楊 林，劉 浩，黃 運

(中車成都機車車輛有限公司，四川 成都 610051)

由于彎管相對于中心線對稱，所以可將其看成是由直線段和圓弧段組成[1]，在矢量彎管中，簡化成若干條線段進行研究分析。如果將其放入笛卡爾坐標系中，并將各直線延長至相交，相交點用三維坐標(x,y,z)表示，并將各段進行矢量表示，然后利用矢量運算的基本概念和運算法則，研究三維坐標與彎管之間的關(guān)系，從而可推導(dǎo)出彎管轉(zhuǎn)化程序的數(shù)學(xué)公式。并通過編程將數(shù)學(xué)公式轉(zhuǎn)化為彎管轉(zhuǎn)化程序，實現(xiàn)彎管加工數(shù)據(jù)的程序化轉(zhuǎn)換，很好地解決彎管設(shè)計圖樣信息不能直接用于車間彎管加工的問題，降低工藝轉(zhuǎn)化錯誤率，有效提高管路加工準確性與效率。

彎管由若干直線段和圓弧段(彎曲部分)組成，管路四周各點關(guān)于中心線(即管子軸線)對稱，因此，利用彎管中心線及其彎曲半徑[2]，就可以完整描述其三維形狀[3]。

1 彎管形狀的幾何描述

1.1 彎管的模型概述

把彎管兩相鄰的中心線兩端延長至相交，形成交點[4]，通過各點的三維坐標(x,y,z)以及不同管徑對應(yīng)的彎曲半徑，就能決定彎管形狀，并求出彎管各段的長度、旋轉(zhuǎn)角、折彎角、總長等。管子的彎曲半徑是常數(shù)，決定管子形狀的幾何參數(shù)主要是彎管兩端點與相鄰直線段的交點坐標，因此只需找出各直線段相交點的三維坐標，就能通過一系列數(shù)學(xué)公式計算出彎管程序各項數(shù)據(jù)。

1.2 彎管的矢量描述

數(shù)控彎管機進行彎管加工，通常是從彎管的一端開始，到另一端結(jié)束[5]，因此，不考慮彎管的折彎角度，彎管可以看作是幾段直線段首尾連接而成，彎管的每一段直線段都可以用代表大小和方向的矢量來表示，空間中的矢量可以用三維坐標(x,y,z)表示，利用矢量的運算原則和計算方法，即可求出彎管的幾何參數(shù)，如各段的長度、旋轉(zhuǎn)角、折彎角等。矢量示意圖如圖1所示。

1.3 管路幾何坐標表示

假設(shè)有1根3段的車下制動彎管，設(shè)各直線段相交點依次為P1、P2、P3和P4(見圖2)，并規(guī)定各點坐標為P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)、P3(x3，y3，z3)、P4(x4，y4，z4)，可根據(jù)相鄰直線段交點的空間坐標計算出相鄰兩點的長度。

2 彎管理論計算過程

2.1 彎管模型代數(shù)表示

2.1.1 各段矢量大小

各段矢量計算式如下：

(1)

2.1.2 相鄰各段長度計算

每一段直線的長度為：

(2)

式中，i，j=1，2，3，4，j>i。

2.1.3 各段矢量的方向余弦

各段矢量的方向余弦如下：

(3)

(4)

(5)

式中，i，j=1，2，3，4，j>i，k=1，2，3；cosαk、cosβk、cosγk表示各段矢量的方向余弦。

2.2 彎管加工參數(shù)計算

彎管加工過程需要管路的各直線段長度、折彎角度、旋轉(zhuǎn)角度和總長度數(shù)據(jù)。通過矢量的方向余弦，計算出彎管的折彎角；通過矢量長度計算公式，計算出彎管直線段長度；通過面與面的法向量，計算出彎管的旋轉(zhuǎn)角，通過三向量共面的定律，根據(jù)值的正負判斷旋轉(zhuǎn)角的正負；通過弧長公式L=Rθ，計算出彎管各段圓弧長度。

以圖2為例，計算過程如下。

2.2.1 折彎角的計算

δ1=arccos(cosα1cosα2+cosβ1cosβ2+cosγ1cosγ2)

(6)

δ2=arccos(cosα2cosα3+cosβ2cosβ3+cosγ2cosγ3)

(7)

2.2.2 直線段長度的計算

通過圖2可知，直線段的距離為相鄰兩點之間的距離減去切點到交點之間的距離，各段直線在圖2中分別為P1B1、B2C1、C2P4，設(shè)管路對應(yīng)的折彎半徑為R，具體計算式如下：

(8)

(9)

(10)

2.2.3 彎管旋轉(zhuǎn)角的計算

(11)

彎管的旋轉(zhuǎn)角為：

θ1=arccosθ1

(12)

除了計算出旋轉(zhuǎn)角，還應(yīng)該判定旋轉(zhuǎn)角的正負號，彎管的旋轉(zhuǎn)角分為正向旋轉(zhuǎn)和負向旋轉(zhuǎn)。在彎管機上，順時針彎管時旋轉(zhuǎn)角為負，逆時針彎管時旋轉(zhuǎn)角為正(0°≤θ≤180°)。而從人的方向看，則方向相反。旋轉(zhuǎn)角的方向通過三向量共面的定律，根據(jù)判定值的正負判斷旋轉(zhuǎn)角的正負。數(shù)值為正為負向旋轉(zhuǎn)，數(shù)值為負為正向旋轉(zhuǎn)，計算式如下：

(13)

2.2.4 彎管總長度的計算

彎管是由直線段和圓弧段組合而成，因此彎管的總長度是直線段的總長加上圓弧段而得，計算式如下。

圓弧段長度：

li=Rδi

(14)

總長：

L=|P1B1|+|B2C1|+|C2P4|+∑li

(15)

3 轉(zhuǎn)化程序的實現(xiàn)方式

數(shù)學(xué)公式在使用時僅僅是一種介質(zhì)，必須依附于載體才能進行展現(xiàn)，要么依附于表格，要么依附于程序。程序相較于表格，具有可視化、操作性、方便性、快捷性等方面的優(yōu)勢。為便于使用，提高工作效率，筆者利用C語言對數(shù)學(xué)公式進行編程處理[6]，得到界面簡潔、使用方便的“彎管加工程序.exe”。

4 轉(zhuǎn)化程序的使用

“彎管加工程序.exe”界面如圖3所示，包括輸入?yún)^(qū)、顯示區(qū)、結(jié)果區(qū)3部分。輸入?yún)^(qū)為可輸入管路各點的三維坐標(x,y,z)，不同管徑對應(yīng)的彎曲半徑R，不同彎管機型號D(用于計算補償角)[7]，以及設(shè)置小數(shù)點位數(shù)；顯示區(qū)可顯示當(dāng)前已輸入的三維坐標及數(shù)值；結(jié)果區(qū)可顯示管路各項幾何參數(shù)，包括直線段長度、旋轉(zhuǎn)角度、彎曲角度、補償角度以及下料長度。

應(yīng)用CAD軟件在管路工作圖中找到相交點的三維坐標，然后在“彎管加工程序.exe”中輸入?yún)^(qū)輸入管路各點三維坐標，填寫不同管徑對應(yīng)的彎曲半徑，以及不同彎管機型號(用于計算回彈量)，然后點擊計算，即可在結(jié)果區(qū)顯示出管路各幾何參數(shù)(見圖4)。顯示區(qū)、結(jié)果區(qū)提供復(fù)制、粘貼功能，如果需要修改數(shù)據(jù)，可在顯示區(qū)直接對數(shù)據(jù)進行修改，方便快捷，顯示區(qū)可從Excel表格中復(fù)制三維坐標數(shù)據(jù)，直接粘貼在該區(qū)域，結(jié)果區(qū)的數(shù)據(jù)也可直接進行復(fù)制，粘貼在Excel表格中。

5 轉(zhuǎn)化程序的優(yōu)勢

以往繪制彎管圖大多借助工作圖，通過不同視圖觀察以獲取彎管長度、角度等信息[8]。這樣具有一定的局限性，當(dāng)彎管折彎處與各正交視圖不平行時，通過各個正交視圖無法準確確定彎管旋轉(zhuǎn)角，不僅在效率上得不到保證，并且容易出現(xiàn)彎管圖繪制錯誤，導(dǎo)致最后彎管加工程序錯誤的現(xiàn)象。由于彎管圖的繪制具有一定的技術(shù)含量，必須經(jīng)過專業(yè)培訓(xùn)才能繪制，所以這種方式不具有普遍性。

而使用彎管轉(zhuǎn)化程序，將彎管三維坐標轉(zhuǎn)化為彎管加工程序，并通過編程的方式實現(xiàn)了彎管加工數(shù)據(jù)的程序化轉(zhuǎn)換，很好地解決了彎管設(shè)計圖樣信息不能直接用于車間彎管加工的問題，避免了工藝轉(zhuǎn)化的錯誤率。后續(xù)類似的問題均可以通過這種分析方法，實現(xiàn)數(shù)據(jù)的程序化轉(zhuǎn)換。工藝人員打開程序后可以直接輸入彎管三維坐標和彎曲半徑，即可得到相應(yīng)的加工信息，從而很好地解決了工藝轉(zhuǎn)化時費時費力、容易出錯的問題，既能提高正確率，又能節(jié)省時間[9-10]。

6 結(jié)語

彎管加工程序作為彎管加工最重要的載體，而行之有效、準確度高的彎管轉(zhuǎn)化程序可有效保證試制工作的順利進行。本文通過對管路問題的剖析，將空間三維坐標(x,y,z)與數(shù)學(xué)中矢量計算相結(jié)合，提出一種能夠?qū)崿F(xiàn)高效轉(zhuǎn)換的彎管轉(zhuǎn)化程序，在實踐中可省去繁瑣的繪圖過程，實現(xiàn)彎管加工的程序化計算，提高彎管加工程序的正確率，將在后續(xù)項目實施過程中有效提高生產(chǎn)效率。