體育校本課程.學(xué)生小瑜選完課程后,根據(jù)小瑜的興趣愛好對他選擇的課程進行猜測.甲說:“小瑜選的不是足球,選的是籃球.”乙說:“小瑜選的不是籃球,選的是羽毛球.”丙說:“小瑜選的不是籃球,也不是乒乓球.”已知三人中有一人說的全對,有一人說的對了一半,剩下的一人說的全不對,由此推斷小瑜選擇的課程( ).

A.可能是乒乓球 B.可能是足球 C.可能是羽毛球 D.一定是籃球

6.楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家,其著作《詳解九章算術(shù)》中畫了一張表示二項式展開式后的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣(如右圖),稱做“開方做法本源”,現(xiàn)簡稱為“楊輝三角”,比西方的＂帕斯卡三角形”早了300多年.若用A(m,n)表示三角形數(shù)陣中的第m行第n個數(shù),則按照自上而下,從左到右順次逐個將楊輝三角中二項式系數(shù)相加,加到A(100,3)這個數(shù)所得結(jié)果為( ).

A.298＋4851 B.299＋4950

C.2100＋5000 D.2101＋5050

二、多選題(本題共2小題,每小題9分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項是符合題目要求的.全部選對的得9分,有選錯的得0分,部分選對的得4分.)

7.任取一個正整數(shù),若是奇數(shù),就將該數(shù)乘3加1;若是偶數(shù),就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述運算,經(jīng)過有限次步驟,必進入循環(huán)圈1→4→2→1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”).如果對于正整數(shù)m,經(jīng)過n步變換,第一次到達(dá)1,就稱為n步“雹程”.如取m＝3,由上述運算法則得出3→10→5→16→8→4→2→1,共需經(jīng)過7個步驟變成1,得n＝7.則下列命題正確的有( ).

A.若n＝2,則m只能是4 B.當(dāng)m＝17時,n＝12

C.隨著m的增大,n也增大 D.若n＝7,則m的取值集合為{3,20,21,128}

8.設(shè)正整數(shù)n＝a0·30＋a1·31＋…＋ak－1·3k－1＋ak·3k,其中對于任意的0≤i≤k,ai∈{0,1,2}.函數(shù)f:N*→N滿足f(n)＝a0＋a1＋…＋ak,則( ).

A.f(3n)＝f(n) B.f(3n＋4)＝f(9n＋10)

C.f(3n＋5)＝f(n)＋2 D.f(9n＋5)＝4

三、填空題(本題共2小題,每小題9分,共18分.)

9.若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S2n－1＝(2n－1)an.由類比推理可得:在等比數(shù)列{bn}中,若其前n項的積為Pn,則P2n－1＝________.

10.在平面內(nèi),余弦定理給出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系.應(yīng)用余弦定理,可以從已知的兩邊和夾角出發(fā),計算三角形的第三邊.我們把四面體與三角形作類比,并使四面體的面對應(yīng)三角形的邊,四面體各面的面積對應(yīng)三角形各邊的邊長.而三角形兩邊的夾角,對應(yīng)四面體兩個面所成的二面角,這樣可以得到“四面體的余弦定理”.現(xiàn)已知一個四面體V-ABC,S△VBC＝S△VAC＝,S△VAB＝2,二面角C-VA-B＝45°,二面角B-VC-A＝60°,二面角A-VB-C為直二面角,則△ABC的面積為_________.

四、解答題(本題共3小題,每小題20分,共60分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

11.我們知道,判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進行判斷,那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎? 請同學(xué)們進行研究并完成下面問題.

(1)設(shè)F1,F2是橢圓＝1(a＞b＞0)的兩個焦點,點F1,F2到直線l:mx＋ny＋p＝0(m,n不同時為0)的距離分別為d1,d2,且直線l與橢圓M相切,試求d1d2的值;

(2)試寫出一個能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件,并給出證明.

12.《見微知著》談到:從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā),從特殊到一般,由簡單到復(fù)雜.從部分到整體,由低維到高維,知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑,是發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法.

閱讀材料一:利用整體思想解題,運用代數(shù)式的恒等變形,使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法,常用的途徑有整體觀察、整體設(shè)元、整體代入、整體求和等.

波利亞在《怎樣解題》中指出:“當(dāng)你找到第一個蘑菇作出第一個發(fā)現(xiàn)后,再四處看看,他們總是成群生長.”類似問題,我們有更多的式子滿足以上特征.

例如,在x＞0的條件下,當(dāng)x為何值時,x＋有最小值,最小值是多少?1時,x＋有最小值,最小值為2.

請根據(jù)閱讀材料解答下列問題.

(1)已知ab＝1,求下列各式的值:

13.問題:正數(shù)a,b滿足a＋b＝1,求的最小值.

學(xué)習(xí)上述解法并解決下列問題.

(1)若正實數(shù)x,y滿足xy＝3x＋y,求x＋y的最小值;

(2)若實數(shù)a,b,x,y滿足＝1,試比較a2－b2和(x－y)2的大小,并指出等號成立的條件;

(3)利用(2)的結(jié)論,求代數(shù)式M＝的最小值,并求出使得M最小的m的值.