管文娟

證明數(shù)列不等式問題常以壓軸題的形式出現(xiàn)在各類試卷中，此類問題的難度往往較大，且具有較強的綜合性.解答此類問題的常用方法是放縮法，解題的關(guān)鍵在于對不等式進行合理的放縮.下面結(jié)合實例，重點探討一下如何對不等式進行巧妙的放縮，從而證明數(shù)列不等式.

一、通過構(gòu)造等差數(shù)列放縮不等式

等差數(shù)列是我們熟悉的常規(guī)數(shù)列之一.對于等差數(shù)列問題，我們通?？梢赃\用等差數(shù)列的通項公式、前 n 項和公式以及性質(zhì)來求解.因此，對于較為復(fù)雜的數(shù)列不等式問題，為了便于化簡不等式，證明結(jié)論，有時可考慮將數(shù)列中的各項進行適當(dāng)?shù)姆趴s，以構(gòu)造出等差數(shù)列，這樣便可將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題，從而使原不等式得以證明.

例 1.求證：n（n + 1） 2 < 1?2 + 2?3 +…+ n（n + 1） < （n + 1） 2 2 .

所要求證的數(shù)列不等式中的部分項， ，…， 可構(gòu)成一個數(shù)列，其通項公式為 ，而所要求證的不等式左右兩邊的式子分別是兩個等差數(shù)列的和，于是想到將 n（n + 1） 進行適當(dāng)?shù)姆趴s，即 n < n（n + 1） < n + 1，從而把原問題轉(zhuǎn)化為求等差數(shù) 列 {n}、{n + 1} 的和問題，運用等差數(shù)列的前 n 項和公 式進行求解，即可證明原數(shù)列不等式.

二、通過構(gòu)造等比數(shù)列來放縮不等式

等比數(shù)列也是我們熟悉的常規(guī)數(shù)列之一.在證明 數(shù)列不等式時，可考慮將這個數(shù)列的遞推關(guān)系式或通 項公式進行適當(dāng)?shù)姆趴s，把數(shù)列構(gòu)造成等比數(shù)列，這 樣便可根據(jù)等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式及其 性質(zhì)來化簡所要求證的數(shù)列不等式，從而證明結(jié)論.

例 2. 數(shù)列 {an} 滿足 an + 1 = an 2 - nan + 1 （n∈ N+ ），且 an ≥ n + 2. 求證： 1 1 + a1 + 1 1 + a2 +…+ 1 1 + an < 1 2 .

首先將 an + 1 = an 2 - nan + 1 進行放縮，即可構(gòu)造出 等比數(shù)列{ } 1 2n ；再根據(jù)等比數(shù)列的前 n 項和公式進行 求解，就能順利證明所要求證的不等式.

例3.求證： 1 21 - 1 + 1 22 - 1 + 1 23 - 1 +…+ 1 2n - 1 < 5 3 .

所要求證的不等式中含有 2n ，于是將通項公式 an 放縮成等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的前 n 項和公式 進行求和，最后將所得的結(jié)果再次放縮，便可證明原 數(shù)列不等式成立.有時要經(jīng)過多次放縮，才能證明數(shù)列 不等式.

例4.已知 an = 2 3 [2n - 2 +（- 1） n - 1 ] ，證明：對任意的整 數(shù) m > 4，有 1 a4 + 1 a5 +…+ 1 am < 7 8 .

數(shù)列的通項公式中出現(xiàn)了 （-1） n ，于是將數(shù)列的相 鄰兩項看作一個整體，進行適當(dāng)?shù)淖冃?、放縮，構(gòu)造出 等比數(shù)列 { } 1 2m - 2 ，即可使原問題得解.有時放縮數(shù)列 中的一些項也無法求得數(shù)列的和，此時需考慮將相鄰 兩項看成一個整體，將其進行適當(dāng)?shù)姆趴s，使其構(gòu)成等比數(shù)列，將問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的和問題.

三、通過裂項放縮不等式

有些數(shù)列的通項公式可以裂為兩項之差的形式， 此時便可通過裂項放縮，將不等式轉(zhuǎn)化為前后兩項互 為相反數(shù)的數(shù)列不等式，通過簡單的運算即可求得數(shù) 列的和，從而證明數(shù)列不等式成立.常見的裂項放縮方 式有：（1）1 n2 < 1 （n - 1）n = 1 n - 1 - 1 n （n ≥ 2）；（2）1 n2 > 1 n（n + 1） = 1 n - 1 n + 1 ；（3） 1 n2 = 4 4n2 < 4 4n2 - 1 = 2? è ? ? 1 2n - 1 - 1 2n + 1 ； （4） 1 n 2（- n + n + 1）；（6） 1 2n - 1 < 1 2n - 1 - 1 - 1 2n - 1 （n ≥ 2） .

例5.求證：1 + 2 22 + 3 32 +…+ n n2 < 3 .

我們先將數(shù)列的通項公式進行裂項放縮，即 n n2 < 2（ 1 n - 1 - 1 n ） ，即可得到1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 +… + 1 n - 1 - 1 n .在求和時，- 1 2 與 1 2 、- 1 3 與 1 3 …… - 1 n - 1 與 1 n - 1 相互抵消，便可快速求得數(shù)列的和， 證明數(shù)列不等式成立.

從上述分析可以看出，利用放縮法證明數(shù)列不等 式，是一個“技術(shù)活”，解題者必須仔細分析題目中數(shù) 列的特點，選擇恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，對其進行適當(dāng)?shù)姆趴s， 才能順利破解難題.對于如何進行放縮，同學(xué)們需結(jié)合 典型題目進行深入的探討，反復(fù)琢磨，積累解題經(jīng)驗， 才能做到運用自如.

（作者單位：江蘇省淮安市楚州中學(xué)）