葛彩云

如果兩圓相交，那么這兩個(gè)圓就會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)的連線就稱為兩圓的公共弦.該弦較為特殊，弦的端點(diǎn)分別在兩個(gè)圓上，端點(diǎn)的坐標(biāo)滿足兩個(gè)圓的方程.那么如何求兩相交圓公共弦所在直線的方程呢？

下面，我們一起來(lái)探究一道題目.

例1.求兩個(gè)圓 x2+ y2+3x - y =0和3x2+3y2+2x + y =0公共弦所在直線的方程.

仔細(xì)研究本題，可以發(fā)現(xiàn)，將（1）×3-（2），消去兩圓的方程中二次項(xiàng)后的方程為7x -4y =0，該方程即為所求的兩圓公共弦所在直線的方程.這是不是一種巧合呢？下面來(lái)證明一下此結(jié)論的正確性.

結(jié)論1：圓 x 2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0 （D1 2 + E1 2 - 4F1 > 0）與圓 x 2 + y2 + D2 x + E2 y + F2 = 0（D2 2 + E2 2 - 4F2 > 0） ， 且 E1 ≠ E2 的公共弦所在直線的方程為 （D1 - D2）x +（E1 - E2）y +（F1 - F2）= 0 .

結(jié)論2：若兩曲線的二次項(xiàng)系數(shù)成比例，則過(guò)其交 點(diǎn)的直線方程即為消去二次項(xiàng)后所得的二元一次方 程.

例2.若圓C1：x 2 + y2 - 4x + 6y = 0 與圓C2：x 2 + y2 - 6y = 0 的交點(diǎn)為A、B，求直線AB及其垂直平分線的方程.

利用上述結(jié)論1，消去兩圓方程中的二次項(xiàng)，即可 得出相交弦所在直線的方程，這樣大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

例3.求兩圓 x 2 + y2 - 10x - 10y = 0 ，x 2 + y2 + 6x + 2y -40 = 0 的公共弦的長(zhǎng).

解答本題，需先根據(jù)結(jié)論1，將兩圓方程聯(lián)立，通 過(guò)變形將其二次項(xiàng)消去，求得兩圓公共弦所在直線的 方程；然后根據(jù)圓的性質(zhì)：弦心距、弦的一半、圓的半 徑為直角三角形的三邊，利用勾股定理進(jìn)行求解.

例 4. 如圖，過(guò)原點(diǎn)作圓 C：（x - 3） 2 +（y + 4） 2 = 1 的 兩條切線，求過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程.

通過(guò)構(gòu)造一個(gè)圓，將過(guò)兩切點(diǎn)的直線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 求過(guò)兩圓的交點(diǎn)的直線方程，即兩圓公共弦所在直線 的方程問(wèn)題來(lái)求解，那么解題過(guò)程就會(huì)變得十分簡(jiǎn)潔.

“題?！庇?xùn)練是一種低層次的學(xué)習(xí)方式，而跳出 “題海”最有效的辦法，是探究一些典型、常見(jiàn)題目的 通性通法，總結(jié)解題的規(guī)律.這就要在面對(duì)每一道數(shù)學(xué) 問(wèn)題時(shí)，不僅僅停留在解題的層面上，要對(duì)其進(jìn)行更 深入的研究，在不斷的探究中積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高解 題的能力.（作者單位：江蘇省鹽城市大岡中學(xué)）