王琬琪，張世軒，徐志剛，周 淦，尚東陽

(1.中國科學院沈陽自動化研究所，沈陽 110016；2.中國科學院機器人與智能制造創(chuàng)新研究院，沈陽 110169；3.華北計算機系統(tǒng)工程研究所，北京 100083；4.中國科學院大學，北京 100049；5.東北大學機械工程與自動化學院，沈陽 110819)

0 引言

近年來隨著機器人、人工智能、圖像識別等技術的不斷發(fā)展，特種作業(yè)機器人取得了長足的進步。輸電線路巡檢機器人屬于特種作業(yè)機器人研究的前沿領域[1-2]。在國外，輸電線路巡檢機器人的研究始于上世界80年代，日本東京電力公司最先開展了巡線機器人的研究，在1988年開發(fā)出了第一臺樣機——光纖復合架空地線(OPGW)巡檢移動機器人[3]。近年來，研究單位研制了多種作業(yè)工具，不僅能夠完成線路的在線檢測，還能夠?qū)收线M行及時維護[4]。加拿大、美國、英國等西方發(fā)達國家也陸續(xù)開展對于巡線機器人的研究，已經(jīng)研發(fā)出了具有躍障、爬坡功能的巡線小車。進入21世紀后，隨著研究的不斷深入，巡檢機器人由小車形式逐漸發(fā)展為具有移動輪、重心調(diào)節(jié)箱的關節(jié)臂形式。日本關西電力公司和東京工業(yè)大學的科研人員聯(lián)合研制出了Expliner電力機器人[5-6]，加拿大魁北克水電研究院研制了帶電導線上巡檢的機器人-LineScout[7]，美國電力研究院(EPRI)通過機器人與輸電線路環(huán)境的一體化設計研制了一條被動式自主越障巡檢機器人TI[8]，加州大學圣地亞哥分校(UCSD)雅各布斯工程學院研制了一種懸擺式移動機器人“SkySweeper”[9]。

相比于國外，我國對于線路巡檢機器人的研究起步較晚。20世紀90年代末，國內(nèi)很多大學及研究所相繼展開了高壓輸電線路巡檢機器人的研究。1997年武漢大學設計出了具有自動越障功能的高壓輸電線路巡線小車[10]。在國家“十五”863計劃的資助下，中科院沈陽自動化研究所研發(fā)的一種變距越障巡檢機器人[11]，而武漢大學則展開了220 kV的高壓輸電線路巡檢機器人的研究[12]。

目前對于輸電線路巡檢機器人的研究主要是機器人的結(jié)構(gòu)設計、運動學分析等[13-14]，但鮮有進行機器人變形的研究。由于輸電線路巡檢機器人屬于串聯(lián)關節(jié)臂形式，在機器人運動過程中其末端手爪存在變形，該種變形可能會對輸電線路造成損傷。因此對機器人進行靜力變形的分析顯得尤為重要。

本文在完成線路巡檢機器人的結(jié)構(gòu)設計基礎上，首先通過建立機器人的運動學模型，求得了機器人的雅可比矩陣；進而建立了機器人的柔度矩陣、分析了末端手爪變形量；最后通過仿真得到了4條反解路徑與機器人末端最大變形量的曲線圖，可選擇出最佳反解路徑。

1 機器人連桿坐標系的建立

本文將線路巡檢機器人雙臂運動分解成若干個單臂運動，以單臂為研究對象，根據(jù)D-H法建立巡檢機器人連桿坐標系。輸電線路巡檢機器人連桿坐標系如圖1所示，相應的連桿參數(shù)如表1所示。

圖1 輸電線路巡檢機器人整機結(jié)構(gòu)簡圖與坐標系

表1 輸電線路巡檢機器人連桿參數(shù)表

這些子變換都是相對于動坐標系描述的，按照“從左到右”的原則可以得到：

(1)

式中，Rot(x,αi-1)表示繞x軸旋轉(zhuǎn)αi-1角；Trans(x,ai-1)表示沿x軸移動ai-1距離；Rot(z,θi)表示繞z軸旋轉(zhuǎn)θi角；Trans(z,di)表示沿z軸移動di距離。

得到連桿變換公式：

(2)

根據(jù)變換傳遞公式：

(3)

(4)

至此建立了線路巡檢機器人連桿坐標系及連桿變換矩陣，通過式(4)可以求得機器人末端執(zhí)行器的位姿變化。

2 機器人雅可比矩陣的推導

雅可比矩陣既是研究操作空間速度與關節(jié)空間速度的線性映射關系，也可以表示操作空間外力與關節(jié)空間內(nèi)力的線性映射關系。在研究機器人變形量前，需要求得機器人操作臂的雅可比矩陣。雅可比矩陣的求解方法主要有微分變化法、矢量積法兩種方法。課題組采用微分變化法求得輸電線路的雅可比矩陣。

J(q)=[J1(q)J2(q)J3(q)J4(q)J5(q)]

(5)

以J1(q)為例說明雅可比矩陣的組成。

3 機器人變形模型的建立

機器人末端操作臂的終端在外力作用下會產(chǎn)生變形。變形的大小與操作臂的剛度以及作用力的大小有關。因此操作臂的剛度是影響機器人動態(tài)性能和定位精度的主要因素。產(chǎn)生變形的部位有連桿本身、連桿支撐和關節(jié)驅(qū)動裝置。

3.1 操作臂剛度矩陣

機器人產(chǎn)生變形的部位有：連桿本身、連桿支撐和關節(jié)驅(qū)動裝置。對于串聯(lián)關節(jié)臂形式的機器人，末端操作臂主要的變形是源自連桿產(chǎn)生的變形。機器人的總變形量取決于各個關節(jié)的變形量，并且每個連桿的變形量也各不相同。為研究方便，將整個機器人系統(tǒng)的剛度用操作臂剛度矩陣Kq表示，Kq由各個連桿的剛度kqi表示，如式(6)所示，式中kqi表示連桿i的彈簧剛度系數(shù)。

(6)

組成輸電線路巡檢機器人的各個連桿均是不規(guī)則物體，所以按照剛度公式計算剛度比較困難。由剛度概念可知：剛度是指材料或結(jié)構(gòu)在受力時抵抗彈性變形的能力。在宏觀彈性范圍內(nèi)，剛度是零件荷載與位移成正比的比例系數(shù)，即引起單位位移所需的力。根據(jù)柔度定義易知剛度是單位力作用下引起變形位移的倒數(shù)。故可得到機器人連桿剛度的表達式為：

(7)

式中，δi為施加單位力后連桿i的變形量。

在有限元分析軟件ANSYS中依次對線路巡檢機器人的各個連桿沿運動方向施加單位力，利用軟件測量其變形量，并取其倒數(shù)，進而得到各個連桿的剛度，結(jié)果如表2所示。

根據(jù)表2得到連桿剛度kqi，將其代入式(6)中可得到操作臂的剛度矩陣。

表2 機器人連桿剛度表

3.2 操作臂末端柔度矩陣

操作臂末端柔度矩陣C(q)，用以表示操作空間的力F與變形矩陣D之間的線性聯(lián)系。C(q)是一個m×m的對稱方陣，它與雅可比矩陣有關，表達式如式(8)所示。由于雅可比矩陣隨操作臂的形位而變化，因此C(q)也與形位有關。

(8)

將雅可比矩陣J(q)、操作臂的剛度矩陣Kq帶入式(8)中，求得線路巡檢機器人操作臂末端柔度矩陣C(q)的表達式為：

(9)

式中，以C11的表達式為例，說明機器人操作臂末端柔度矩陣的組成。

3.3 末端變形量求解

根據(jù)剛度定義，可以根據(jù)連桿剛度和連桿變形量計算連桿間的廣義關節(jié)力：

τ=Kqdq

(10)

式中，τ是關節(jié)力矩；dq是關節(jié)變量由于τ產(chǎn)生的變形。

忽略重力和關節(jié)摩擦力的影響，根據(jù)末端外界作用力F即可得到等效的關節(jié)力矩，有：

dq=KqJT(q)F

(11)

式中，J(q)為操作臂的雅可比矩陣(m×n階)；F為m維的操作力(外界作用力)矢量。

變形量與雅可比矩陣的聯(lián)系由微分運動關系確定：

D=J(q)dq

(12)

式中，D為末端變形量。

聯(lián)立式(8)、式(10)～式(12)即可求得變形量與外力F的聯(lián)系：

(13)

式中，建立了變形量D與外力F的表達式。

3.4 最大變形量的求解

輸電線路巡檢機器人位于某一形位時，單位操作力引起的變形大小與作用力的方向有關。最大變形和最小變形所對應的方向稱為變形主軸。變形的模方為：

DTD=FTC(q)TC(q)F

(14)

又因為單位力F滿足條件為：

DTD=FTC(q)TC(q)F

(15)

因此最大、最小變形量問題轉(zhuǎn)化為：在單位力滿足約束方程的條件下，求解以變形的模方為目標函數(shù)的條件極值問題。引入拉格朗日乘子λ，定義拉格朗日函數(shù)L。

L=DTD-λ(FTF-1)

(16)

條件極值的必要條件為：

(17)

根據(jù)式(17)可知，拉格朗日乘子λ即為平方柔度矩陣CT(q)C(q)的特征值，最大、最小柔度對應方向即為特征向量方向，最大與最小變形量即為：

(18)

式中，κmax為最大特征值，κmin為最小特征值。

4 模型驗證及應用

4.1 模型的驗證

輸電線路巡線機器人各桿長參數(shù)與位置參數(shù)如表3所示，根據(jù)式(9)可求得操作臂末端柔度矩陣C(q)，再求出CT(q)C(q)的特征值為：

κ1=4.280 3×10-16、κ2=9.167 6×10-17、
κ3=7.853 7×10-18、κ4=1.574 4×10-10、
κ5=3.036 4×10-10、κ6=1.690 5×10-8

將最大、最小特征值帶入式(18)計算最大變形量為1.300 2×10-4mm。

表3 連桿參數(shù)表

利用ANSYS軟件在機器人末端添加單位力后測得機器人的最大變形量為1.225 5×10-4mm，結(jié)果如圖2所示。與計算結(jié)果基本一致，驗證了所建立的機器人變形模型的正確性。

圖2 輸電線路巡檢機器人受力變形圖

4.2 基于變形模型的路徑選擇

通過解逆運動學求得輸電線路巡檢機器人的反解共有8組，選擇其中4組合理的反解，如表4所示。

表4 反解參數(shù)表

應用操作臂末端柔度矩陣與機器人單位力作用下最大變形量公式，求解上述4種反解路徑的最大變形量，并選擇變形量最小的路徑。首先將每條路徑劃分為若干個間距相等的點，并獲得巡檢機器人末端執(zhí)行器占據(jù)這些點時機器人連桿坐標系的參數(shù)。將參數(shù)代入式(9)、式(18)中即可得到各個點在單位力作用下的最大變形量。將每條路徑各個空間點所對應的最大變形量進行整理，如表5所示。

表5 反解路徑空間點最大變形量

將4條反解路徑中的各個空間點所對應的最大變形量通過多項式插值擬合，得到4條反解路徑與機器人末端最大變形量的曲線圖，如圖3所示。

圖3 反解路徑最大變形圖

對反解路徑中最大變形量關系的仿真表明，第2條路徑所在空間點在單位力作用下的變形量最小，機器人末端形變量峰值最小，第2條路徑抗干擾能力最佳。同時，反解路徑差值擬合結(jié)果也證明了文章所建立的變形解析模型的正確性。

5 結(jié)論

本文一種線路巡檢機器人的結(jié)構(gòu)設計基礎上，對巡檢機器人機械臂空間變形解析模型進行了建立與應用研究。通過相關計算仿真，得到以下結(jié)論：

(1)建立了單位力作用下的機械臂末端變形量表達式。文章基于巡檢機器人的操作臂剛度矩陣、操作臂末端柔度矩陣，建立了輸電線路巡線機器人的變形解析模型。通過ANSYS軟件仿真計算出巡檢機器人末端執(zhí)行器在單位力作用下的最大變形量，從而驗證了輸電線路巡檢機器人變形模型的正確性。

(2)通過建立的變形解析模型求解了最佳反解路徑。通過對選取的4種反解路徑所在空間點的最大變形量進行仿真計算，通過擬合曲線仿真，可見第2條路徑變形量最小，對反解路徑進行了有效篩選。

(3)建立的機械臂空間變形解析模型具有一般性。文章所建立的機械臂末端形變量模型在后續(xù)研究中可應用到其他類型機器人中，可對機器人運動控制過程的干擾力有效分析，提高控制精度。