鞏建輝

（商洛職業(yè)技術學院機電工程系，陜西 商洛726000）

1 引言

超聲變幅桿，也稱超聲變速桿或超聲聚能器，是超聲波振動系統(tǒng)中一個重要的組成部分。其主要作用是將振動系統(tǒng)中振動質點的位移和速度放大，同時也有改善換能器與輻射介質或超聲波工具頭之間的阻抗匹配作用，通過阻抗匹配，能有效的提高電聲轉化效率，降低超聲波換能器的發(fā)熱量。隨著聲學技術的發(fā)展，超聲振動系統(tǒng)被廣泛應用于醫(yī)學、軍事、工業(yè)、農業(yè)等多個領域[1]，超聲變幅桿作為超聲波振動系統(tǒng)中重要的組成部分自然成為國內外學者關注研究的熱點，從縱振到扭轉振動，從單一到復合，對新型變幅桿的設計研究從未停止。但總體來說對于超聲變幅桿的位移和速度放大作用研究的較多，而對變幅桿的阻抗匹配作用研究較少[2-4]。為此這里提出一種倒指數形復合變幅桿，通過增大輻射的面積來改善換能器與介質之間的阻抗匹配，可提高換能器向液體輻射的聲能，首先構建了倒指數形復合變幅桿的模型，然后利用變截面的波動方程得出各段的位移和頻率方程，并求出變幅桿的諧振長度和放大系數等重要參數，最后用有限元軟件ANSYS對其進行模態(tài)分析和諧響應分析，結果與理論值相吻合，此研究對起匹配作用的變幅桿的設計有一定的參考價值。

2 倒指數形復合變幅桿的設計

2.1 變幅桿的構建

該變幅桿是由一段四分之一波長的指數形桿和另一段四分之一波長圓柱桿組合而成，如圖1所示，圓柱桿Ⅰ的長度、橫截面直徑和橫截面積分別為l1，D1，S1，指數形桿Ⅱ的長度為l2，大小端圓形橫截面直徑分別為D2，D3，大小端橫截面積分別為S2，S3。

2.2 變幅桿的設計理論

變截面桿在簡諧振動情況下，其縱振動的波動方程為(1)式所示[5]

其中ξ 為復合變幅桿中質點的位移，k為圓波數，k=ω/c，ω為圓頻率，為縱波在細桿中的傳播速度。

其中k'=是指數桿中縱波的波數，β=lnD3/D2，A，B，A'，B'為待定常數。

對于四分之一波長圓柱桿其左右邊界條件分別為

將(2)式分別帶入(4)式和(5)式進行分析可求得圓柱桿的共振頻率方程為

對于四分之一波長指數桿其左右邊界條件分別為

將(3)式分別帶入(7)式和(8)式進行分析可求得圓柱桿的共振頻率方程為

將(6)式和(9)式組合即可得到復合變幅桿的頻率公式為

下面來解算倒指數形復合變幅桿的放大系數，設變幅桿左右端面處的位移分別為ξ1和ξ2，則由(2)式以及邊界條件和式可得

因為在x=0處力是連續(xù)的，所以由(10)、(11)和(12)式可得放大系數

3 有限元分析

此復合型變幅桿的設計頻率f=21kHz，縱波在細桿中的聲速c=5．2×106mm/s，圓柱桿的截面直徑D1=30mm，倒指數桿小端的截面直徑D2=16mm，大端截面半徑D3=40mm，利用Matlab對頻率方程求數值解得到復合變幅桿的諧振長度l=98．3mm[6-8]，其中圓柱桿長度l1=59．1mm，指數桿長度l2=39．2mm。

采用ANSYS 軟件對設計好的變幅桿進行模態(tài)分析和諧響應分析。首先進行模態(tài)分析，建立模型，定義單元類型，定義材料屬性，建立幾何模型和劃分有限元網格；進行模態(tài)設置，進行模態(tài)擴展設置并求解。這里變幅桿的材料采用45 號鋼，選用SOLID95 單元，采用自由網格劃分，材料參數定義為彈性模量EX=210．9GPa，泊松比為PRXY=0．28，密度ρ=7800kg/m3。網格的劃分情況如圖2所示，運用分塊蘭索法(Block Lanczos)分析，模態(tài)提取頻率范圍為15kHz—30kHz，使用Solve 求解后得到其縱向振動的位移云圖和沿軸向的位移曲線分別如圖3、圖4所示。

圖2 變幅桿的有限元模型

圖3 變幅桿的位移云圖

圖4 變幅桿的軸向位移曲線

從云圖上可以看出，當變幅桿時候發(fā)生縱振時頻率f=20547Hz，節(jié)點的位置在四分之一波長的指數桿和四分之一波長的圓柱桿的交界面上，這和理論設計基本吻合。從軸向位移圖可以看出變幅桿的放大倍數為1．25倍，放大倍數不大，這也是此變幅桿的特點，就是通過增大輻射面積來改善與液體等介質之間的阻抗匹配，即就是犧牲放大倍數來提高能量的傳遞效率。

在模態(tài)分析的基礎上，然后進行諧響應分析，采用完全法(full)，這種方法是運用完整的系統(tǒng)矩陣來計算響應的[9-10]。在圓柱桿的左端面加載正弦變化的周期載荷，在變幅桿的輸出端即指數桿的大端面輸出的諧響應曲線如圖5所示。從響應曲線可以看出在諧振頻率大約20547Hz附近出現了振幅最大值，這與理論設計基本一致。

圖5 諧響應曲線

4 結束語

構建了新型的倒指數形復合變幅桿的模型，利用變幅桿的設計理論得到了該新型變幅桿的頻率方程。運用MATLAB軟件解算頻率方程得出了變幅桿的諧振長度，并借助于ANSYS 有限元分析軟件對復合變幅桿進行了模態(tài)分析和諧響應分析，得出了變幅桿的縱振固有頻率和理論相差2．1%符合設計要求，放大倍數為1．25倍比一般的變幅桿要低，但是卻增大了輸出面積更易于實現阻抗匹配便于能量的傳輸，充分體現了此變幅桿的主要特點。同時也進一步表明了將MATLAB 軟件和ANSYS有限元分析軟件配合使用對變幅桿的設計有一定的優(yōu)勢，MATLAB軟件用于理論計算，ANSYS軟件進行有限元仿真分析，兩個配合使用可以提高變幅桿設計的效率。此研究可以作為其它變幅桿設計的參考，有一定的實際意義。